補(bǔ)償目標(biāo)機(jī)動(dòng)和制導(dǎo)動(dòng)力學(xué)的制導(dǎo)律

李富貴,賈生偉，2,卜奎晨,高 峰,佟澤友

(1.中國(guó)運(yùn)載火箭技術(shù)研究院， 北京 100076; 2.南京航空航天大學(xué)， 南京 210016)

當(dāng)前戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境日趨復(fù)雜，導(dǎo)彈飛行過(guò)程中面臨復(fù)雜的對(duì)抗環(huán)境[1]。諸如主動(dòng)隱身、電磁干擾、目標(biāo)機(jī)動(dòng)等給導(dǎo)彈的作戰(zhàn)效能來(lái)了極為不利的影響。如何在高對(duì)抗條件下，提高制導(dǎo)性能是當(dāng)前迫切需要解決的問(wèn)題[2]。

制導(dǎo)律是制導(dǎo)系統(tǒng)的重要組成部分，對(duì)制導(dǎo)性能的有關(guān)鍵作用。使用先進(jìn)的制導(dǎo)律是改善制導(dǎo)性能的重要措施。高對(duì)抗環(huán)境下，導(dǎo)引頭捕獲目標(biāo)的作用距離嚴(yán)重下降，造成末制導(dǎo)段的飛行時(shí)間嚴(yán)重壓縮；同時(shí)目標(biāo)在末制導(dǎo)段的機(jī)動(dòng)會(huì)引起更大的需用過(guò)載[3]。

當(dāng)前有部分學(xué)者對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行了研究，取得了一些成果，但總體來(lái)說(shuō)，工程實(shí)現(xiàn)難度較大。本文研究了一種制導(dǎo)律，通過(guò)制導(dǎo)動(dòng)力學(xué)的補(bǔ)償，縮短了末制導(dǎo)段的需用時(shí)間，通過(guò)目標(biāo)機(jī)動(dòng)補(bǔ)償，降低了導(dǎo)彈需用過(guò)載，可以實(shí)現(xiàn)高對(duì)抗條件下的使用。時(shí)域和頻域等效方法，可實(shí)現(xiàn)對(duì)制導(dǎo)動(dòng)力學(xué)的補(bǔ)償修正。

1 制導(dǎo)律模型與求解

制導(dǎo)律求解用的模型常為線性化模型，以便于利用最優(yōu)化方法推導(dǎo)出最優(yōu)解，且模型的復(fù)雜度不宜高，否則給求解和實(shí)際工程應(yīng)用將帶來(lái)巨大的困難[4]。制導(dǎo)動(dòng)力學(xué)包括導(dǎo)彈的動(dòng)力學(xué)和目標(biāo)的動(dòng)力學(xué)。設(shè)導(dǎo)彈動(dòng)力學(xué)模型為

(1)

式(1)中:amc為導(dǎo)彈加速度指令；am為導(dǎo)彈加速度響應(yīng)； 1/ωm為彈體動(dòng)力學(xué)時(shí)間常數(shù)。

目標(biāo)動(dòng)力學(xué)模型為

(2)

式(2)中:atc為目標(biāo)加速度指令;am為目標(biāo)加速度響應(yīng); 1/ωt為目標(biāo)動(dòng)力學(xué)時(shí)間常數(shù)。

(3)

取目標(biāo)函數(shù)為命中時(shí)刻脫靶量為零且控制能量最小，即

(4)

式(4)中tF為末制導(dǎo)時(shí)間。式(3)對(duì)應(yīng)改寫為

(5)

設(shè)t為時(shí)間，則有：

Φ(t)=L-1[(sI-A)-1]

(6)

則式(5)微分方程的的解為：

(7)

在式(7)中只取第一個(gè)狀態(tài)量，則有：

(8)

令剩余飛行時(shí)間tgo=tF-t，則式(8)中：

(9)

(10)

把終端條件y(tF)=0代入式(9)，可得：

(11)

由柯西不等式有：

(12)

當(dāng)?shù)忍?hào)成立時(shí)，所需控制能量最小，則由柯西不等式等號(hào)成立的條件有：

amc(λ)=kh1(tF-λ)

(13)

把式(13)代入式(12)，可得

(14)

設(shè)彈目視線角為q，彈目接近速度為Vc，小角條件下有：

(15)

對(duì)式(15)求導(dǎo)得：

(16)

把式(9)、式(10)、式(14)、式(16)代入式(13)后，經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)可得最優(yōu)制導(dǎo)律：

(17)

令：

(18)

則最優(yōu)制導(dǎo)律可表示為

(19)

2 制導(dǎo)動(dòng)力學(xué)時(shí)間常數(shù)等效方法

為使制導(dǎo)律的形式及使用簡(jiǎn)單，最優(yōu)制導(dǎo)律推導(dǎo)時(shí)假設(shè)導(dǎo)彈和目標(biāo)的動(dòng)力學(xué)均為一階滯后模型。而實(shí)際上導(dǎo)彈和目標(biāo)的動(dòng)力學(xué)特性是復(fù)雜的高階動(dòng)力學(xué)特性。如何把這諸多的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)等效為制導(dǎo)律中需用的一階動(dòng)力學(xué)，以維持最優(yōu)制導(dǎo)律性能不下降太多是最優(yōu)制導(dǎo)律應(yīng)用中須解決的問(wèn)題。

動(dòng)力學(xué)時(shí)間常數(shù)可以使用時(shí)域或頻域特征點(diǎn)進(jìn)行等效。對(duì)于一階系統(tǒng)t63特征(系統(tǒng)階躍響應(yīng)上升到終值63%的時(shí)間)即為系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)，對(duì)于高價(jià)系統(tǒng)也可以系統(tǒng)階躍響應(yīng)獲得t63指標(biāo)用于等效時(shí)間常數(shù)。系統(tǒng)帶寬ωb是重要的頻域特征點(diǎn)，對(duì)于一階系統(tǒng)，1/ωb即為系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)。

為了對(duì)比在不同階數(shù)時(shí)ωb和t63等效策略，需要在不同階數(shù)的制導(dǎo)動(dòng)力學(xué)下研究等效后制導(dǎo)律的性能。一個(gè)很好的方法是把系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)和系統(tǒng)階數(shù)的影響分開，采用一個(gè)多項(xiàng)式動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)[4]：

(20)

其中n為系統(tǒng)階數(shù)。

在文獻(xiàn)[4]中T也常被取近似為制導(dǎo)系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)，在T=1時(shí)，不同階數(shù)n下由t63和ωb計(jì)算得到的等效時(shí)間常數(shù)如表1所示。

表1 不同階數(shù)下等效時(shí)間常數(shù)

由上述計(jì)算結(jié)果可知T≈t63，而隨著階數(shù)增加，1/ωb與t63相差越大，當(dāng)系統(tǒng)為5階時(shí)，兩種等效策略得到的時(shí)間常數(shù)相差1倍。

3 最優(yōu)制導(dǎo)律性能

最優(yōu)制導(dǎo)律正向分析模型如圖2所示，圖中Vm為導(dǎo)彈速度，HE為初始指向偏差角。

取目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度指令atc=4g，制導(dǎo)時(shí)間常數(shù)1/ωm=1 s，1/ωt=1 s，飛行時(shí)間為10 s。在制導(dǎo)信息理想的條件下本最優(yōu)制導(dǎo)律(OPN)和比例導(dǎo)引律(PN)[6]及增強(qiáng)比例導(dǎo)引律(APN)[6]的需用加速度指令值如圖3所示。

從圖3可知，最優(yōu)制導(dǎo)律加速度曲線為一條直線，末段過(guò)載收斂為0，這說(shuō)明最優(yōu)制導(dǎo)律正好消除了系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)，同時(shí)完全補(bǔ)償了目標(biāo)機(jī)動(dòng)和重力加速度的影響。比例導(dǎo)引律和增強(qiáng)比例導(dǎo)引律制導(dǎo)律在末端需用加速度極大。

定義無(wú)量綱參數(shù)：

對(duì)圖2進(jìn)行無(wú)量綱化，并運(yùn)用伴隨函數(shù)法[7]，可得到無(wú)量綱伴隨函數(shù)框圖，如圖4所示。圖4給出了在初始指向偏差和目標(biāo)機(jī)動(dòng)條件下的無(wú)量綱伴隨函數(shù)框圖，其中制導(dǎo)系數(shù)也進(jìn)行了無(wú)量綱伴隨處理。

(21)

在初始指向偏差下，圖5給出了比例制導(dǎo)律在不同階數(shù)制導(dǎo)動(dòng)力學(xué)下無(wú)量綱脫靶量隨無(wú)量綱末導(dǎo)時(shí)間變化曲線，當(dāng)末制導(dǎo)時(shí)間大于10倍的制導(dǎo)動(dòng)力學(xué)時(shí)間常數(shù)時(shí)，初始指向偏差引起的脫靶量才會(huì)歸零。同樣，也可得到初始指向偏差干擾下最優(yōu)制導(dǎo)律無(wú)量綱脫靶量隨無(wú)量綱末導(dǎo)時(shí)間變化曲線，圖6中制導(dǎo)系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)等于t63，圖7中制導(dǎo)系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)取為1/ωb，當(dāng)末制導(dǎo)時(shí)間大于4～6倍的制導(dǎo)動(dòng)力學(xué)時(shí)間常數(shù)時(shí)，脫靶量會(huì)歸零。

同理，在目標(biāo)機(jī)動(dòng)下，圖8給出了比例制導(dǎo)律無(wú)量綱脫靶量隨無(wú)量綱末導(dǎo)時(shí)間變化曲線，當(dāng)末制導(dǎo)時(shí)間大于10倍的制導(dǎo)動(dòng)力學(xué)時(shí)間常數(shù)時(shí)，目標(biāo)機(jī)動(dòng)引起的脫靶量才會(huì)逐漸趨于零。最優(yōu)制導(dǎo)律下無(wú)量綱脫靶量隨無(wú)量綱末導(dǎo)時(shí)間變化曲線如圖9和圖10所示。其中圖9中制導(dǎo)系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)等于t63，圖10中制導(dǎo)系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)取為1/ωb，當(dāng)末制導(dǎo)時(shí)間大于6倍的制導(dǎo)動(dòng)力學(xué)時(shí)間常數(shù)時(shí)，目標(biāo)機(jī)動(dòng)引起的脫靶量會(huì)歸零。

綜上可知，對(duì)于最優(yōu)制導(dǎo)律制導(dǎo)動(dòng)力學(xué)時(shí)間常數(shù)取t63還是1/ωb均可獲得不錯(cuò)的效果，雖然高階動(dòng)力學(xué)條件下兩種等效策略得到的時(shí)間常數(shù)相差近一倍，反映了最優(yōu)制導(dǎo)律對(duì)制導(dǎo)動(dòng)力學(xué)時(shí)間常數(shù)的魯棒性非常好，在工程中兩種制導(dǎo)時(shí)間常數(shù)等效策略都可以使用。最優(yōu)制導(dǎo)律不僅減小了需用過(guò)載，而且使得所需末制導(dǎo)時(shí)間縮小為比例導(dǎo)引律的60%，這較大降低了對(duì)導(dǎo)引頭探測(cè)距離和導(dǎo)彈末端機(jī)動(dòng)過(guò)載的需求，對(duì)于隱身目標(biāo)、大機(jī)動(dòng)目標(biāo)具有非常重要的意義。

4 結(jié)論

該制導(dǎo)律可有效降低導(dǎo)彈需用過(guò)載，制導(dǎo)末端需用過(guò)載收斂為零；該制導(dǎo)律有效降低了需用末制導(dǎo)時(shí)間，末制導(dǎo)時(shí)間需要6倍的制導(dǎo)時(shí)間常數(shù)，是比例導(dǎo)引律需用末制導(dǎo)時(shí)間的60%；最優(yōu)制導(dǎo)律對(duì)制導(dǎo)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)時(shí)間常數(shù)修正值具有很強(qiáng)的魯棒性，時(shí)域指標(biāo)t63或頻域指標(biāo)1/ωb均可作為修正用的制導(dǎo)動(dòng)力學(xué)時(shí)間常數(shù)。