“一個數(shù)除以分數(shù)”的思維斷層該如何修復

陳雪香 宋煜陽

實際教學顯示，學生學習例1時感到很輕松，學習例2時卻覺得苦不堪言。究其原因，主要是兩個例題的編排在認知序列上銜接不夠，思維跨度太大，學生的思維出現(xiàn)了斷層。主要表現(xiàn)為以下四個方面。

1.例2的思維含量跨越式升級

例1直接以運算意義的方式呈現(xiàn)，學生可獨立列式，從幾何直觀中直接計算出結(jié)果。例2側(cè)重解決問題，有多種方法。由于是第一次出現(xiàn)除數(shù)是分數(shù)的除法，學生在列式解答時，需要從時間、速度、路程三者之間的關系來思考計算方法。例2的重點是掌握一個數(shù)除以分數(shù)的算法并理解算理，難度原本就比例1大，又在例題的算法選擇上增加了思維含量，在思維含量跨越式升級的背景下，學生容易產(chǎn)生畏懼心理。

2.材料直觀化不同

例1用的是面積模型，例2用的是線軸模型，顯然面積模型比線軸模型更直觀。例2的算理比例1要抽象，再加上材料進一步抽象，導致學習的難度翻倍。如果對應例1呈現(xiàn)材料的方式，例2也應選擇面積模型等更直觀的材料。

3.算理承接不對應

上述分析可知，例2與例1相比，思維的跳躍性太大，學生不能理解算理，只能將算法記住了事。

二、該如何修復思維斷層？

1.例題選擇：材料對應，方法直觀

人教版的分數(shù)除法教學之所以不順暢，是因為兩個例題的思維方法和基礎材料選擇不一致，導致例2教學成了無本之木。我們不妨借鑒北師大版和浙教版教材，將兩個例題材料同質(zhì)化，縮小思維跨度。既然例1用了面積模型，例題以運算意義直接呈現(xiàn)，例2也不妨順勢而為，以分餅形式讓學生直接列式解答，不必人為增加難度。

北師大版

浙教版

為此，我們建議人教版例1教學完后提供北師大版例2，讓學生快速列出算式，借助直觀材料得出答案，為探究算理預留時間。例2采用圓形餅圖的題組展開，有兩方面優(yōu)勢：一是分數(shù)除法與整數(shù)除法的運算意義一脈相承，以題組形式步步深入，有利于學生進一步理解分數(shù)除法的意義；二是以圓形餅作為教學材料，既與三年級上冊中“分數(shù)的初步認識”教學起點相切合，又與二年級下冊中“除法的認識”相銜接，非常契合學生的認知原點。

2.算理探究：直觀形象，凸顯規(guī)律

一個數(shù)除以分數(shù)的教學先從整數(shù)除以分數(shù)開始，再教學分數(shù)除以分數(shù)。在整數(shù)除以分數(shù)的算法探究中，應主要在兩處著力。

一是以圓形餅和算式對應，學生直觀發(fā)現(xiàn)規(guī)律。在例1的教學中，學生已初步感知除以整數(shù)可看作乘這個整數(shù)的倒數(shù)?；诶?的思維基礎，在教學整數(shù)除以分數(shù)時，教師要充分創(chuàng)造條件讓學生發(fā)現(xiàn)分數(shù)除法和分數(shù)乘法之間的聯(lián)系，為分數(shù)除以分數(shù)教學做好鋪墊。順著例1的面積模型可選擇更加直觀的圓形餅作為教學起點，并回溯到整數(shù)除法中，將知識鏈拉長，以題組形式讓學生發(fā)現(xiàn)總餅數(shù)不變，每份數(shù)占餅的面積越小，分得的份數(shù)越多。在分的過程中，學生直觀得出整數(shù)除以一個分數(shù)都可以轉(zhuǎn)化成乘這個分數(shù)的倒數(shù)來計算，初步感知乘除法之間的互換關系。

3.算法歸納：承前啟后，理清法明

以上教學只解決了整數(shù)除以分數(shù)的算理和算法，而分數(shù)除以分數(shù)是不是也可以運用這個規(guī)律解決呢？

（1）承接例1，用同分母分數(shù)相除驗證猜想的合理性。

驗證1是學生借助直觀，以整數(shù)除法的意義得出結(jié)論。驗證2可由整數(shù)除以分數(shù)中得到可乘分數(shù)的倒數(shù)的結(jié)論得出答案。驗證3則是在整數(shù)除以分數(shù)中如果把除數(shù)看作1份時，利用商不變性質(zhì)也能得到相同的結(jié)論。

如此一來，學生利用例1和整數(shù)除以分數(shù)教學中的三個方法，從不同角度證明了一個數(shù)除以分數(shù)可以轉(zhuǎn)化成乘這個數(shù)的倒數(shù)來計算。

（2）承接例2，商不變性質(zhì)歸納結(jié)論的正確性。

有了同分母分數(shù)相除時的驗證經(jīng)驗，學生在探究異分母分數(shù)相除時完全可以仿效同分母的驗證方法，從而發(fā)現(xiàn)哪種更具有普遍性。

（作者單位：浙江省寧波市奉化區(qū)江口中心小學浙江省寧波市奉化區(qū)教師進修學校）