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    能用拉格朗日中值定理解決不等式恒成立問題嗎

    2018-08-23 06:10:38云南師范大學數(shù)學學院孔德宏郵編650092
    中學數(shù)學教學 2018年4期
    關鍵詞:增函數(shù)中值拉格朗

    云南師范大學數(shù)學學院 孔德宏 龔 玨 (郵編:650092)

    不等式的恒成立問題一直是高考數(shù)學的熱點,大致可以分為兩種類型:一是含參不等式恒成立,求參數(shù)的取值范圍;二是證明不等式成立.

    用拉格朗日中值定理來解決不等式的恒成立問題具有高等數(shù)學背景,通常情況下解題過程簡潔,解題方法新穎.但這樣做對嗎?如果對,其依據(jù)是什么?如果不對,那問題又出在哪里?下面來研究這一問題.

    1 含參不等式恒成立,求參數(shù)的取值范圍

    例1 已知函數(shù)f(x)=ex+x-1,若對任意x∈(0,+∞)都有f(x)>kx恒成立,求k的取值范圍.

    解法1 (分類討論)

    令g(x)=f(x)-kx,則g(x)=ex+(1-k)x-1>0對x∈(0,+∞)恒成立.

    易知g(0)=0,g′(x)=ex+1-k,且g′(x)是增函數(shù),所以g′(x)>g′(0)=2-k.

    (1)當k≤2時,g′(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù).從而g(x)>g(0)=0,即k≤2滿足題意.

    (2)當k>2時,令g′(x)=0,即ex=k-1,易得x=ln(k-1)>0.

    因為g′(x)是增函數(shù),所以當x∈(0,ln(k-1))時,g′(x)<0,g(x)是減函數(shù).

    所以當x∈(0,ln(k-1))時,g(x)

    綜上,得k≤2.

    顯然f′(t)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.所以k≤f′(0)=2,故k≤2.

    說明 兩種解法,答案相同.其中解法2使用了拉格朗日中值定理,避免了分類討論,從而簡化了解題過程.由此似乎可得出:求含參不等式恒成立問題中參數(shù)取值范圍的問題,用拉格朗日中值定理是一個較好的解題方法.

    事實真的是這樣嗎?我們試著用同樣的方法解決例2.

    例2 已知函數(shù)f(x)=ex-x2-1,若對任意x∈(0,+∞)都有f(x)>kx恒成立,求k的取值范圍.

    因為當x∈(0,+∞)時,ex-x-1>0,所以當x∈(0,1)時,g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;當x∈(1,+∞)時,g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.所以k

    故k的取值范圍為(-∞,e-2).

    令g(t)=et-2t,則g′(t)=et-2.

    令g′(t)=0,得t=ln2,易知g(t)在(0,ln2)內(nèi)單調(diào)遞減,在(ln2,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.所以g(t)min=g(ln2)=eln2-2ln2=2-2ln2.

    故k<2-2ln2,即k的取值范圍為(-∞,2-2ln2).

    說明 兩種解法,答案不同.經(jīng)認真檢查,可以確認解法1是正確的,從而,這里的解法2肯定就出錯了,可究竟錯在哪里?特別地,例1中的解法2(拉格朗日中值定理法)為什么算出的答案又是正確的呢?

    2 錯因分析

    而例1和例2的解法2卻都把問題轉化為k

    3 用拉格朗日中值定理證明不等式

    例3 已知函數(shù)f(x)=ex+x-1,x∈(0,+∞),求證:f(x)>2x.

    證明 (拉格朗日中值定理)

    又因為f′(t)=et+1在t∈(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,所以f′(t)=et+1>2.

    4 關于D*?D的典型例子

    例4 已知定義在(0,+∞)內(nèi)的函數(shù)f(x)=xe-x.

    5 結論

    結論1 已知含參數(shù)k的不等式對x∈D恒成立,求參數(shù)k的取值范圍的問題(如例1、例2),若能用拉格朗日中值定理,把問題轉化為k

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