多角度構(gòu)造完備事件組

熊歐

【摘 要】恰當(dāng)構(gòu)造完備事件組是利用全概率公式解題的關(guān)鍵。本文通過一道例題，采用三種方法構(gòu)造完備事件組進(jìn)行求解，總結(jié)出完備事件組構(gòu)造的基本方法，同時(shí)有利于拓寬同學(xué)們的解題思路。

【關(guān)鍵詞】完備事件組；全概率公式

【中圖分類號】J292.1 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】2095-3089（2018）12-0046-01

全概率公式是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的重要公式，它借助于一個(gè)完備事件組將復(fù)雜事件分解成若干個(gè)簡單事件的概率的求和問題，靈活應(yīng)用全概率公式給我們解決日常問題帶來了很大的便利。應(yīng)用全概率公式的關(guān)鍵是尋找一個(gè)恰當(dāng)?shù)耐陚涫录M，但在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)尋找完備事件組是很多學(xué)生感到困惑的一個(gè)難題。本文通過一道用全概率公式求解的例題，從三種不同角度構(gòu)造完備事件組進(jìn)行求解，總結(jié)出構(gòu)造完備事件組的基本方法，為廣大學(xué)者提供參考。一、完備事件組，全概率公式

定義1：設(shè)B1，B2，，Bn為E的一組事件，若

（1）BiBj=φ，i≠j；i，j=1，2，L，n；

（2）B1UB2UL UBn=S.

則稱B1，B2，，Bn為樣本空間S的一個(gè)完備事件組或稱為樣本空間S的一個(gè)劃分.

定理1：設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S，A為E的任一事件，B1，B2，，Bn為S的一個(gè)完備事件組，且則P（Bi）>0（i=1，2，，n），則

P（A）=∑〖DD（〗n〖〗i=1〖DD）〗P（A|Bi）P（Bi）.

上式稱為全概率公式.二、完備事件組的多種構(gòu)造法

在文獻(xiàn)[1]中，有這樣一個(gè)題目：有兩個(gè)盒子，第一盒中裝有2個(gè)紅球，1個(gè)白球，第二盒中裝一半紅球，一半白球?，F(xiàn)從兩盒中各任取一球放在一起，再從中取一球，問：這個(gè)球是紅球的概率。

分析：本題涉及到兩次取球，第一次從兩個(gè)盒中各任取一球，第二次從取出的兩個(gè)球中任取一球。顯然第一次取球的結(jié)果影響第二次取球的結(jié)果，因此本例可按第一次取球的樣本空間進(jìn)行分解即可構(gòu)造出所需的完備事件組。

解法一：考慮第一次取到紅球的個(gè)數(shù)，其樣本空間為S1={0，1，2}。設(shè)Bi表示第一次取出i個(gè)紅球（i=0，1，2），則B0，B1，B2構(gòu)成S的一個(gè)完備事件組，設(shè)A表示最后取出的是紅球。

〖XC70.JPG；%25%25〗

由全概率公式有

〖XC71.JPG；%25%25〗

解法二：考慮第一次取到球的顏色，其樣本空間為S2={（紅，紅）（紅，白）（白，紅）（白，白）}，設(shè)Ci表示從第i盒中取到的是紅球（i=1，2）.則C1C2，C1C〖TX-〗2，C〖TX-〗1C2，C〖TX-〗1C〖TX-〗2構(gòu)成一個(gè)完備事件組。

〖XC72.JPG；%25%25〗

分析：本題中的試驗(yàn)對象是球，涉及到球的來源和球的顏色，按照來源可以把球分為兩類：“來自于第一盒的球”和“來自于第二盒的球”，按照顏色也可以分為兩類：“紅球”和“白球”，顯然來自于哪個(gè)盒子影響是紅球還是白球的概率，故可按來源這個(gè)分類方法的樣本空間進(jìn)行分解構(gòu)造完備事件組。

解法三：考慮最后取出的球的來源，其樣本空間為S3={1，2}.設(shè)Di表示最后取出的球來自于第i盒（i=1，2）則D1，D2構(gòu)成完備事件組。

〖XC73.JPG；%25%25〗三、結(jié)束語

通過上述例題的分析可以看到在尋找完備事件組時(shí)可按如下兩個(gè)方法進(jìn)行：（1）若試驗(yàn)可分為前后兩個(gè)步驟，則第一步中的各種可能結(jié)果就構(gòu)成一組完備事件組。（2）若試驗(yàn)涉及到試驗(yàn)對象的兩種不同分類方法，而關(guān)心的問題是某分類方法下某種可能結(jié)果發(fā)生的概率，則另一類分類方法下各種可能的結(jié)果就構(gòu)成完備事件組。同時(shí)，通過一題多解可以啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度進(jìn)行分析，以達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的目的。

參考文獻(xiàn)

[1]王式安.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)輔導(dǎo)講義[M].西安交通大學(xué)出版社，2016.

[2]盛驟.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].高等教育出版社，2008.

項(xiàng)目名稱：MOOC背景下培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的教學(xué)模式研究，編號：YTJG201811