數(shù)列極限不同求解方法及應(yīng)用

摘 要：我們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析這一基礎(chǔ)學(xué)科時，始終伴隨著極限思想。極限是數(shù)學(xué)分析的基石，是微積分的基礎(chǔ)。掌握極限的相關(guān)概念、性質(zhì)及求解方法是學(xué)好數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)和前提。求極限的題型多種多樣，求極限的方法也各不相同，靈活掌握它們，可以使一些數(shù)學(xué)問題更加簡單。所以本文總結(jié)了數(shù)列極限的定義、性質(zhì)、存在的條件和一些求法，比如定義法、分步法等。希望本文能夠?qū)τ趯W(xué)習(xí)數(shù)列極限的人有所幫助。

關(guān)鍵詞：數(shù)列極限；求解方法；應(yīng)用

數(shù)學(xué)分析里有很多概念，數(shù)列是其中較為常用的一個，也是解決眾多數(shù)學(xué)問題必不可少的元素。尤其是數(shù)列極限更是一個非常重要的部分，從最基礎(chǔ)的數(shù)列極限的求解，到數(shù)學(xué)建模里的應(yīng)用，都需要我們進一步了解數(shù)列極限。學(xué)好極限知識能夠幫助我們更好地理解和掌握數(shù)學(xué)分析相關(guān)知識。

一、數(shù)列極限的概念

設(shè){an}是一個數(shù)列，a為定數(shù)。若對任給的正數(shù)的ε，總存在正整數(shù)N，使得當n>N時有|an-a|<ε，則稱數(shù)列{an}收斂于a，定數(shù)a稱為數(shù)列{an}的極限，并記作或者an→a（n→∞）。否則稱數(shù)列{an}不收斂，或者稱為發(fā)散數(shù)列[1]。

對于一個數(shù)列，當n→∞時，則也無限地趨近于0，那么我們就稱數(shù)列為收斂數(shù)列。也就是說，當n的數(shù)值為∞時，數(shù)列的通項an與常數(shù)a之差的絕對值可以無限小.

二、收斂數(shù)列的性質(zhì)

（1）唯一性。如果說一個數(shù)列是收斂數(shù)列的話，那么極限必然只有一個。

（2）有界性。收斂的數(shù)列必有界。

（3）保號性。設(shè)an是以a為極限的收斂數(shù)列，我們有：若a>0，則對；，N，使得當n>N時，有；若a<0，則對；，N，使得當n>N時，有。

（4）保序性。設(shè)數(shù)列{an}與{bn}收斂，若存在整數(shù)N0，使得當n>N0時有an≤bn，則有：.

（5）迫斂性。設(shè)三個數(shù)列{an}，{bn}和{cn}有1. an≤bn≤cn，（n=1，2，3…）； 2. 。這樣的話{cn}一定是一個收斂的數(shù)列，而且能夠知道這個數(shù)列的極限其實同樣是a。

（6）可加、可乘性。設(shè)數(shù)列{an}，{bn}是收斂數(shù)列且， 則①；②；③，其中。

注意：bn為常數(shù)C時有。

三、數(shù)列極限的求法

（1）極限定義求法。按照定義來求極限是求數(shù)列極限最基礎(chǔ)的方法，但是也有其局限性。這種方法適用已經(jīng)可以看出極限值的情況，我們只是證明其就是所求數(shù)列的極限而已。

具體過程如下：設(shè){xn}是數(shù)列，A為常數(shù)，對任意的正數(shù)ε，存在正數(shù)N，當n>N時，有|xn-A|<ε成立，則稱{xn}以A為極限，或者{xn}收斂于A，記作。

需注意：N的取法并不唯一，N與ε的取值有關(guān)，由ε決定。

（2）極限運算法則法。其實雖然理論上來說定義法能夠解決所有求極限的問題，但是為了實際運算的時候比較簡單明了，也是為了能夠減少出錯的機會，要是能夠知道一部分極限值的話，其實通過運算法則能夠讓這個求解的過程變得比較簡單。

（3）夾逼準則求法。將所求極限的數(shù)列做適當?shù)姆糯蠛涂s小，如果放大和縮小后得到的變量的極限相等，那么原極限存在，并且等于此公共值。

（4）單調(diào)有界定理求法[2]。在我們想研究復(fù)雜一點的數(shù)列極限問題的時候，應(yīng)該先考慮數(shù)列是否存在極限。如果存在的話，我們才能繼續(xù)考慮如何求解數(shù)列的極限。那么如何能夠確定數(shù)列極限的存在性呢？對于某一個具體的數(shù)列的極限，我們不可能把所有的實數(shù)驗證一遍來看數(shù)列是不是存在極限。這個時候就可以通過單調(diào)有界定理進行提前判斷。如果一個數(shù)列是單調(diào)的，并且是有界的，那么一定存在極限。

（5）函數(shù)極限法。我們已經(jīng)知道，任何的一個數(shù)列都能夠被看作是一個函數(shù)，所以數(shù)列的極限和函數(shù)的極限之間必定有某種特殊的關(guān)系。我們根據(jù)兩者的定理就能夠看出，數(shù)列極限也可以看做是函數(shù)在自變量趨于正無窮的時候的一種特殊情況。

四、數(shù)列極限的應(yīng)用——求方程的數(shù)值解

是一個非常典型的無理數(shù)，那么我們想要做的是通過有理數(shù)實現(xiàn)對于的逼近過程，而且如果精確度有所要求的話，我們應(yīng)該要怎么做才能夠滿足要求？可以看到我們能過把這個無理數(shù)當成是的正根。從而我們能夠把通過有理數(shù)實現(xiàn)對于的逼近變成是求解方程。

我們對于上面的問題進行一般化闡述，也就是說任意a>0，想要通過有理數(shù)實現(xiàn)對于的逼近?，F(xiàn)在我們知道x0>0是近似等于的，那么給出，這里面，不可能都大于或者都小于。也就是說應(yīng)該位于這兩個數(shù)中間。所以說我們可以推斷和的差別更小，這樣的話能夠?qū)崿F(xiàn)對于的更為精確的逼近。其實：

其實x0不管取什么值，x1都為過剩近似值。這樣的話我們可以讓x0為過剩近似值，所以就有。這樣的話有。重復(fù)就有，其中。因為。所以。這樣的話我們就能夠?qū)崿F(xiàn)對于的逼近。

回到最初的問題，還是看如何實現(xiàn)對于的逼近。第一步我們讓，然后進行迭代，能夠得到

這樣我們就能夠得到比較接近的方程的數(shù)值解。

五、結(jié)語

數(shù)列極限是數(shù)學(xué)分析中最為基礎(chǔ)的概念之一，需要我們在學(xué)習(xí)的時候投注更多的精力。并且我們在具體學(xué)習(xí)中需注意到在一些求極限的題目中并不是對一種求解方法的應(yīng)用，而有可能需要應(yīng)用多種方法。我們要具體問題具體分析，活學(xué)活用。

參考文獻：

[1]楊雄.數(shù)列極限的求解方法探討[J].佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2018（1）：44-47.

[2]吳楠.單調(diào)有界定理和壓縮映射定理在求解遞推數(shù)列極限中的應(yīng)用[J].考試周刊，2018（8）：66-67.

作者簡介：林潘能（1990—），男，漢族，廣東茂名人，本科，主要研究方向：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)。