特殊化策略在高考選擇題中的應(yīng)用

摘要：“特殊化策略”是眾多數(shù)學(xué)解題策略中的一種，也是應(yīng)用較多的一種。特殊化的作用就是對一個(gè)復(fù)雜或多元化的問題進(jìn)行特殊化甚至極端化的處理，然后通過處理這個(gè)特殊化或極端化的問題得到最終問題的答案。本文旨在通過特殊化解題策略的主要思想、基本原則以及具體應(yīng)用，探討分析特殊化解題策略在高考選擇題中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：特殊化策略；解題策略；數(shù)學(xué)解題；特殊化

一、 主要思想

想要有效的利用特殊化策略解決數(shù)學(xué)問題，就必須明白“特殊化”這一解題策略的主要思想。特殊化策略即視原問題為一般，構(gòu)造其特殊問題，通過對特殊問題的解決而獲得原問題的解決策略。特殊化策略是一種以退為進(jìn)的策略，正如華羅庚先生認(rèn)為的；善于退，足夠的退，一直退到原始而不失重要性的地方，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅。波利亞也曾說過：“特殊化是從考慮一組給定的對象集合過渡到考慮該集合的一個(gè)較小的子集，或僅一個(gè)對象?！币虼宋覀兛偨Y(jié)出特殊化策略的主要思想，概括來說就是八個(gè)字“以退為進(jìn)，化繁為簡”。其目的是在一定的限制條件或者范圍內(nèi)以最簡單的方式解決最復(fù)雜的問題。

二、 基本原則

在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，對于特殊化解題策略的運(yùn)用并不是盲目的。雖然每個(gè)數(shù)學(xué)問題都有其特殊性，但并不是任何的數(shù)學(xué)問題都可以用特殊化策略來解決，特殊化策略的運(yùn)用也需要滿足一定的限制條件或范圍。因此在運(yùn)用特殊化策略解決問題時(shí)需遵循以下兩條基本原則：（1）若命題在一般條件下成立，則它必在特殊條件下也成立；（2）若命題在特殊條件下不成立，則它在一般條件下也必不成立。

三、 具體應(yīng)用

眾所周知選擇題在高考試卷中所占的比重是非常之大的，因此如何高效且準(zhǔn)確地拿下選擇題的分?jǐn)?shù)是目前很多高考生所要面臨的問題。特殊化策略在幫助學(xué)生解決高考選擇題時(shí)能起到很大的作用。下面我將通過幾道例題來展示特殊化策略相對于傳統(tǒng)解題方式對于學(xué)生解題的重要性。并通過對比兩種解題方式簡單程度探討特殊化解題策略的有效性。

【例1】（2017年全國卷Ⅰ）函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)，若f（1）=-1，則滿足-1≤f（x-2）≤1的x的取值范圍是（）

A. [-2，2]B. [-1，1]C. [0，4]D. [1，3]

傳統(tǒng)解法：因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)，所以f（-1）=-f（1）=1，所以-1≤f（x-2）≤1就等價(jià)于f（1）≤f（x-2）≤f（-1），又因?yàn)閒（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減，所以-1≤x-2≤1，所以1≤x≤3。故選D。

特殊化策略解題：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）為奇函數(shù)，且f（1）=-1。所以我們假設(shè)奇函數(shù)為f（x）=-x，所以解-1≤f（x-2）≤1就等價(jià)于-1≤-（x-2）≤1，解得1≤x≤3。故選D。

分析：傳統(tǒng)解法主要是利用函數(shù)左右兩側(cè)的單調(diào)性相同，并根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得出f（-1）=1，然后在利用單調(diào)性求解-1≤f（x-2）≤1。而特殊化策略則是假定奇函數(shù)為f（x）=-x，然后通過f（x-2）=-（x-2）直接解不等式-1≤f（x-2）≤1。因此我們可以看到在這道選擇題中，特殊化策略是直接通過一個(gè)假定的奇函數(shù)去求解不等式。而傳統(tǒng)解法則是通過奇函數(shù)性質(zhì)及其單調(diào)性去求解。相對于傳統(tǒng)解法來看，特殊化策略更簡單快速，并且對于那些對奇函數(shù)單調(diào)性不是很理解的學(xué)生，特殊化策略就顯得更加容易把握。

【例2】（2017全國卷Ⅱ）設(shè)幾何A={1，2，4}，B={x|x2-4x+m=0}，若A∩B={1}，則B=（）

A. {1，-3}B. {1，0}C. {1，3}D. {1，5}

傳統(tǒng)解法：因?yàn)锳∩B={1}，所以1是方程x2-4x+m=0的一個(gè)根，代入解得m=3，所以B={x|x2-4x+3=0}，故B={1，3}。

特殊化策略解法：據(jù)題意可知集合B中的元素一定是方程x2-4x+m=0的根，所以韋達(dá)定理可知x1+x2=4，只有選項(xiàng)C符合，因此選C。

分析：這道題目相對來說比較簡單，沒有很復(fù)雜的算式。傳統(tǒng)解法是根據(jù)兩個(gè)集合的交集先去求出方程，然后通過解方程的根得到集合B的元素。而特殊化策略則是根據(jù)韋達(dá)定理判斷出方程兩個(gè)根的和為4，從而直接排除了其他三個(gè)錯(cuò)誤的選項(xiàng)。雖然這道題并沒有很復(fù)雜的計(jì)算，但是我們還是可以看到，特殊化策略相對于傳統(tǒng)解法來說還是省略一些解題步驟。并且沒有用到全部的已知條件，直接依據(jù)方程的兩根之和就得出了答案。因此可以看出特殊化策略在解題過程中具有高效的特點(diǎn)。

【例3】（2017全國卷Ⅱ）已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則PA·（PB+PC）的最小值是（）

A. -2B. -32C. -43D. -1

傳統(tǒng)解法：如圖所示建立坐標(biāo)系

連接PA，PB，PC，PO，點(diǎn)的坐標(biāo)分別A（0，3），B（-1，0），C（1，0），P（x，y），O（0，0），

所以O(shè)A=（0，3），OB=（-1，0），OC=（1，0），OP=（x，y）。因?yàn)镻B+PC=2PO，所以原式PA·（PB+PC）就等價(jià)于PA·2PO。因?yàn)镻A·PO=（-x，3-y）·（-x，-y），所以PA·PO=x2+y2-3y=x2+y-322-34，所以PA·PO≥-34，所以PA·2PO≥-32，

所以PA·（PB+PC）≥-32，故選B。

特殊化策略解法：因?yàn)镻C+PB=2PO，所以PA·（PB+PC）=2PA·PO=（PA+PO）2-（PA-PO）22，又因?yàn)镻A-PO=OA，

所以原式等于（PA+PO）2-（OA）22，因?yàn)椋∣A）2=3，且（PA+PO）2≥0，

所以PA·（PB+PC）=2PA·PO=（PA+PO）2-（PA-PO）22=（PA+PO）2-（OA）22≥-32，

因此，PA·（PB+PC）≥-32，故選B。

分析：兩種解法都需要畫圖，傳統(tǒng)解法是通過坐標(biāo)系各個(gè)向量的數(shù)據(jù)一步一步得出了所求向量積的有關(guān)方程，然后再通過配方的方式把方程配成完全平方的結(jié)構(gòu)，從而得出所求向量積的最小值。而特殊化策略則是反其道行之，從要求的向量積入手，把它也配湊成一個(gè)完全平方的結(jié)構(gòu)，然后再直接判斷其最小值。從運(yùn)算量來看，傳統(tǒng)解法需要各個(gè)向量的坐標(biāo)，并且所得出的方程還需要配方，因此運(yùn)算量較大。而用特殊化策略解題則省去很多不必要的步驟，直接通過對向量配方就可以得出其結(jié)果。

四、 討論

（一） 特殊化策略在選擇題中的作用優(yōu)于其他題型

選擇題相對于其他題型來說，更看重的是“結(jié)果”，它不需要寫出復(fù)雜的解題步驟和運(yùn)算過程。在就像例題3一樣，傳統(tǒng)的解題方式需要進(jìn)行很多的運(yùn)算，而特殊化策略則省去了很多的步驟。雖然說兩種方式都能得到正確的答案，但特殊化策略相對來說會(huì)節(jié)約很多的時(shí)間。在高考中能否快速準(zhǔn)確的解決選擇題，是決定成績的關(guān)鍵。后面的答題需要很大的運(yùn)算量，因此就需要大量的時(shí)間，而這些時(shí)間只能從選擇題或填空題中節(jié)約出來，如果在選擇題上浪費(fèi)大量時(shí)間，就會(huì)導(dǎo)致后面的答題缺乏時(shí)間。但如果能夠更多地運(yùn)用特殊化策略解決選擇題，就會(huì)更多的節(jié)約時(shí)間，并能有效地減少運(yùn)算錯(cuò)誤，進(jìn)而達(dá)到高效準(zhǔn)確的效果。

（二） 特殊化策略相對其他解題策略更適合于基礎(chǔ)較差的學(xué)生

就像前面所說的：特殊化是一種“以退為進(jìn)，化繁為簡”的解題方式，它對于基礎(chǔ)相對較差的學(xué)生來說可以說是一條解題的“捷徑”。有時(shí)候在碰到一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題的時(shí)候，往往大多數(shù)基礎(chǔ)較差的學(xué)生對于這種需要龐大的運(yùn)算并且需要大量的基礎(chǔ)知識(shí)的時(shí)候，通常會(huì)束手無策，但如果能夠找到它的特殊情況，基礎(chǔ)較差的學(xué)生就能輕易地解決這個(gè)問題。就比如說：在做選擇題的時(shí)候，很多學(xué)生不會(huì)做時(shí)，往往會(huì)把答案帶進(jìn)去運(yùn)算一下，從而得到正確的選項(xiàng)。這也可以說是特殊化策略的一種。因此特殊化策略相對于其他解題策略來說，是更適合于基礎(chǔ)較差的學(xué)生的。

（三） 特殊化策略并不適用于任何題型

對于特殊化策略的，學(xué)生應(yīng)該以一種正確的學(xué)習(xí)態(tài)度去使用，而不是為了投機(jī)取巧。無論碰到任何題型都用特殊化策略去解決。在前面也提到過，特殊化策略的運(yùn)用需要在一定的限制范圍或條件下。舉個(gè)很簡單的例子，任何人都不能用特殊化策略去完成一整張?jiān)嚲恚驗(yàn)椴皇敲總€(gè)題目都會(huì)有其特殊情況。所以說對于用特殊化策略解題需要持以一種正確的態(tài)度去運(yùn)用。在運(yùn)用特殊化策略解題的時(shí)候往往需要視情況而定。

參考文獻(xiàn)：

[1]曾建國.數(shù)學(xué)解題策略選講[M].哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2011.

[2]宋文檀.特殊化方法與數(shù)學(xué)解題[J].榆林學(xué)院學(xué)報(bào)，2000（4）：74-76.

作者簡介：

程紫成，江西省贛州市，贛南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院。