對一道2018年數(shù)學文化試題的賞析

四川省內(nèi)江師范學院數(shù)學與信息科學學院 余小芬 劉成龍 (郵編：641100)

數(shù)學是一門歷史性或積累性很強的學科，數(shù)學知識的形成經(jīng)歷了漫長的歷史過程，它是伴隨著人類社會生產(chǎn)、生活而自然產(chǎn)生、發(fā)展和成熟的.在歷史長河的悠久沉淀中，形成了數(shù)學深厚的文化底蘊、閃耀著豐富的知識成果，彰顯了睿智的數(shù)學思想、傳承著刻苦鉆研的精神.由此可見，了解數(shù)學史、感受數(shù)學文化，不僅可以引導學生初步了解數(shù)學產(chǎn)生與發(fā)展的過程，加深學生對數(shù)學的理解，更能培養(yǎng)他們嚴謹治學的態(tài)度和鍥而不舍的精神.因此，關注數(shù)學文化意識的養(yǎng)成，努力推進數(shù)學文化教育，已經(jīng)成為當今數(shù)學教育改革的一個重要特征.近年高考，以數(shù)學文化作為試題背景已成為高考命題的新亮點、新趨勢.例如：2016年四川卷理科第6題以秦九韶算法考查程序框圖、2017年全國卷Ⅰ理科第2題以我國極具哲理和審美價值的太極圖為背景考查幾何概型、2017年全國卷Ⅱ理科第3題以我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中的古算詩題為素材考查等比數(shù)列求和公式.

《2018年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試大綱》(下文簡稱《大綱》)在“個性品質(zhì)要求”中明確提到：“要求考生具有一定的數(shù)學視野，認識數(shù)學的科學價值和人文價值，崇尚數(shù)學的理性精神，形成審慎的思維習慣，體會數(shù)學的美學意義.”同時，《大綱》指出：“數(shù)學學科的命題，在考查基礎知識的基礎上，注重對數(shù)學思想方法的考查，注重對數(shù)學能力的考查，展現(xiàn)數(shù)學的科學價值和人文價值.”在此背景下，2018年高考堅持“立德樹人”“文化育人”的基本理念，涌現(xiàn)了一大批優(yōu)秀的數(shù)學文化試題，例如：2018全國卷Ⅰ理科第10題以古希臘數(shù)學希波克拉底的月牙定理為背景考查幾何概型、2018全國卷Ⅱ理科第8題以哥德巴赫猜想為背景考查古典概型、2018年北京卷理科第4題以“十二平均律”為背景考查等比數(shù)列通項公式等等.下文將從試題背景、試題解法、試題變式等角度重點研究全國·卷理科第10題.

1 試題呈現(xiàn)

圖1

(2018全國卷Ⅰ理科第10題，下文簡稱10題)圖1來自古希臘數(shù)學家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC、直角邊AB、AC，△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ，在整個圖形中隨機取一點，此點取自Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分別記為p1、p2、p3，則( )

A.p1=p2B．p1=p3

C．p2=p3D．p1=p2+p3

2 試題背景

本例以古希臘數(shù)學家希波克拉底發(fā)現(xiàn)的一條優(yōu)美平面幾何定理(又稱為希波克拉底定理或月牙定理)為命題素材考查幾何概型.希波克拉底，古希臘著名數(shù)學家，他對幾何學的貢獻很大，他的《幾何綱要》是幾何學的第一本教科書，據(jù)說包括了歐幾里得《幾何原本》的前四卷內(nèi)容.而他所發(fā)現(xiàn)的月牙定理是在人們追求“化圓為方”難題的解決過程中產(chǎn)生的.希波克拉底最先發(fā)現(xiàn)有一些除圓以外奇妙的曲邊圖形的面積會和某個多邊形面積相等，他最先利用月牙定理印證了他的猜想，所謂月牙定理，即是：以直角三角形兩條直角邊向外做兩個半圓，以斜邊向內(nèi)做半圓，則三個半圓所圍成的兩個月牙型面積之和等于該直角三角形的面積.

3 試題解法

解法研究是研究高考的最基本形式.解法研究的視角有：一題多解、多題一解、一題多用、錯解分析等等.其中，一題多解指從不同視角對同一問題進行分析進而得到多種解答方法.在一題多解的過程中，需要關注解題思路的形成、解題方法的提煉、解法的邏輯表達和解題策略的優(yōu)化.通過對解法間共性與差異的分析，讓學生認識問題的本質(zhì)的同時，培養(yǎng)學生的思維的靈活性和策略的多樣性.

解法1 希波克拉底的證法

即直角邊上兩個半圓面積之和等于斜邊上半圓的面積.再從上面等式中，兩邊同時減去圖1中兩個白色弓形的面積之和，即可得出結論：直角邊上的兩個月牙形的面積之和等于直角三角形的面積，即SⅠ=SⅡ，因此p1=p2.

評注 希波克拉底從勾股定理出發(fā)，通過對式的巧妙變形，數(shù)形的完美結合，證明了結論.月牙定理的發(fā)現(xiàn)及證明讓人們欣賞了美妙的圖形結構，感嘆著耐人尋味的割補技巧，這給當時的數(shù)學家?guī)順O大鼓舞，認為“畫圓為方”問題也不難解決了.

解法2 直接計算法

所以SⅠ=SⅡ，p1=p2.

圖2

圖3

解法3 極限法

當直角邊AC無限接近斜邊BC，由圖3，區(qū)域Ⅲ的面積明顯大于區(qū)域Ⅰ、Ⅱ的面積，即SⅢ>SⅠ，SⅢ>SⅡ，故排除B、C、D.選A.

評注 極限策略是重要的數(shù)學解題策略之一，是“極限逼近”思想在解題中的滲透.通過有限化無限(或無限化有限)的方式，可以從宏觀上把握數(shù)或形的變化趨勢，避免細節(jié)討論的繁瑣.解法3通過將直角邊AC(或AB)無限接近斜邊BC，能快速對比三個區(qū)域面積大小，從而迅速得到答案.該法降低了思維難度，提高了解題效率，節(jié)約了解題時間，真正做到“多想少算”.

4 試題的變式

變式是指一種使直觀材料或者事例不斷變換所呈現(xiàn)的方式，以使其中的本質(zhì)特征恒在，非本質(zhì)特征不常出現(xiàn)的教學活動方式．而數(shù)學解題變式，就是數(shù)學解題中，相對于某種范式(即數(shù)學材料中具體的數(shù)學思維成果，含問題情境、基本知識、知識結構、典型問題、思維模式等)的變化形式，在數(shù)學解題過程中不斷地變更數(shù)學問題中的情景或改變思維的角度，變換問題中的條件或結論，轉(zhuǎn)換問題的形式或內(nèi)容，配置各種實際應用的環(huán)境等，以期暴露問題的本質(zhì)特征或內(nèi)在練習的教學方法.因此，試題變式中“我們更應該強調(diào)變式的共同本質(zhì)：“變化中求不變”、“求變以突出其中不變的因素.”

圖4

例1 如圖4，A、B、C、D為以BC為直徑的圓的內(nèi)接正六邊形的四個頂點，圖中四邊形ABCD圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ，在整個圖形中隨機取一點，此點取自Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分別記為p1、p2、p3，則( )

A.p3

C．p3

區(qū)域Ⅱ的面積為SⅡ=3S2-SⅢ

所以SⅢ

圖5

例2 如圖5，△AOB為等邊三角形，G為AB中點，四邊形BGOF為平行四邊形.弧AEB是以G為圓心，AB為直徑的半圓，弧ADB是以O為圓心，OA為半徑的圓弧.圖中四邊形BGOF圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ，在整個圖形中隨機取一點，此點取自Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分別記為p1、p2、p3，則( )

A.p3

C.p3p2=p3

所以SⅡ

評注 由上述計算發(fā)現(xiàn)例2中三個平面區(qū)域的面積大小不等.事實上，希波克拉底曾發(fā)現(xiàn)：當例2中△AOB為等腰直角三角形，即∠AOB=90°時，有SⅠ=SⅡ，即圖中月牙圖形也可找到一多邊形與之面積相等.(有興趣的讀者可自行證明，此處略.)

5 結束語

事實上，希波克拉底曾先將月牙定理中的一般直角三角形改成等腰直角三角形(如圖2)，得到結論：正方形邊上的兩個月牙形面積之和等于該正方形面積之和的一半，這顯然正確.但他未加證明“想當然”地將圓內(nèi)接正方形的結論“推廣”到圓內(nèi)接正六邊形(如圖4)：正六邊形三邊上的月牙形面積之和等于正六邊形的一半.這顯然是錯誤的，而他在此基礎上引出了更錯誤的結論：圓可以化為方.由此看來，盡管希波克拉底給人們提供了天才般的視覺和解法，但他在對待命題結論的“想當然”也值得我們反思.