求解變系數(shù)時(shí)滯拋物型方程的高精度數(shù)值解法

劉明鼎, 張艷敏

(青島理工大學(xué) 琴島學(xué)院, 山東 青島 266106)

在刻畫(huà)物理科學(xué)和工程領(lǐng)域中,多數(shù)現(xiàn)象的發(fā)生過(guò)程可以歸結(jié)為初邊值拋物型方程.而時(shí)滯拋物型方程更是在刻畫(huà)傳染病的潛伏期、彈性力學(xué)的滯后作用、物質(zhì)和信息的傳輸?shù)饶Ｐ头矫姘l(fā)揮重要作用.對(duì)時(shí)滯微分方程解析解的性質(zhì)和高精度數(shù)值解法的研究始終是一個(gè)重要的內(nèi)容,對(duì)解析解相關(guān)性質(zhì)的研究多于數(shù)值方法的研究[1-12].本文研究了求解一類變系數(shù)時(shí)滯拋物型方程的一種高精度數(shù)值解法.

(1)

(2)

然后對(duì)wk(xm,tn),k=1,2,…,通過(guò)遞推公式精確求解.用數(shù)值算例驗(yàn)證方法的有效性時(shí),只需計(jì)算出無(wú)窮級(jí)數(shù)前18項(xiàng),數(shù)值解就能達(dá)到比較理想的精度.

1 數(shù)值解法格式的構(gòu)造

將式(1)在點(diǎn)(xm,t)處半離散得到

(3)

在區(qū)間[tn,t],t∈(tn,tn+1]上積分得

對(duì)式(5)兩端進(jìn)行比較,得出遞推公式

(6)

由邊值條件,當(dāng)m=0時(shí),取

(7)

當(dāng)m=M時(shí),取

(8)

(9)

(10a)

通過(guò)式(9)、式(10)計(jì)算得到wk(xm,tn+1),k=1,2,…,即有

(11)

2 收斂性證明

Wk+1=CWk+Fk,k=2,3,…,

(12)

其中,

因無(wú)窮級(jí)數(shù)舍掉有限項(xiàng)不改原變級(jí)數(shù)斂散性,因此考慮如下級(jí)數(shù)的收斂性

Wk+1=CWk,k=3,4,….

反復(fù)利用上式得到:

Wk+1=Ck-2W3,k=3,4,….

進(jìn)一步推出

3 穩(wěn)定性證明

定理2 數(shù)值計(jì)算方法是無(wú)條件穩(wěn)定.

證明 在等式

由式(10)、式(11)進(jìn)一步整理得:

得出對(duì)應(yīng)誤差關(guān)系式為

將式(16)改寫(xiě)為矩陣方程得:

(17)

對(duì)式(17)整理得:

對(duì)式(18)取范數(shù)得:

由Kellog定理[7]

‖(I+Cn+1m‖)-1(I-Cnm)‖2≤1,

所以有

不妨設(shè)數(shù)值解的誤差產(chǎn)生于n=0層.即‖εn‖2=0,-p≤n≤-1,當(dāng)k=1,2,…,p時(shí), 由式(20)計(jì)算得:

循環(huán)利用式(21)得

顯然式(21)對(duì)k=0時(shí)同樣成立,即‖εk‖2≤v0,k=0,1,2,…,p.通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法,假設(shè)成立不等式

‖εmp+k‖2≤vm,k=0,1,2,…,p,

(23)

循環(huán)利用式(24)得:

(25)

顯然不等式(25)對(duì)k=0也成立.

則對(duì)所有m均成立

‖ε(m+1)p+k‖2≤vm+1,k=0,1,2,…,p.

(26)

又因?yàn)?/p>

‖εn‖2≤‖εmp+k‖2≤vm=(1+2k1τ)mv0,

(27)

其中,

穩(wěn)定性證畢.

4 數(shù)值算例

算例1

在數(shù)值計(jì)算時(shí)取Δt=0.001,N=1 000,取級(jí)數(shù)前18項(xiàng),所得到數(shù)值解的相對(duì)誤差見(jiàn)表1.

表1 數(shù)值解的相對(duì)誤差Table 1 The relative error of numerical solution

算例2

在數(shù)值計(jì)算時(shí)取Δt=0.001,N=1 000,取級(jí)數(shù)前18項(xiàng),所得到數(shù)值解的相對(duì)誤差見(jiàn)表2.

表2 數(shù)值解的相對(duì)誤差Table 2 The relative error of numerical solution

從表1和表2可以看出,在具體計(jì)算時(shí)取級(jí)數(shù)(11)的前18項(xiàng)時(shí),就可以達(dá)到較好的數(shù)值精度.如果取無(wú)窮級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)進(jìn)一步增加,數(shù)值精度會(huì)略高于文獻(xiàn)[13].從表1與表2的精度對(duì)比可以看出,算例2的數(shù)值精度比算例1的數(shù)值精度略高,因?yàn)樗憷?的精確解沿時(shí)間方向?yàn)檫f增函數(shù),算例2的精確解沿時(shí)間方向?yàn)檫f減函數(shù).

5 結(jié) 語(yǔ)

本文首先對(duì)一類時(shí)滯拋物型方程利用半離散的方式進(jìn)行離散,進(jìn)而得到一種差分格式.再通過(guò)將網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)處的數(shù)值解利用無(wú)窮級(jí)數(shù)的形式進(jìn)行表示后,把無(wú)窮級(jí)數(shù)帶入差分方程,結(jié)合梯形積分公式,對(duì)差分方程進(jìn)行推導(dǎo),得到計(jì)算無(wú)窮級(jí)數(shù)的遞推關(guān)系式,可以利用遞推關(guān)系式算出無(wú)窮級(jí)數(shù)的任意有限項(xiàng).在通過(guò)數(shù)值算例驗(yàn)證方法的有效性時(shí),只需要取級(jí)數(shù)的前18項(xiàng)就可以達(dá)到比較好的數(shù)值精度.

在后面的工作中,將探討利用該方法求解分?jǐn)?shù)階微分方程,進(jìn)一步檢驗(yàn)該方法的有效性.