初中數(shù)學(xué)探究教學(xué)案例研究
——以反比例函數(shù)與一次函數(shù)課為例

■ 趙 鵬

一、問題的提出

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出:“數(shù)學(xué)是人們對(duì)客觀世界的定性把握和定量刻畫、逐步抽象概括、形成方法和理論, 并進(jìn)行廣泛應(yīng)用的過程。”所謂“探究性學(xué)習(xí)” 是指學(xué)生在教師的指導(dǎo)下, 從學(xué)習(xí)生活和社會(huì)生活中選擇并確定研究專題, 用類似科學(xué)研究的方式主動(dòng)獲取知識(shí), 并應(yīng)用知識(shí)解決問題，從而在掌握科學(xué)內(nèi)容時(shí), 初步體驗(yàn)、理解和應(yīng)用科學(xué)研究的方法, 掌握科研能力的一種學(xué)習(xí)方式。數(shù)學(xué)教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究學(xué)習(xí),能最大限度地調(diào)動(dòng)學(xué)生參與學(xué)習(xí)的積極性, 發(fā)揮學(xué)生自主探究的能動(dòng)性, 使數(shù)學(xué)課堂煥發(fā)勃勃生機(jī),從而優(yōu)化數(shù)學(xué)課堂。

數(shù)學(xué)的教學(xué)目標(biāo)分為知識(shí)領(lǐng)域、技能領(lǐng)域和情感領(lǐng)域三大領(lǐng)域。為此，教師在準(zhǔn)備課堂教學(xué)時(shí)要根據(jù)教學(xué)目標(biāo)的要求選擇相應(yīng)的教學(xué)策略，讓學(xué)生在知識(shí)的接受、能力的提高、心理的承受能力等方面達(dá)到預(yù)期的效果，以此提高學(xué)生的綜合素質(zhì)。借以培養(yǎng)現(xiàn)實(shí)生活中學(xué)生遇到矛盾時(shí)，提高分析問題和解決問題的能力。二是為了讓學(xué)生明確教學(xué)的重難點(diǎn)，教師可以先通過學(xué)生了解的東西入手，然后用實(shí)物加以演示，以便引起學(xué)生的重視和興趣，進(jìn)而刺激學(xué)生的大腦，使學(xué)生能夠興奮起來，對(duì)所學(xué)內(nèi)容在大腦中刻下強(qiáng)烈的印象，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生對(duì)新知識(shí)的接受能力。

在數(shù)學(xué)課堂上，對(duì)探究性學(xué)習(xí)的實(shí)踐，可以借鑒科學(xué)家發(fā)明創(chuàng)造的思想方法，通過對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行多角度、多方面的變式探索研究，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探索“變”的規(guī)律，以增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和應(yīng)變能力，培養(yǎng)學(xué)生的非模仿性思維以及發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力。

二、初中數(shù)學(xué)探究教學(xué)的內(nèi)涵及內(nèi)容

（一）數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)的內(nèi)涵及內(nèi)容

在《現(xiàn)代漢語詞典》中，“探究”被解釋為探索研究、探尋追究?！疤剿鳌钡慕忉屖嵌喾綄で蟠鸢?，解決疑問?！疤健钡囊馑际窃噲D發(fā)現(xiàn)（隱藏的事物或情況）?！熬俊钡囊馑际亲屑?xì)推敲、追查。所以對(duì)探究一詞，我們可以理解為取多種方法去尋找事物的本質(zhì)和規(guī)律，從而解決疑問。

百度百科上對(duì)探究的解釋是：探究亦稱發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)，是指學(xué)生在學(xué)習(xí)情境中通過觀察、閱讀，發(fā)現(xiàn)問題，搜集數(shù)據(jù)，形成解釋，獲得答案并進(jìn)行交流、檢驗(yàn)、探究性學(xué)習(xí)。

我們的古代先賢孔子提倡學(xué)生的學(xué)習(xí)要學(xué)思結(jié)合：“學(xué)而不思則惘，思而不學(xué)則殆”；提倡教師的教要善用啟發(fā)誘導(dǎo)的教學(xué)方式：“不憤不啟，不悱不發(fā)。舉一隅不以三隅反，則不復(fù)也”。

建構(gòu)主義認(rèn)為，知識(shí)不是通過教師的傳授得到的，而是學(xué)習(xí)者在一定的情境即社會(huì)文化背景下，借助其他人（包括教師和學(xué)習(xí)伙伴）的幫助，利用必要的學(xué)習(xí)資料，通過意義建構(gòu)的方式而獲得的。學(xué)習(xí)不是由教師把知識(shí)簡單地傳遞給學(xué)生，而是學(xué)生自己建構(gòu)知識(shí)的過程。學(xué)生不是簡單被動(dòng)地接收信息，而是主動(dòng)地建構(gòu)知識(shí)的意義，這種建構(gòu)是無法由他人來代替的。

探究性學(xué)習(xí)，即是指學(xué)生通過主動(dòng)探索，相對(duì)獨(dú)立地作出科學(xué)發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造，包括由此而獲得科學(xué)活動(dòng)的實(shí)際體驗(yàn)和經(jīng)驗(yàn)。在數(shù)學(xué)教育中，培養(yǎng)學(xué)生的探究創(chuàng)新能力和實(shí)踐能力，成為教育的重要價(jià)值取向相對(duì)于接受學(xué)習(xí)，探究性學(xué)習(xí)更有利于培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的習(xí)慣，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。

探究性學(xué)習(xí)，可以有廣義和狹義兩種理解。從廣義上來理解，它泛指學(xué)生探究問題的學(xué)習(xí)，是一種學(xué)習(xí)方式，一種教育理念或策略；從狹義上理解，它是一種專題研究活動(dòng)，是指學(xué)生在教師指導(dǎo)下，從自身生活和社會(huì)生活中選擇并確定研究專題，以類似科學(xué)研究的方式主動(dòng)獲取知識(shí)、應(yīng)用知識(shí)、解決問題的學(xué)習(xí)活動(dòng)。探究性學(xué)習(xí)涉及學(xué)習(xí)活動(dòng)中的師生關(guān)系、活動(dòng)的內(nèi)容領(lǐng)域、活動(dòng)的主要形式、活動(dòng)的目的。在師生關(guān)系上是教師指導(dǎo),學(xué)生主動(dòng)活動(dòng)；在活動(dòng)的內(nèi)容領(lǐng)域上，是學(xué)科或社會(huì)現(xiàn)實(shí)生活；在活動(dòng)的主要形式上，是采用類似于科學(xué)研究的方法；在活動(dòng)結(jié)果上，是獲得知識(shí)、技能、情感與態(tài)度，并促進(jìn)探索精神和創(chuàng)新精神的發(fā)展。

（二）數(shù)學(xué)探究的特點(diǎn)

數(shù)學(xué)是一門生動(dòng)活潑的學(xué)科,是一套探索已知世界和未知世界的工具。數(shù)學(xué)能夠提供探索現(xiàn)實(shí)世界和新的虛擬世界的材料和方法；通過對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)部的探索，可以產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)思想，從而修改和發(fā)展現(xiàn)有的思想。隨著數(shù)學(xué)課程改革的不斷深入，數(shù)學(xué)探究教學(xué)越來越受到重視。數(shù)學(xué)教育正從注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的傳承轉(zhuǎn)變到更加關(guān)注學(xué)生可持續(xù)發(fā)展和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)教學(xué)不是教給學(xué)生作為客觀世界基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，而是在教他們?nèi)绾伟l(fā)展自己的認(rèn)識(shí)水平，滿足學(xué)生在開放的現(xiàn)實(shí)情境中主動(dòng)探索研究、獲得親身體驗(yàn)、解決實(shí)際問題的需要。

根據(jù)數(shù)學(xué)的課程性質(zhì)可知，數(shù)學(xué)探究可分為發(fā)現(xiàn)型探究和表達(dá)型探究，即目的在于發(fā)現(xiàn)探究對(duì)象的特點(diǎn)、性質(zhì)和規(guī)律等方面知識(shí)的探究活動(dòng)，為表達(dá)抽象的觀念或描述復(fù)雜的事物而創(chuàng)造形式化表達(dá)方式的探究活動(dòng)。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》中說明：“數(shù)學(xué)探究即數(shù)學(xué)探究性課題學(xué)習(xí)，是指學(xué)生圍繞某個(gè)數(shù)學(xué)問題，自主探究、學(xué)習(xí)的過程。這個(gè)過程包括：觀察分析數(shù)學(xué)事實(shí)，提出有意義的數(shù)學(xué)問題，猜測(cè)、探求適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)結(jié)論和規(guī)律，給出解釋或證明?！泵绹摹?061計(jì)劃”旨在提高人們?cè)诳茖W(xué)、數(shù)學(xué)和技術(shù)方面的素養(yǎng)，以幫助人們生機(jī)盎然地、負(fù)責(zé)任地和富有成效地生活。在計(jì)劃中，提出數(shù)學(xué)探究包括以下環(huán)節(jié)：（1）將思考的事物用數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)出來；（2）利用邏輯規(guī)則操作這些邏輯符號(hào)，試圖發(fā)現(xiàn)它們之間的新關(guān)系；（3）看這種新關(guān)系對(duì)理解思考事物是否有幫助。

在初中數(shù)學(xué)課程中，探究是作為獲取數(shù)學(xué)知識(shí)技能的一種手段和載體而出現(xiàn)。數(shù)學(xué)探究教學(xué)應(yīng)根據(jù)學(xué)生的心理特征及數(shù)學(xué)研究的規(guī)律性,發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的潛能,體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性。在教師的組織指導(dǎo)下，基于數(shù)學(xué)問題解決所需的情境和途徑，學(xué)生充分利用各種數(shù)學(xué)探究課程資源，通過實(shí)物操作實(shí)驗(yàn)、數(shù)學(xué)思想實(shí)驗(yàn)、數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析、信息技術(shù)實(shí)驗(yàn)等，收集與研究問題相關(guān)的各種信息，進(jìn)而再提出研究問題、形成猜想、利用特例進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證、進(jìn)行演繹證明、反思(推廣拓展)，經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念、命題的形成、歸納過程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)問題的生成、解決(證明)及其應(yīng)用的過程，進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)研究的精神和思想方法，初步形成數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、人文價(jià)值和美學(xué)價(jià)值。

三、課例研究——以反比例函數(shù)與一次函數(shù)課為例

下面通過一個(gè)課例，探索數(shù)學(xué)探究在初中課堂的具體實(shí)施。

本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是掌握反比例函數(shù)與一次函數(shù)的關(guān)系，能夠利用解析式和圖像解決反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題。

環(huán)節(jié)一：

【教師活動(dòng)】

如圖1，函數(shù)y1=2x+1與y2=-x+4交于點(diǎn)A。

（1）求A點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）當(dāng) y1＞y2時(shí)，寫出x的取值范圍

【學(xué)生活動(dòng)】

獨(dú)立完成，復(fù)習(xí)解題經(jīng)驗(yàn)、技巧。

【歸納總結(jié)】

如圖2：（1）求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，可以把兩個(gè)解析式聯(lián)立，組成方程組求解；

（2）在交點(diǎn)A處，做垂直于x軸的直線，把坐標(biāo)系分為兩個(gè)部分，直線左側(cè)為y1＜y2，直線右側(cè)為 y1＞y2。

【設(shè)計(jì)點(diǎn)評(píng)】

圖1

圖2

本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)和反比例函數(shù)，并且對(duì)函數(shù)問題有了一定的認(rèn)識(shí)，具備了一定的解題經(jīng)驗(yàn)。 讓學(xué)生通過對(duì)直線交點(diǎn)的復(fù)習(xí)，喚醒解題經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)，為接下來的探究活動(dòng)創(chuàng)設(shè)一個(gè)可模仿、可比較的思考情境。

在一個(gè)新的探究情境中，自己已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)又得到了新的認(rèn)識(shí)和理解，有了新的發(fā)現(xiàn)。所以，創(chuàng)設(shè)一個(gè)絕大多數(shù)學(xué)生熟悉的問題情境或制造一個(gè)能引起多數(shù)學(xué)生共鳴的認(rèn)知沖突，是進(jìn)行有效的探究活動(dòng)的重要途徑之一，能引起學(xué)生注意和喚起他們內(nèi)在的學(xué)習(xí)需要，誘發(fā)探究動(dòng)機(jī)。

環(huán)節(jié)二：

【教師活動(dòng)】

【學(xué)生活動(dòng)】

以小組為單位進(jìn)行交流，解決問題，歸納總結(jié)，并展示。

【歸納總結(jié)】

可以模仿求兩直線交點(diǎn)的方法，把兩個(gè)解析式聯(lián)立，通過求解分式方程，確定兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)。

【設(shè)計(jì)點(diǎn)評(píng)】

探究活動(dòng)需要有梯度、有層次地逐一進(jìn)行。在喚醒學(xué)生對(duì)兩直線交點(diǎn)問題后，先嘗試如何確定反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，問題難度小，但是能夠讓學(xué)生主動(dòng)與兩直線的交點(diǎn)問題進(jìn)行聯(lián)系、對(duì)比，為學(xué)生接下來的探究活動(dòng)提供了支持。

環(huán)節(jié)三：

反比例函數(shù)y=與正比例函數(shù)y=k2x，

1.在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出它們的圖像有幾種位置關(guān)系？

2.每種位置關(guān)系所對(duì)應(yīng)的解析式應(yīng)滿足什么條件？

【學(xué)生活動(dòng)】

以小組為單位進(jìn)行交流，解決問題，歸納總結(jié)，并展示。

【歸納總結(jié)】

反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的圖像，當(dāng)k1·k2＞0時(shí)，圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，并且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；當(dāng)k1·k2＞＜0時(shí)，圖像沒有交點(diǎn)。

【設(shè)計(jì)點(diǎn)評(píng)】

從特殊到一般，對(duì)普遍規(guī)律進(jìn)行抽象、提升，數(shù)學(xué)探究要求學(xué)生在探究活動(dòng)中，能夠在解決實(shí)際問題的基礎(chǔ)上，完成對(duì)發(fā)現(xiàn)探究對(duì)象的特點(diǎn)、性質(zhì)和規(guī)律的發(fā)現(xiàn)和表達(dá)。新課程倡導(dǎo)在老師的引導(dǎo)下學(xué)生進(jìn)行自主探究式學(xué)習(xí)，為保證學(xué)生的自我探究活動(dòng)能夠順利進(jìn)行，可鼓勵(lì)學(xué)生先根據(jù)自己的實(shí)際將問題細(xì)化，然后再試著解決問題。

四、成效與反思

數(shù)學(xué)探究指導(dǎo)下的課堂教學(xué)不只是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)的接受程度，而是更多地關(guān)注學(xué)生的主動(dòng)參與，更多地注重學(xué)生的思維，形成平等、協(xié)商、交流的新型的探究性學(xué)習(xí)的師生關(guān)系，并將學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)或者課堂生成作為新的學(xué)習(xí)資源，使之不斷成為學(xué)生學(xué)習(xí)的起點(diǎn)。此外，教師在課堂上還會(huì)向?qū)W生強(qiáng)調(diào)、滲透數(shù)學(xué)的理性精神，并充分發(fā)揮數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值對(duì)教學(xué)的感染啟迪和指導(dǎo)的作用，傳遞與提升數(shù)學(xué)智慧。很顯然，探究性學(xué)習(xí)關(guān)注學(xué)生獲得知識(shí)的參與過程，把數(shù)學(xué)看成一項(xiàng)促進(jìn)個(gè)人發(fā)展的探索活動(dòng)，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題并作為探究因子，開展實(shí)踐探究活動(dòng)，并逐漸學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)思考。

明代朱熹提出“小立課程，大作功夫”（《朱子全書·論學(xué)》）的主張。“小立課程”，指每次課研究的主要內(nèi)容不宜過多?！按笞鞴Ψ颉?，指在實(shí)施上要做足功夫。整個(gè)教學(xué)過程體現(xiàn)學(xué)多教少，騰出時(shí)間讓學(xué)生大量地進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng),包括思維活動(dòng)。雖然新課程要求學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)容很多，但不是每個(gè)內(nèi)容都需要在課堂上深入研究，有些內(nèi)容讓學(xué)生在課下學(xué)習(xí)就可以掌握，再通過整合就可以納入學(xué)生的知識(shí)體系中。每次課要抓住核心概念和一個(gè)或幾個(gè)主要問題,大作功夫。核心概念統(tǒng)率著本節(jié)課的全部內(nèi)容。學(xué)生抓住了核心概念，可以帶動(dòng)其他附屬內(nèi)容的學(xué)習(xí)，達(dá)到“綱舉目張”的效果。

同時(shí)，數(shù)學(xué)探究不只需要知識(shí)經(jīng)驗(yàn)與生活經(jīng)驗(yàn)為探究活動(dòng)提供支持，同時(shí)需要探究活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從而保證探究活動(dòng)的順利進(jìn)行。而活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)實(shí)際上就是學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對(duì)于研究方法的理解，建立在學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的理解之上。

數(shù)學(xué)課程的基本理念是數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上。教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，問題情境—發(fā)現(xiàn)問題—獲得猜想—證明猜想—反思拓廣，幫助他們?cè)谧灾魈剿骱秃献鹘涣鞯倪^程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。