運用基本圖、輕松解幾何

傅麗娜

【摘 要】現(xiàn)在學(xué)生對幾何題目經(jīng)常無從下手，不知如何解決，本文通過對基本圖的歸納和在一系列題目中的應(yīng)用來探討教學(xué)中基本知識落實的重要性。

【關(guān)鍵詞】基本圖形；中點；中線（重心）；中位線

數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)應(yīng)該是，引導(dǎo)學(xué)生從學(xué)習(xí)知識走向強化數(shù)學(xué)思維和提高綜合素質(zhì)。在本人的初中教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)有關(guān)相似三角形的問題對不少學(xué)生來說是一個難點，本文從三個基本圖形及其重要結(jié)論出發(fā)來談?wù)勗诮忸}過程中如何運用基本圖形，輕松解幾何題目。

一、基本圖形

1.中點基本圖和結(jié)論

已知△ABC，D是邊BC上的中點，則S■=S■。

已知△ABC，D是邊BC上的點，則S■：S■=BD：CD。

2.中線（重心）基本圖和結(jié)論

∵G是△ABC的重心

∴AG/GD=BG/GF=CG/GE=2/1

GD：AG：AD=1：2：3

3.中位線基本圖和結(jié)論

∵DE是△ABC的中位線

∴DE∥BC

DE=1/2BC

二、有關(guān)相似三角形的面積問題

題目1. 如圖， ABCD中，E是BC邊的中點，已知△BEF的面積為S，則△ABF的面積為（ ）

分析：相似三角形面積之比等于相似比的平方，高相同的兩個三角形面積之比等于底邊之比。運用基本圖形一可以解決本題。

解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴△ADF∽△BEF，

∴AD：BE=AF：EF，

∵E是BC邊的中點，

∴BE=1/2BC=1/2AD，

∴AF：EF=2/1，

∴S■：S■=AF：EF=2/1，

∵△BEF的面積為S，

∴△ABF的面積為2S。

題目2.如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、BC上的點，且DE∥AC，若BE：BC=1：4，則S■：S■的比為（ ）

解：∵DE∥AC，

∴△ABC∽△DBE，

∴S■：S■=（BE：BC）■

∵BE：BC=1：4，

∴S■：S■=1：16，

設(shè)S■=S，則S■=16S，

∵BE：BC=1：4，

∴S■=4S，

∴S■=16S-4S=12S，

∴S■：S■=1：12。

為了讓大多數(shù)學(xué)生能對已知的比值求相似三角形面積比的知識內(nèi)化理解，知一題、會一片，這里又設(shè)計了一道，以此引導(dǎo)學(xué)生分析理解，會用基本圖和基本結(jié)論。

題目3.如圖，在△ABC中，點D，E分別在AC、AB上且DE∥BC，若S■：S■=2：3，則S■：

S■=（ ）

三、有關(guān)相似三角形線段之比的問題

題目4. 如圖，AD是△ABC的中線，E是AD上一點，AE：ED=1：3，BE的延長線交AC于F，則AF：FC=（ ）

A.1：3 B.1：4 C.1：5 D.1：6

學(xué)生第一次做這個題目基本沒有思路，常規(guī)的都是找三角形相似，對平行線所夾線段成比例忽略，如果想到平行線，那么過中點做平行線就變得常規(guī)，可以構(gòu)造出中位線模型的基本圖。

分析：作DH∥BF交AC于H，據(jù)三角形中位線基本圖形得到FH=HC，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到AF：FH=AE：ED=1：3，計算得到答案。

解：作DH∥BF交AC于H，

∵AD是△ABC的中線，∴FH=HC，

∵DH∥BF，

∴AF：FH=AE：ED=1：3，

∴AF：FC=1：6 答案選擇D

題目5.如圖，△ABC的兩條中線AD和BE相交于點G，過點E作EF∥BC交AD于點F，則FG：AG是（ ）

A.1：4 B.1：3 C.1：2 D.2：3

分析：兩條中線的交點不能只想著重點，還必須想到重心，因為重心分中線為1：2的兩條線段，考慮是否能用到這邊題目中，而已知EF∥BC想到三角形相似或平行線所夾線段成比例，正好可以得到FG：DG=EG：BG=1：2。

解：∵△ABC的兩條中線AD和BE相交于點G，

∴點G是△ABC的重心，

∴DG：AG=EG：BG=1：2，

∵EF∥BC，

∴FG：DG=EG：BG=1：2，

∴FG：AG=1：4，所以A選項是正確的。

題目6.如圖，在△ABC中，中線BE與CD相交于點O，連接DE，下列結(jié)論：①DE：BC=1：2；②S■：S■=1：2；③AD：AB=OE：OB； ④S■：S■=1：3。其中正確的個數(shù)有（ ）

A.1個

B.2個

C.3個

D.4個

本題主要考查三角形的基本概念和相似三角形的判定與性質(zhì)。

①項，因為BE、CD均為中線，所以D，E分別為AB，AC的中點，所以DE為△ABC的中位線，所以DE=1/2BC，所以DE：BC=1：2。故①項正確。

②項，因為DE是中位線，所以DE∥BC，DE=1/2BC，所以△DOE∽△BOC，S■=（DE/BC）■=（1：2）■=1：4，所以故②項錯誤。

③項，因為△DOE∽△BOC，所以O(shè)E：OB=1：2，又因為AD：AB=1：2，所以AD：AB=OE：OB，故③項正確。

④項，因為△ABC的中線BE與CD交于點O，所以點O是△ABC的重心，根據(jù)重心性質(zhì)可得，OB=2OE，根據(jù)基本圖形一S■：S■=OE：OB=1：2，S■：S■=1：3，因為D為中線，所以S■=S■，所以S■：S■=1：3。

所以正確的有3個，選擇答案C。

四、解題反思

由上面幾個例題可以看出，在看到中點、中線、中位線時借助模型可以出現(xiàn)很多結(jié)論。在三角形相似問題中，學(xué)生要學(xué)會通過找基本圖形解決問題。學(xué)會充分挖掘題目條件，注重問題本質(zhì)和通性通法的探究和注重解題策略的探究。

學(xué)生的學(xué)習(xí)是從自己已有的知識和經(jīng)驗出發(fā)的一種自主構(gòu)建的過程。教學(xué)中無論是新課還是復(fù)習(xí)，必須研究學(xué)生，當(dāng)學(xué)生思維受阻或解決問題遇到困難時，教師作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者，引導(dǎo)者和合作者，應(yīng)多思考問題出在了哪里，教學(xué)要遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律，從學(xué)生已有的知識和視鏡情況出發(fā)，將問題分解，更應(yīng)該在落實基礎(chǔ)知識的前提下，給學(xué)生適當(dāng)補充一些激化思維、提升能力、鍛煉學(xué)生應(yīng)用知識及創(chuàng)新發(fā)展的問題。對課本內(nèi)容進行二次開發(fā)，對有深層聯(lián)系的知識進行重組整合，使之成為有效促進學(xué)生深度學(xué)習(xí)的載體，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展的過程，從而體驗到自己是知識與結(jié)論的探索者、發(fā)現(xiàn)者，這樣既活化了知識，又促進了思維的發(fā)展。

【參考文獻】

[1]初中數(shù)學(xué)教與學(xué)