基于(T，S)策略的裝備可修復(fù)備件兩級庫存配置建模

吳龍濤， 王鐵寧， 可榮博， 曹鈺

(1.陸軍裝甲兵學(xué)院 裝備保障與再制造系， 北京 100072； 2.61377部隊(duì)， 廣東 深圳 518017)

0 引言

隨著裝備升級換代和修理方式變革，可修復(fù)備件在備件保障經(jīng)費(fèi)中所占比重越來越大。在制定備件配置計(jì)劃時(shí)，既要滿足規(guī)定的備件保障效能指標(biāo)要求，又要盡量減少備件配置費(fèi)用。當(dāng)前我軍裝備備件保障工作中，關(guān)于可修復(fù)備件的保障機(jī)制尚不完善，一方面故障件長期積壓，得不到及時(shí)修復(fù)和再利用；另一方面由于供應(yīng)不及時(shí)經(jīng)常發(fā)生短缺，保障效果不理想。因此，完善可修復(fù)件保障機(jī)制，合理配置可修復(fù)備件在各級的庫存種類和數(shù)量，對于提高裝備戰(zhàn)備完好性和備件保障效益具有重要作用。

由Sherbrooke提出并完善的METRIC理論[1]，是可修復(fù)備件庫存控制領(lǐng)域的理論基礎(chǔ)，應(yīng)用十分廣泛。多年來，國內(nèi)外眾多學(xué)者紛紛對此進(jìn)行了應(yīng)用推廣和性能改進(jìn)，取得了顯著成果。羅祎等[2]基于VARI-METRIC理論建立了3級供應(yīng)體系的備件配置模型；阮旻智等[3]增加了備件體積和質(zhì)量約束，以任務(wù)成功率為目標(biāo)建立了作戰(zhàn)單元攜行備件配置模型；聶濤等[4]研究了METRIC理論在K:N冗余雷達(dá)系統(tǒng)備件供應(yīng)優(yōu)化中的應(yīng)用；阮旻智等[5]、Park等[6]和張帥等[7]放寬了METRIC模型中的無限維修渠道假設(shè)，基于排隊(duì)論對備件供應(yīng)渠道進(jìn)行了修正；Lau等[8]、徐立等[9]和Yoon等[10]同時(shí)放寬了無限維修渠道和穩(wěn)態(tài)泊松需求假設(shè)，分別建立了時(shí)變需求和伽馬隨機(jī)需求的系統(tǒng)使用可用度模型；劉任洋等[11]提出了考慮橫向供應(yīng)的多級不完全修復(fù)件初始庫存配置方案；周亮等[12]則建立了串件拼修策略和非穩(wěn)態(tài)需求下的裝備可用度模型；Nowicki等[13]和阮旻智等[14]對求解METRIC模型的邊際分析算法進(jìn)行了改進(jìn)；Tovia等[15]和Basten等[16]還分別將維修渠道配置和備件修理級別分析與備件配置進(jìn)行了組合優(yōu)化。

通過查閱國內(nèi)外文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)有的可修復(fù)備件研究成果幾乎都以(S-1，S)庫存策略為前提，即每當(dāng)基層倉庫消耗1件庫存，就向基地倉庫申請1件備件。雖然可有效減少庫存配置數(shù)量和保障經(jīng)費(fèi)，但主要適用于價(jià)格非常昂貴、需求率又非常低的極少數(shù)備件。對于大多數(shù)普通的可修復(fù)備件，(S-1，S)庫存策略不僅不能有效節(jié)省庫存配置成本，反而會(huì)產(chǎn)生巨大的業(yè)務(wù)量和運(yùn)輸費(fèi)用。結(jié)合部隊(duì)業(yè)務(wù)實(shí)際情況，大部分裝備可修復(fù)件更適合采用(T，S)庫存策略，即基層倉庫定期向基地倉庫申請備件。因此，本文首先描述了(T，S)庫存策略下裝備可修復(fù)件兩級供應(yīng)保障模式；然后綜合考慮報(bào)廢率、申請延誤等因素，研究了多種基于(T，S)庫存策略的保障效能評價(jià)指標(biāo)；在此基礎(chǔ)上，建立了以裝備使用可用度為約束、備件配置費(fèi)用最低為目標(biāo)，運(yùn)用邊際分析法求解的最佳備件配置模型；最后通過算例對比分析，驗(yàn)證了模型的合理性和有效性。

1 備件保障過程描述

采取(T，S)庫存策略的裝備可修復(fù)備件兩級供應(yīng)保障過程如圖1所示。每個(gè)基層級單位由基層部隊(duì)、基層倉庫和基層維修機(jī)構(gòu)組成；每個(gè)基地級單位由基地倉庫和基地維修機(jī)構(gòu)組成；基層倉庫和基地倉庫分別配置指定數(shù)量的可修復(fù)備件。基層部隊(duì)裝備部件發(fā)生故障時(shí)，如果基層倉庫有備件，就調(diào)撥備件實(shí)施換件維修，恢復(fù)裝備性能；如果基層倉庫備件庫存為0，則等待本級修復(fù)或下一周期基地補(bǔ)給后再進(jìn)行換件維修。故障件在基層具有一定的修復(fù)概率(如果本級沒有修復(fù)能力，則修復(fù)概率為0)，修復(fù)后存入本級倉庫；如果基層不能修復(fù)，則先由基層倉庫暫存。基層倉庫按周期T定期向基地倉庫申請備件，申請量為庫存配置量S與申請時(shí)庫存余量的差。在申請的同時(shí)，基層倉庫將其暫存的本周期無法修復(fù)的故障件上交基地修復(fù)?；貍}庫接到申請后，向各基層倉庫補(bǔ)給備件，同時(shí)對接收的故障件進(jìn)行修復(fù)，修復(fù)后存入本級倉庫；如果不能修復(fù)則報(bào)廢，同時(shí)向廠家訂購?fù)瑯訑?shù)量的新備件維持整體庫存水平。訂購的備件在下一周期內(nèi)到達(dá)。

2 備件庫存配置建模

2.1 基本思路與模型假設(shè)

圖2所示為(T，S)庫存策略下基層備件庫存量的變化過程。其中：t1、t3和t5為基層倉庫備件申請時(shí)刻，則申請周期T=t3-t1=t5-t3；t2、t4和t6為基層倉庫申請備件到達(dá)時(shí)刻。由于基層需求上報(bào)和基地倉庫調(diào)撥過程都需要花費(fèi)一定時(shí)間，所以從備件申請開始到補(bǔ)給到達(dá)之間存在一定的時(shí)間延誤tD=t2-t1=t4-t3=t6-t5. 而且，由于延誤時(shí)間內(nèi)的備件消耗，補(bǔ)給到達(dá)后基層備件庫存數(shù)量一般小于S. 基層倉庫在申請時(shí)刻t1、t3和t5同時(shí)上交無法自行修復(fù)的故障件。為了避免故障件逐年積壓失修，假設(shè)每次上交的故障件都可以在接下來的一個(gè)申請周期內(nèi)得到修復(fù)。例如：在t1時(shí)刻回收的故障件將在[t1,t3]周期內(nèi)得到修復(fù)；而因報(bào)廢向廠家訂購的新備件將在[t3,t5]周期內(nèi)到達(dá)。

設(shè)當(dāng)前為t3時(shí)刻，在已知備件需求(包括預(yù)防性維修需求和修復(fù)性維修需求)分布[17]的條件下，可以計(jì)算出在上一申請周期[t1,t3]內(nèi)各基層故障件數(shù)量的概率分布。將上一周期內(nèi)各基層故障件數(shù)量之和與基地倉庫備件庫存配置數(shù)量S0比較，即可得出基地倉庫可補(bǔ)給備件數(shù)量。在此基礎(chǔ)上，結(jié)合下一周期[t3,t6]內(nèi)的故障件數(shù)量概率分布，即可計(jì)算下一周期內(nèi)任一時(shí)刻基層的裝備使用可用度。因?yàn)樯暾堁诱`的存在，下一周期的時(shí)間區(qū)間應(yīng)為[t3,t6]，即T+tD，而不是[t3,t5]或T.

為了便于建模和求解，進(jìn)行如下假設(shè)：

1)申請周期T和申請延誤tD均固定不變；

2)每次裝備停用都是由單一部件故障造成的；

3)基層各項(xiàng)備件需求相互獨(dú)立，均服從泊松分布；

4)修復(fù)故障件所需子級備件充足，無短缺；

5)不存在串件拼修和橫向調(diào)劑供應(yīng)。

2.2 備件短缺分析

設(shè)基層單位數(shù)量為I，裝備可修復(fù)件共J項(xiàng)，基層倉庫i(i=1,2,…,I)第j(j=1,2,…,J)項(xiàng)備件的故障率為λij，本級可修復(fù)概率為rij，平均修復(fù)時(shí)間為Wij，庫存配置數(shù)量為Sij,第j項(xiàng)備件在基地的報(bào)廢率為b0j，庫存配置數(shù)量為S0j. 基于圖2中的t3時(shí)刻，計(jì)算在下一周期結(jié)束時(shí)刻t6基層倉庫i第j項(xiàng)備件的期望短缺數(shù)。

基層倉庫i第j項(xiàng)備件的庫存配置Sij中，一部分用于滿足本級可修復(fù)備件需求，另一部分用于滿足本級無法修復(fù)備件需求。根據(jù)Palm定理，基層維修機(jī)構(gòu)i第j項(xiàng)備件在修復(fù)數(shù)量Mij服從均值為λijrijWij的泊松分布P(mij),基層倉庫i下一周期內(nèi)本級無法修復(fù)的備件需求Dij服從均值為λij(1-rij)(T+tD)的泊松分布P(dij).Mij與Dij的和構(gòu)成了基層倉庫i下一周期的備件需求Xij. 由于Mij與Dij相互獨(dú)立，根據(jù)泊松分布的可加性，Xij服從泊松分布P(xij)，且均值為

E[Xij]=λijrijWij+λij(1-rij)(T+tD).

(1)

在申請時(shí)刻t3，基地接收各基層倉庫上交的在[t1,t3]周期內(nèi)產(chǎn)生的無法自行修復(fù)的故障件，并向基層倉庫補(bǔ)給同樣數(shù)量的備件。設(shè)這部分備件數(shù)量為D0j，則D0j服從泊松分布P(d0j)，且均值為

(2)

其中，來自基層倉庫i的需求所占比例為

(3)

同時(shí)，基地在t1時(shí)刻接收并在[t1,t3]周期內(nèi)進(jìn)行修復(fù)的故障件中，還會(huì)產(chǎn)生一定數(shù)量報(bào)廢件，這部分備件在下一周期[t3,t5]內(nèi)才能由廠家補(bǔ)給到位。設(shè)這部分備件數(shù)量為O0j，則O0j服從均值為λ0jb0j的泊松分布P(o0j).D0j和O0j共同組成了基地倉庫在t3時(shí)刻的待接收備件數(shù)量X0j. 根據(jù)泊松分布的可加性同樣可得，X0j服從均值為λ0j(1+b0j)的泊松分布P(x0j).

若基地倉庫待接收備件數(shù)量X0j≤S0j，則基地倉庫就能完全滿足各基層倉庫的備件需求，使其庫存恢復(fù)到Sij，進(jìn)而當(dāng)基層倉庫i在下一周期T+tD內(nèi)恰好發(fā)生Sij+1次需求時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)恰好1次短缺。同樣，若X0j>S0j且fij(X0j-S0j)=1，基地倉庫的補(bǔ)給只能使基層倉庫i的庫存恢復(fù)到Sij-1，進(jìn)而當(dāng)基層倉庫在下一周期內(nèi)發(fā)生Sij次需求時(shí)，也會(huì)出現(xiàn)恰好1次短缺。依此類推，綜合各種情況可得，基層倉庫i第j項(xiàng)備件在下一周期恰好發(fā)生1次短缺BOij的概率為

(4)

同理，基層倉庫i第j項(xiàng)備件恰好發(fā)生k次短缺的概率為

(5)

由此可知，在下一周期結(jié)束時(shí)刻t6，基層倉庫i第j項(xiàng)備件的期望短缺數(shù)為

(6)

2.3 備件庫存配置模型

常用的備件保障效能評價(jià)指標(biāo)包括裝備使用可用度、備件滿足率和保障延誤時(shí)間等。裝備使用可用度描述了裝備在實(shí)際使用時(shí)的可用性，綜合考慮了維修和保障延誤等影響因素，是評價(jià)保障效能的主要指標(biāo)，其計(jì)算公式為

(7)

(8)

式中：Zj為第j項(xiàng)備件單車安裝數(shù)；Ni為基層部隊(duì)i的裝備數(shù)量。

在下一周期末，所有基層部隊(duì)組成的系統(tǒng)裝備使用可用度則可表示為

(9)

此外，根據(jù)備件庫存量和待接收備件數(shù)量的概率分布可計(jì)算出備件滿足率?；鶎觽}庫i第j項(xiàng)備件在下一周期末的備件滿足率為

(10)

則在下一周期末系統(tǒng)備件滿足率為

(11)

備件庫存配置的目標(biāo)是在滿足規(guī)定的裝備使用可用度要求下，使總體備件保障費(fèi)用最低。結(jié)合部隊(duì)實(shí)際和本文研究重點(diǎn)，在此只考慮備件購置費(fèi)用和備件運(yùn)輸費(fèi)用兩部分。設(shè)第j項(xiàng)備件單價(jià)為cj萬元，則備件購置費(fèi)用為

(12)

設(shè)保障周期時(shí)長為P，基地與基層i之間往返1次的備件運(yùn)輸費(fèi)用為pi萬元，則備件運(yùn)輸費(fèi)用為

(13)

綜合(12)式和(13)式，總體備件保障費(fèi)用C=C1+C2. 因此，備件庫存配置模型可描述為

(14)

式中：φ為設(shè)定的保障效能指標(biāo)閾值。

3 模型求解算法

邊際分析法是求解METRIC模型最常用的方法。與遺傳算法等群智能優(yōu)化算法相比，邊際分析法過程簡單、結(jié)果穩(wěn)定，不會(huì)丟失最優(yōu)解，在解空間規(guī)模不是特別大的情況下非常適用。因此，本文選用該方法對模型求解。

(14)式的決策變量是一個(gè)記錄基地倉庫和基層倉庫各項(xiàng)備件庫存量的二維矩陣:

(15)

利用邊際分析法對模型進(jìn)行求解的步驟如下：

1)初始化決策變量S=0；

2)通過不斷迭代執(zhí)行邊際分析，在每一次迭代過程中，遍歷決策變量矩陣的每一個(gè)位置，依次計(jì)算其邊際效益值

(16)

式中：one(i,j)為與S結(jié)構(gòu)相同且第i行第j列值為1、其他位置值為0的矩陣；

3)將最大的邊際效益值max (Δij)所對應(yīng)的決策變量S中位置Sij的值加1，即Sij=Sij+1；

4)根據(jù)(9)式計(jì)算系統(tǒng)裝備使用可用度A. 若A≥φ，停止迭代，決策變量S所表示的即為最優(yōu)備件配置方案；否則，返回步驟2繼續(xù)迭代。

4 算例分析

設(shè)保障系統(tǒng)由1個(gè)基地和2個(gè)基層單位構(gòu)成，某型主戰(zhàn)坦克在2個(gè)基層單位的列裝數(shù)量均為50輛。從該型坦克的小修備件中選取了3項(xiàng)典型可修復(fù)備件作為代表進(jìn)行庫存配置，備件相關(guān)參數(shù)設(shè)置如表1所示。備件在基層與基地之間往返一次的運(yùn)費(fèi)為p1=p2=1萬元(參考鐵路貨運(yùn)價(jià)格)。

表1 備件參數(shù)設(shè)置Tab.1 Parameter setting of spare parts

備件申請周期T分別取0.5 a、1.0 a、2.0 a，申請延誤時(shí)間tD分別取0 a、0.1 a、0.2 a，保障周期P設(shè)為50 a，可用度約束設(shè)為φ=0.95，運(yùn)行邊際分析法進(jìn)行求解，得到如表2所示的最佳備件庫存配置方案。

由表2可見，相同條件下，申請延誤時(shí)間越長，備件配置數(shù)量和費(fèi)用就越多。相同條件下，隨著申請周期的延長，備件配置數(shù)量和費(fèi)用更多，但花費(fèi)的運(yùn)輸費(fèi)用更少。綜合來看，當(dāng)申請周期設(shè)為1.0 a時(shí)，總體保障費(fèi)用最低。

表2 最佳備件配置方案Tab.2 Optimal spare parts allocation

顯然，(T，S)庫存策略可以減少備件運(yùn)輸頻次，但會(huì)增加備件配置數(shù)量；而(S-1，S)庫存策略可以減少備件配置數(shù)量，但會(huì)增加備件運(yùn)輸頻率。由此可知，影響兩種庫存策略的主要因素是備件故障率和價(jià)格。因此，下面通過變化備件故障率和價(jià)格對本文提出的(T，S)庫存策略和VARI-METRIC模型[2]中的(S-1，S)庫存策略進(jìn)行對比分析。備件故障率分別取表1中的故障率及其0.1倍，備件價(jià)格分別取表1中的備件價(jià)格及其5.0倍；(T，S)庫存策略中取T=1.0 a、tD=0.1 a，(S-1，S)庫存策略中備件在基地與基層單位之間往返1次的運(yùn)費(fèi)設(shè)定為0.3萬元(參考地方物流價(jià)格)，得到兩種庫存策略下備件保障費(fèi)用隨保障周期變化情況如圖3所示。

由圖3(a)可知：當(dāng)備件的基層故障率約在10件/a、價(jià)格約在1.5萬元/件時(shí)，若保障周期小于10 a，則(S-1，S)庫存策略更優(yōu)，即保障費(fèi)用更低；若保障周期大于10 a，則(T，S)庫存策略更優(yōu)。由圖3(b)可知：保持故障率不變，價(jià)格提高5.0倍，若保障周期小于45 a，則(S-1，S)庫存策略更優(yōu)；若保障周期大于45 a，則(T，S)庫存策略更優(yōu)。由圖3(c)和圖3(d)可知，當(dāng)備件的基層故障率小于1件/a、價(jià)格高于1.5萬元/件時(shí)，(S-1，S)庫存策略明顯更優(yōu)。

5 結(jié)論

本文結(jié)合部隊(duì)實(shí)際情況，綜合考慮報(bào)廢率、申請延誤等因素，建立了基于(T，S)庫存策略的可修復(fù)備件兩級庫存最佳配置模型，并與當(dāng)前主流的基于(S-1，S)庫存策略的VARI-METRIC模型進(jìn)行了對比分析。結(jié)果表明：

1)本文建立的模型能夠有效解決(T，S)庫存策略下可修復(fù)備件的兩級庫存配置問題。

2)當(dāng)備件價(jià)格低于1.5萬元、基層故障率大于10件/a時(shí)，達(dá)到同等保障效果采取(T，S)庫存策略比(S-1，S)庫存策略所需保障費(fèi)用更少。

3)當(dāng)備件價(jià)格高于1.5萬元、基層故障率小于1件/a時(shí)，達(dá)到同等保障效果采取(S-1，S)庫存策略比(T，S)庫存策略所需保障費(fèi)用更少。

4)本文研究內(nèi)容對于提高部隊(duì)可修復(fù)備件保障效益、完善可修復(fù)備件保障機(jī)制具有重要意義。