構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

孫德貴　王志宏

摘 要 構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題不但具有把問(wèn)題由簡(jiǎn)化易、由繁化簡(jiǎn)、由抽象化具體的轉(zhuǎn)化之功能，而且還有保證解答正確的保險(xiǎn)功能，因此構(gòu)造法是在高中數(shù)學(xué)中應(yīng)用很廣泛的一種解題方法。

關(guān)鍵詞 高中數(shù)學(xué)；構(gòu)造法

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2018）07-0029-01

一、構(gòu)造方程（組）

方程是表示兩個(gè)數(shù)學(xué)式（如兩個(gè)數(shù)、函數(shù)、量、運(yùn)算）之間相等關(guān)系的一種等式，是含有未知數(shù)的等式，通常在兩者之間有一等號(hào)“=”。方程不用按逆向思維思考，可直接列出等式并含有未知數(shù)。它具有多種形式，如一元一次方程和二元二次方程等等。方程，作為高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，他與數(shù)、式、函數(shù)等很多知識(shí)有著密切的聯(lián)系。根據(jù)問(wèn)題條件中的數(shù)量關(guān)系和結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出一個(gè)新的方程，然后根據(jù)方程的理論，往往使問(wèn)題在新的關(guān)系下得以轉(zhuǎn)化而獲得解決。

例1：設(shè)a，b，c為實(shí)數(shù)，若（a+b）（a+b+c）<0，證明：（b-c）2>4a（a+b+c）

分析：要證不等式：（b-c）2>4a（a+b+c），我們聯(lián)想到一元二次方程的根的判別式b2-4ac>0，因此我們可以構(gòu)造二次函數(shù)f（x）=ax2+（b-c）x+（a+b+c），只要證得方程f（x）=0有兩根或f（x）與x軸相交即可。

二、構(gòu)造函數(shù)

函數(shù)表示每個(gè)輸入值對(duì)應(yīng)唯一輸出值的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，函數(shù)f中對(duì)應(yīng)輸入值的輸出值x的標(biāo)準(zhǔn)符號(hào)為f（x）。它包含某個(gè)函數(shù)所有的輸入值的集合被稱作這個(gè)函數(shù)的定義域，包含所有的輸出值的集合被稱作值域。如果先定義映射的概念，那么可以簡(jiǎn)單定義函數(shù)為：定義在非空數(shù)集之間的映射稱為函數(shù)。在求解某些數(shù)學(xué)問(wèn)題的時(shí)侯，根據(jù)問(wèn)題的條件，然后構(gòu)思組合成一種新的函數(shù)關(guān)系，使問(wèn)題在新的觀念下轉(zhuǎn)化并利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)解決問(wèn)題是一種很有效的手段。構(gòu)造函數(shù)解決問(wèn)題是一種創(chuàng)造性思維過(guò)程，具有較大的靈活性和技巧性。在應(yīng)用過(guò)程當(dāng)中，應(yīng)該有目的，有意識(shí)的進(jìn)行構(gòu)造，始終要“盯住”要解決問(wèn)題的目標(biāo)。

例2：解方程 。

分析：注意到 與 具有相同的結(jié)構(gòu)，令則原方程為 。我們只要證明 是奇函數(shù)且是單調(diào)函數(shù)，就能簡(jiǎn)單的解出此題。

三、構(gòu)造反例

如果要說(shuō)明一個(gè)命題是假命題，我們通常可以舉出一個(gè)例子，使之具備命題的條件，而不具有命題的結(jié)論，這種例子稱為反例。根據(jù)反例的概念，我們?cè)诮飧咧袛?shù)學(xué)題時(shí)，為了說(shuō)明例題不真，只需要構(gòu)造一個(gè)符合命題條件而結(jié)論真的特例即可。

例3：對(duì)一切實(shí)數(shù) ，下面的不等式是否成立？

分析：為了說(shuō)明 ，只要我們?nèi)∫粋€(gè)特殊值，使 即可。

四、構(gòu)造三角模型

數(shù)學(xué)和其它學(xué)科一樣，要學(xué)以致用，“建?！彼枷刖桶褦?shù)學(xué)這門高度抽象的基學(xué)科與實(shí)際生活緊密地聯(lián)系在一起，在實(shí)際中滲透數(shù)學(xué)思想，把數(shù)學(xué)中的理論作為工作，充分發(fā)揮其作用，因而許多問(wèn)題可通過(guò)構(gòu)造模型來(lái)處理，將問(wèn)題中的條件，數(shù)量關(guān)系，在已構(gòu)造的模型上實(shí)現(xiàn)并得到解釋，從而實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的證明，或轉(zhuǎn)化為在所構(gòu)造的模型上相應(yīng)問(wèn)題的證明。近年來(lái)，構(gòu)造模型的方法越來(lái)越被重視，并成為高考中的一道獨(dú)特的風(fēng)景線。

例4：已知 ，求證： 。

分析：將條件轉(zhuǎn)化為 。聯(lián)想 ，由此構(gòu)造三角模型，令 ，即①式 ，②式 .又①+②×2得

五、構(gòu)造向量

在數(shù)學(xué)中我們把既有大小又有方向且遵循平行四邊形法則的量就叫做向量，向量是近世代數(shù)中最重要也是最基本的數(shù)學(xué)概論之一，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一個(gè)重要工具，它有著極其豐富的實(shí)際應(yīng)用背景。向量有大小也有方向，大小反應(yīng)“數(shù)”的特征，方向反應(yīng)“形”的特征。因此，向量是集數(shù)形與一身的數(shù)學(xué)感念。是數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的思想體現(xiàn)，掌握好了向量知識(shí)，有意識(shí)的應(yīng)用向量知識(shí)去解決相關(guān)的問(wèn)題，不僅能優(yōu)化解題思路，而且能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和發(fā)散思維。我們?cè)谇笥行┖瘮?shù)的最值問(wèn)題中，例如出現(xiàn)含有兩個(gè)或三個(gè)含有根式的和與差的形式，當(dāng)我們使用平方法或者代替法不能有效去根號(hào)，在這種情況下，如果我們善于觀察問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征，挖掘代數(shù)結(jié)構(gòu)的向量模型，構(gòu)造向量，把原有問(wèn)題轉(zhuǎn)換為向量問(wèn)題，會(huì)產(chǎn)生事半功百的效果。

六、結(jié)論

在學(xué)習(xí)構(gòu)造法時(shí)，只有不斷總結(jié)，不斷完善知識(shí)理論和結(jié)構(gòu)，才能在解題思路中有所發(fā)現(xiàn)，有所創(chuàng)意。

參考文獻(xiàn)：

[1]黃忠裕.中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法專題講座[M].成都：四川大學(xué)出版社，2006（11）：98-105.