戰(zhàn)斗部殼體爆炸破片體/線分形維數(shù)研究

楊云川， 朱建軍， 鄭宇， 李文彬， 王曉鳴， 喬相信， 李瑞

(1.沈陽理工大學(xué) 裝備工程學(xué)院, 遼寧 沈陽 110159;2.南京理工大學(xué) 智能彈藥技術(shù)國防重點(diǎn)學(xué)科實(shí)驗(yàn)室, 江蘇 南京 210094)

0 引言

高應(yīng)變率動態(tài)加載過程中材料斷裂成大量小塊的碎片屬于一個(gè)非線性、不可逆和不確定現(xiàn)象，而與材料破碎相關(guān)的物理學(xué)分支具有悠久且豐富的歷史，在武器行業(yè)、采礦業(yè)及制造業(yè)一直受到關(guān)注。而且在炸藥爆炸瞬時(shí)加載下金屬殼體材料內(nèi)部結(jié)構(gòu)的失效、斷裂以及破碎一直是超高速科學(xué)的核心，特別是破碎形成破片過程一直受到軍事各領(lǐng)域的密切關(guān)注[1-3]。早在1947年Mott[4]提出了數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)模型來預(yù)測爆炸條件下金屬殼體材料斷裂內(nèi)部卸載波傳播過程，并建立了殼體爆炸破碎形成破片質(zhì)量分布規(guī)律模型。隨后Brown等[5]基于Weibull分布建立了金屬殼體爆炸破碎模型：

M(m)=exp[-(m/me)λ],m>0,me,λ>0，

(1)

式中：λ為分布模數(shù)；m為破片質(zhì)量；me為特征質(zhì)量；M(m)為質(zhì)量大于m的破片相對質(zhì)量。Weibull分布可以廣泛應(yīng)用于金屬殼體材料破碎形成破片尺寸分布中[6-7]，其揭示了指數(shù)形式或類指數(shù)形式(如Gamma分布和Weibull分布)的函數(shù)可以表示動態(tài)破碎下形成破片質(zhì)量分布特征[8-9]，表明特征質(zhì)量和特征尺寸存在一定關(guān)系。但由于破碎過程的隨機(jī)性、多樣性和復(fù)雜性，使得目前一系列數(shù)學(xué)模型很難給出參數(shù)的物理含義，只能定性分析金屬殼體爆炸破碎分布規(guī)律，導(dǎo)致利用傳統(tǒng)破碎理論來分析殼體破碎形成破片分布十分困難。雖然爆炸條件下金屬殼體破碎過程是無規(guī)則且隨機(jī)的，但其形成破片的分布具有相似性，這與分形理論中無規(guī)分形的統(tǒng)計(jì)自相似性概念十分相似[10]。

分形理論可用于描述歐氏幾何無法描述的不規(guī)則現(xiàn)象和物體，Mandelbrot[11]針對海岸線長度的闡述而提出了分形概念。近30年來，分形理論在物理、化學(xué)、數(shù)學(xué)、生物、材料等領(lǐng)域獲得了一批成果，成為人們研究滿足無規(guī)分形自然現(xiàn)象的有力數(shù)學(xué)方法[12-15]。大量研究結(jié)果表明，破碎顆粒材料滿足統(tǒng)計(jì)自相似，屬于無規(guī)分形，不僅顆粒材料粒度分布可用分形維數(shù)表征，而且顆粒材料輪廓曲線亦可用分形維數(shù)表征[16-17]。對于爆炸條件下金屬殼體破碎領(lǐng)域，有學(xué)者發(fā)現(xiàn)從分形角度而言破碎過程中破片的時(shí)間和空間分布遵守自型解規(guī)律，破片分布遵循的統(tǒng)計(jì)學(xué)可以用分形理論來表示[18-19]。但其僅僅驗(yàn)證了傳統(tǒng)意義上爆炸破碎后形成破片尺寸分布的統(tǒng)計(jì)方法和分形統(tǒng)計(jì)方法是一致的，而對于分形理論是如何表征破片尺寸分布及形貌特征的研究較為少見。由于傳統(tǒng)描述爆炸瞬時(shí)條件下金屬殼體材料破碎特征的模型已無法滿足材料科學(xué)和工程的發(fā)展需求，破片不規(guī)則形貌特征的表征一直無法用傳統(tǒng)歐式幾何進(jìn)行描述，使得爆炸條件下金屬殼體材料破碎領(lǐng)域的研究一直停滯不前。而分形理論的誕生，則為定量描述破片形狀的復(fù)雜程度及破片材料的自身幾何特性提供了一個(gè)新途徑。

為了研究爆炸條件下金屬殼體材料破碎形成破片尺寸分布特征和破片形貌特征之間關(guān)系，本文利用新的分形維數(shù)定義來研究破片分形破碎質(zhì)量分布特征，結(jié)合MATLAB軟件和殼體爆炸破碎性試驗(yàn)對破片質(zhì)量分布特征和形貌特征進(jìn)行研究，將體/線分形維數(shù)引入爆炸條件下金屬殼體破碎研究中，從分形角度對殼體爆炸破碎形成破片特征進(jìn)行分析，為后期爆炸條件下金屬殼體破碎理論研究提供技術(shù)支持。

1 破片體/線分形維數(shù)測定數(shù)學(xué)模型

在金屬殼體爆炸破碎過程中，目前包括Weibull分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布等一系列指數(shù)分布形式基本均能表征殼體爆炸破碎形成破片質(zhì)量分布規(guī)律[20-22]，而因爆炸的瞬時(shí)性以及破碎形成破片形狀無規(guī)則性，使得目前針對形成破片的形狀內(nèi)部關(guān)系研究一直停滯不前。本文將分形基本理論和思想方法引入爆炸殼體破碎研究中，建立破片體/線分形維數(shù)測定模型，并將離散型隨機(jī)變量轉(zhuǎn)化成連續(xù)型隨機(jī)變量，以解決金屬殼體爆炸破碎過程中遇到的困難。

1.1 破片體分形維數(shù)測定數(shù)學(xué)模型

本文以雙參數(shù)Weibull分布形式，即Rosin-Rammler分布形式來表征爆炸條件下金屬殼體材料破碎形成破片質(zhì)量分布規(guī)律，為表述方便，數(shù)學(xué)模型去正累積率形式：

(2)

式中：M+為質(zhì)量大于m的破片質(zhì)量累積率。Rosin-Rammler分布中分布模數(shù)λ決定質(zhì)量分布密度曲線的基本形狀，特征質(zhì)量與質(zhì)量分布范圍有關(guān)。

(3)

(4)

與文獻(xiàn)[23]中體分形維數(shù)測定數(shù)學(xué)模型相似，破片質(zhì)量單位正累積率的變化率M+與單位質(zhì)量的破片特征質(zhì)量t的變化率呈正比，與t的分形測度呈反比，其微分方程形式為

(5)

式中：k為常數(shù)。對(5)式積分并將初始條件破片質(zhì)量m=0時(shí)，破片單位正累積率M+=1代入，最終獲得

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1.2 破片線分形維數(shù)測定數(shù)學(xué)模型

碼尺法原理如圖1[24]所示，圖中Fmax為最大徑，從邊界上任一點(diǎn)S起始，以步長r為半徑畫弧，得到與邊界輪廓的交點(diǎn)A，從A點(diǎn)開始畫弧，得到點(diǎn)B，重復(fù)上述過程(點(diǎn)C，點(diǎn)D，…，點(diǎn)S)直到最后得到余量Cr，最終該輪廓的總周長可近似寫為

L=Krα，

(7)

(8)

2 炸藥加載下殼體破碎性試驗(yàn)研究

2.1 試驗(yàn)布局

為了研究爆炸作用下殼體破碎形成破片形狀特征，并驗(yàn)證分形理論能否在爆炸殼體破碎領(lǐng)域上應(yīng)用，本文設(shè)計(jì)了殼體爆炸破碎性試驗(yàn)，試驗(yàn)殼體結(jié)構(gòu)如圖2所示。炸藥裝藥為8701基壓裝混合炸藥，長90 mm，直徑50 mm，密度1.70 g/cm3，爆速8 545 m/s. 殼體材料選用45號鋼，密度7.85 g/cm3，殼體壁厚6 mm，質(zhì)量745.76 g. 起爆方式為圓筒一端中心起爆，為了便于雷管安置定位，在起爆端處安置雷管座。

2.2 試驗(yàn)結(jié)果及初步分析

采用網(wǎng)眼大小為0.1 mm×0.1 mm多層尼龍篩網(wǎng)過濾和磁鐵吸拾等方法回收爆炸條件下殼體破碎形成破片，回收所得破片如圖4所示。由圖4可知形成破片形狀極其不規(guī)則，但基本為長條形，破片長寬比大多數(shù)大于1.5.

使用精度為0.01 g天平對破片進(jìn)行稱量、計(jì)數(shù)，并對其進(jìn)行分級處理。回收所得破片總質(zhì)量為387.45 g，破片回收率88.0%，基本完全回收。試驗(yàn)值與理論值有所偏差的主要原因在于實(shí)際破碎過程中，殼體環(huán)向隨機(jī)破碎形成破片尺寸大小不一，實(shí)際回收區(qū)域內(nèi)的破片有所減少。另外，本文采用的篩網(wǎng)無法回收小于篩網(wǎng)孔洞的小破片，因此使得實(shí)際回收所得破片總質(zhì)量小于理論值。由于質(zhì)量在0.1 g以下破片形狀較小，難以分辨，因此本文未對其進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，回收所得破片質(zhì)量在0.1 g以上總質(zhì)量為370.33 g，破片數(shù)目642個(gè)，殼體形成破片的質(zhì)量范圍和數(shù)量分布情況如表1所示。

表1 破片質(zhì)量分布

試驗(yàn)獲得的破片質(zhì)量與相對數(shù)目分布規(guī)律如圖5所示。由圖5可見，破片質(zhì)量相對累計(jì)數(shù)目分布規(guī)律呈指數(shù)形式變化，且變化斜率隨著破片質(zhì)量增大而先增大、后減小，最終趨于0. 表明爆炸條件下殼體破碎形成不規(guī)則形狀的破片質(zhì)量分布規(guī)律滿足統(tǒng)計(jì)意義上的自相似性，可以用分形維數(shù)來表征。

3 破片體/線分形維數(shù)研究

3.1 破片體分形維數(shù)測量結(jié)果

為了獲取用于描述殼體爆炸破碎形成破片質(zhì)量或體積分布特性的體分形維數(shù)D3，本文采用Gauss-Newton法[25]對Rosin-Rammler分布函數(shù)進(jìn)行擬合，即對(6)式中破片質(zhì)量相對負(fù)累積分布函數(shù)進(jìn)行擬合。以破片質(zhì)量相對負(fù)累積表示的Rosin-Rammler分布函數(shù)為

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Gauss-Newton法是使數(shù)據(jù)與非線性方程之間的殘差平方和最小的一種算法，關(guān)鍵在于利用泰勒級數(shù)展開，以一種線性形式近似地表示原非線性方程后，用最小二乘理論來計(jì)算參數(shù)新的估計(jì)值，并重復(fù)計(jì)算，直到求解過程收斂且小于一個(gè)設(shè)定的終止條件[26]。為減少迭代次數(shù)，本文采用插值法確定特征尺寸的迭代初值，用雙對數(shù)擬合的破片質(zhì)量分布模數(shù)作為迭代初值，即ln [-ln (1-M-)]=λlnm-λlnme，終止條件設(shè)為相對偏差同時(shí)小于10-6. 同時(shí)結(jié)合相關(guān)系數(shù)來描述擬合值與試驗(yàn)值之間相關(guān)程度，其相關(guān)系數(shù)計(jì)算公式[27]為

(10)

式中：Rss為回歸平方和；Tss為殘差平方和；n為破片總數(shù)。

對雙對數(shù)法和Gauss-Newton法兩種擬合方法進(jìn)行對比，如表2所示為Rosin-Rammler 分布回歸分析兩種擬合方式特征參數(shù)結(jié)果。獲得Gauss-Newton法所得分布結(jié)果相關(guān)系數(shù)高達(dá)0.995 7，說明本文提出的Gauss-Newton法所得結(jié)果與試驗(yàn)值吻合較好，而且基于MATLAB平臺編制了擬合Rosin-Rammler破片分布函數(shù)的Gauss-Newton法迭代程序優(yōu)于雙對數(shù)擬合方法，有利于提高體分形維數(shù)的測量精度。由Gauss-Newton法計(jì)算得到破片特征質(zhì)量me=1.466 9 g，破片平均體分形維數(shù)為2.385 9.

表2 破片質(zhì)量Rosin-Rammler分布回歸分析特征參數(shù)

圖6為Gauss-Newton法所得破片質(zhì)量負(fù)累積率與試驗(yàn)值對比結(jié)果。由圖6可見，擬合所得曲線與試驗(yàn)曲線十分接近，只在破片質(zhì)量較小以及較大處二者之間存在一定偏差，但整體上Gauss-Newton法所擬合結(jié)果能很好地描述爆炸條件下金屬殼體破碎形成破片質(zhì)量分布規(guī)律，同時(shí)表明基于Weibull分布形式的體分形維數(shù)模型可以準(zhǔn)確地表明破片質(zhì)量分布特征。

3.2 破片線分形維數(shù)測量結(jié)果

由于破片為三維結(jié)構(gòu)，采用碼尺法測量其線分形維數(shù)時(shí)所選取的外圍輪廓多變，在爆炸條件下金屬殼體破碎形成破片后會以一定速度(1 300～2 200 m/s)向四周飛散，而破片在飛散過程中飛行逐漸趨于穩(wěn)定，將以其所受阻力最小的面在空氣中飛行，即破片迎風(fēng)面積。破片輪廓則與破片迎風(fēng)面積存在相關(guān)性，在軍事應(yīng)用中具有重要的物理意義，可為準(zhǔn)確計(jì)算常規(guī)武器威力提供重要參數(shù)，其是國內(nèi)外軍事研究中威力測試的一個(gè)十分重要科目。因此本文對實(shí)際破片輪廓進(jìn)行研究，在應(yīng)用碼尺法測定破片輪廓的線分形維數(shù)時(shí)，需先獲取破片輪廓坐標(biāo)。如圖7所示，針對單一破片圖像輪廓坐標(biāo)的獲取，首先獲取破片的二值化圖像，并從圖像采集的過程入手，編制從破片輪廓坐標(biāo)的定位程序，通過查找周圍像素信息，最終獲取破片外圍輪廓坐標(biāo)。

3.3 破片體/線分形維數(shù)關(guān)系驗(yàn)證

表3 任意視圖破片輪廓線分形維數(shù)計(jì)算部分結(jié)果

4 結(jié)論

1)基于分?jǐn)?shù)形式體分形維數(shù)定義，本文首次提出了爆炸瞬時(shí)條件下金屬殼體破碎后形成破片特征的體分形維數(shù)測定模型，并應(yīng)用MATLAB軟件中數(shù)學(xué)算法編制了擬合Rosin-Rammler粒度分布函數(shù)的Gauss-Newton法迭代程序，計(jì)算了破片平均體分形維數(shù)D3=2.385 9，相關(guān)系數(shù)高達(dá)0.995 7且大于傳統(tǒng)雙對數(shù)法擬合結(jié)果，表明Gauss-Newton法擬合結(jié)果優(yōu)于雙對數(shù)回歸結(jié)果，爆炸條件下殼體破碎形成破片質(zhì)量分布滿足統(tǒng)計(jì)自相似性，可以利用體分形維數(shù)分布模型來表征。

2)利用碼尺法測定了爆炸條件下殼體破碎形成破片飛散過程中實(shí)際破片隨機(jī)視圖輪廓線分形維數(shù)，分形特征一致，表明實(shí)際工程應(yīng)用中可以利用實(shí)際破片隨機(jī)面輪廓線分形維數(shù)來表示破片迎風(fēng)面輪廓線分形維數(shù)，為研究破片特征提供了一種新的技術(shù)途徑。

3)研究了爆炸條件下殼體破碎形成破片體/線分形維數(shù)關(guān)系，結(jié)果表明：針對本文所研究的破片質(zhì)量分布特征和形貌特征，采用不同測定方法得到的體/線分形維數(shù)滿足體/線分形維數(shù)關(guān)系D3+2D1=5，進(jìn)一步地說明爆炸條件下殼體破碎形成破片特征可以利用分形理論來研究，為爆炸瞬時(shí)條件下殼體破碎形成破片特征研究奠定了理論基礎(chǔ)。