定位精準(zhǔn) 凸顯素養(yǎng)*
——“函數(shù)復(fù)習(xí)選講”二輪復(fù)習(xí)課引發(fā)的思考

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(平湖中學(xué)，浙江 平湖 314200)(鎮(zhèn)海中學(xué)，浙江 寧波 315200)

2018年3月23日，浙江省沈虎躍名師網(wǎng)絡(luò)工作室學(xué)科帶頭人海鹽高級中學(xué)趙琴學(xué)老師在桐廬中學(xué)開設(shè)了一節(jié)題為“函數(shù)復(fù)習(xí)選講”高三二輪復(fù)習(xí)課.這節(jié)公開課設(shè)計(jì)不僅樸實(shí)而且非常高效，選題不僅精煉而且非常具有代表性，在充分尊重學(xué)生的同時(shí)，又激發(fā)了學(xué)生對問題解決的熱情.下面筆者簡要回顧課堂教學(xué)的部分環(huán)節(jié)以及自己的切身感受，談?wù)勛约簩φn堂教學(xué)的思考.

1 重視概念，提綱挈領(lǐng)

趙老師在課前設(shè)置了“知識儲備”環(huán)節(jié)，該環(huán)節(jié)要解決兩個(gè)問題：1)函數(shù)的三要素是什么；2)研究函數(shù)主要研究哪些方面.學(xué)生經(jīng)過思考后進(jìn)行回答，趙老師利用PPT展示了這兩個(gè)問題的答案：1)定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域；2)圖像性質(zhì).《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》指出：“教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)對基本概念和基本思想的理解和掌握，對一些核心概念和基本思想要貫穿高中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，幫助學(xué)生逐步加深理解.”章建躍博士曾說過：“解題錯(cuò)誤主要源于概念把握不準(zhǔn).”

在高三的二輪復(fù)習(xí)中，既要兼顧對教材概念、思想、方法的回顧，又要把相互關(guān)聯(lián)的概念、思想和方法有機(jī)地串聯(lián)起來，使學(xué)生能夠達(dá)到真正意義上的融匯貫通.這兩個(gè)問題設(shè)置得簡單而有內(nèi)涵，恰好起到了這樣的作用.函數(shù)概念是在《數(shù)學(xué)(必修1)》中學(xué)習(xí)的，是比較抽象的概念之一，在高三的上學(xué)期也會進(jìn)行比較詳細(xì)的復(fù)習(xí)，在二輪復(fù)習(xí)時(shí)有必要再次激發(fā)學(xué)生的靈感，從而讓所學(xué)知識實(shí)現(xiàn)螺旋上升.

2 關(guān)注本質(zhì)，百花齊放

例1已知函數(shù)f(x)=|x2-1|+x2+kx,其中k為實(shí)數(shù)，若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求k的取值范圍.

課堂上學(xué)生到黑板板演的解法整理如下：

生1：不妨設(shè)0

圖1

所以f(x)在(0,1]上是單調(diào)函數(shù)，因此f(x)=0在(0,1]上至多有一個(gè)解(如圖1).若1

不符合題意，從而

0

于是

即

解得

圖2

生3：因?yàn)閨x2-1|+x2+kx=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以函數(shù)g(x)=|x2-1|與h(x)=-x2-kx有兩個(gè)不同的交點(diǎn).如圖3，g(1)=0，g(2)=3,從而當(dāng)h(x)=-x2-kx的圖像經(jīng)過點(diǎn)(1,0)和(2,3)時(shí)，

h(1)=-12-k=0，h(2)=-22-2k=3,

于是

圖3 圖4

生4：因?yàn)閨x2-1|+x2+kx=0兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,所以

如圖4，f(x)與g(x)=-kx有兩個(gè)不同的交點(diǎn).又

f(1)=|12-1|+12=1,

f(2)=|22-1|+22=7,

從而

g(1)=-k>1，g(2)=-2k<7,

于是

g(x)=-x-k,

又

圖5

g(1)=-1-k>0，

于是

感悟例1是2007年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題第22題的第1)小題.教師給學(xué)生留出充分的思考時(shí)間，讓學(xué)生自己進(jìn)行解法梳理.在這個(gè)過程中，教師密切關(guān)注學(xué)生“從哪一個(gè)視角入手”“在解答過程中的障礙在哪里”.學(xué)生思考之后，教師選擇了5名學(xué)生先后上黑板進(jìn)行板演，這5名學(xué)生通過不同的構(gòu)造函數(shù)的方法，結(jié)合所構(gòu)造的函數(shù)圖像，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間(0,2)上有兩個(gè)不同交點(diǎn)的問題.

本題實(shí)質(zhì)是在考查學(xué)生對函數(shù)零點(diǎn)概念的理解，并且融多種數(shù)學(xué)思想及解法于一體，這也是處理函數(shù)零點(diǎn)問題最基本的方法.一個(gè)等式或不等式通過變形，可以構(gòu)造多種不同的函數(shù)，進(jìn)而研究所構(gòu)造函數(shù)交點(diǎn)的相關(guān)問題.構(gòu)造兩個(gè)不同的函數(shù)優(yōu)先選擇其中一個(gè)函數(shù)是常函數(shù)，另外一個(gè)是我們比較熟悉的函數(shù)；其次是構(gòu)造兩個(gè)非常函數(shù)，這兩個(gè)函數(shù)都是比較熟悉的函數(shù).本課中，5名學(xué)生構(gòu)造函數(shù)的方式恰好遵循這樣的原則，而且學(xué)生的思考時(shí)間并不是很長，這說明學(xué)生有非常好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這正是數(shù)學(xué)高考二輪復(fù)習(xí)所希望見到的效果.

3 點(diǎn)評到位，錦上添花

在生4的解答之后，趙老師和板演的學(xué)生進(jìn)行了如下交流.

生4(思索)：不一定.

師：那個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)在哪里呢？

生4：和二次函數(shù)的切點(diǎn)有關(guān).

師：非常好，我們徒手畫出的圖像是有誤差的，因此在關(guān)鍵的位置要輔助精確的計(jì)算.如何算出此時(shí)的k值呢？

師(掌聲)：非常棒！

感悟?qū)W生在解題時(shí)，可能更多關(guān)注的是答案是否正確，例1采用數(shù)形結(jié)合得出的結(jié)果很明顯是正確的，但是學(xué)生在解決過程中缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性.教師在點(diǎn)評時(shí)與學(xué)生進(jìn)行了看似簡單的溝通，卻在邏輯思維方面給予了學(xué)生非常好的示范.教師在與學(xué)生交流的同時(shí)，把解決函數(shù)問題的工具性知識(導(dǎo)數(shù)知識)進(jìn)行了很好的滲透.

4 強(qiáng)化訓(xùn)練，思維升華

圖6

f(x)=xlnx-x,

進(jìn)而

感悟此解法是學(xué)生板演的，該學(xué)生完成得非常流暢，一氣呵成，說明學(xué)生對將零點(diǎn)問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖像交點(diǎn)問題掌握得非常熟練，并且通過例題的深入剖析已水到渠成了.該練習(xí)題研究函數(shù)的單調(diào)性，學(xué)生非常自然地利用導(dǎo)數(shù)工具進(jìn)行求解，所構(gòu)造的函數(shù)是一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)常函數(shù)(這實(shí)際上是該題的理想構(gòu)造)，所求參數(shù)的值只有在極值(直線與函數(shù)圖像相切)處取得.該題對方程的等價(jià)變形及函數(shù)性質(zhì)的要求還是比較高的，學(xué)生能夠在短時(shí)間內(nèi)通過分析然后選擇性價(jià)比高的解法，并且圓滿得出結(jié)果，說明學(xué)生在這節(jié)課中的學(xué)習(xí)效果非常好.

5 教學(xué)啟示

1)教學(xué)要處理好“放”和“收”的關(guān)系.

對例題的嚴(yán)謹(jǐn)性的論證是否還有其他方法呢？高一的學(xué)生能否解決呢？事實(shí)上，二次函數(shù)的切線問題可以通過聯(lián)立方程，利用Δ=k2+8>0解決.深入觀察后發(fā)現(xiàn)直線過定點(diǎn)(0,0)，但是這個(gè)定點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部，過定點(diǎn)的直線一定不會是拋物線的切線.教師在課堂上是否要把自己研究過解決問題的方法全部傾囊相授，是否所有的學(xué)生都有能力把教師辛辛苦苦研究的解法全盤內(nèi)化？在課堂上，教師是主導(dǎo)，學(xué)生應(yīng)該是主演，上課內(nèi)容的探究也應(yīng)該要留白，只有給學(xué)生留下一些繼續(xù)探索的空間，學(xué)生才能夠飛得更高.

2)教學(xué)要處理好“本”和“末”的關(guān)系.

例1的參考答案有一種解法是利用解方程的思想來研究零點(diǎn)，人教A版《數(shù)學(xué)(必修1)》第87頁明確指出：方程有實(shí)數(shù)根等價(jià)于函數(shù)與x軸有交點(diǎn),等價(jià)于函數(shù)有零點(diǎn).通過解方程的根來研究函數(shù)的零點(diǎn)，考查的是學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)；通過等價(jià)轉(zhuǎn)化研究兩個(gè)函數(shù)的圖像交點(diǎn)，考查的是學(xué)生的直觀想象及數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).章建躍先生曾說過：“要讓學(xué)生養(yǎng)成‘回到概念去’思考和解決問題的習(xí)慣.”張奠宙教授也說過：“數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性關(guān)鍵在于對數(shù)學(xué)本質(zhì)的把握、揭示和體驗(yàn).”因此，教師在課堂上應(yīng)該更多地關(guān)注所研究問題的本質(zhì)，而不應(yīng)該把采用什么形式解決問題作為重點(diǎn)關(guān)注對象，通過一段時(shí)間引領(lǐng)，學(xué)生會對數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣，實(shí)現(xiàn)在學(xué)習(xí)中思考、在探究中提升的效果.大道至簡，揭示問題本質(zhì)，正是我們的教學(xué)追求[1].

3)教學(xué)要處理好“遠(yuǎn)”和“近”的關(guān)系.

圖7

結(jié)合兩個(gè)函數(shù)圖像(如圖7)，當(dāng)k<0時(shí),若x<0,則兩個(gè)函數(shù)圖像只有1個(gè)交點(diǎn)；若x>0，則兩個(gè)圖像有1個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)兩個(gè)函數(shù)圖像相切(根據(jù)不同函數(shù)的增長速度).設(shè)函數(shù)的公切點(diǎn)為(x0,y0)，則

在課堂上，教師對于試題的挖掘要根據(jù)學(xué)生的不同階段、不同課型進(jìn)行，同時(shí)課堂的設(shè)計(jì)也要有近期目標(biāo)(即本節(jié)課要達(dá)到什么效果)及長遠(yuǎn)目標(biāo)和學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展.正如波利亞曾形象地指出：“好問題同某些蘑菇有些相似，它們大都成堆生長，找到一個(gè)之后，你應(yīng)當(dāng)在周圍再找一找，很可能就有幾個(gè).”在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)設(shè)計(jì)有探究價(jià)值的題目，鼓勵學(xué)生都參與其中，實(shí)現(xiàn)“做中學(xué)，學(xué)中悟”，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.

總之，數(shù)學(xué)教學(xué)不只是教給學(xué)生數(shù)學(xué)知識、思想方法，還要教會學(xué)生如何思考[2].數(shù)學(xué)家克萊因說過：“教師掌握的知識要比他所教的知識多得多，才能引導(dǎo)學(xué)生繞過懸崖、渡過險(xiǎn)灘.”因此，在課堂上要實(shí)現(xiàn)對學(xué)生進(jìn)行恰當(dāng)、高效的引領(lǐng)，需要教師不斷提升自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng).