微尺度金屬單晶應(yīng)變突變現(xiàn)象的理論模型

張 旭， 邵吉吉， 尚福林

(1.鄭州大學(xué) 力學(xué)與工程科學(xué)學(xué)院 河南 鄭州 450001； 2.西安交通大學(xué) 航天航空學(xué)院 陜西 西安 710049)

0 引言

隨著微納米制造技術(shù)的蓬勃發(fā)展,晶體材料已廣泛應(yīng)用于集成電路、微機(jī)電系統(tǒng)(MEMS)以及其他微小電子器件等微/納米系統(tǒng)中.實驗研究[1-2]發(fā)現(xiàn),微尺度金屬單晶在塑性變形過程中應(yīng)變會發(fā)生突變,并且隨著外部幾何尺寸的減小,應(yīng)變突變現(xiàn)象會愈加明顯[3].從實際加工角度來看,應(yīng)變突變的發(fā)生使得亞微米尺度下的塑性變形難以控制[4],同時也給微機(jī)電技術(shù)當(dāng)中的高精度金屬切割和整體性能控制帶來新的問題和挑戰(zhàn)[5],成為事關(guān)微小器件高性能設(shè)計制備與安全使用的關(guān)鍵性問題.

目前,微尺度晶體塑性的實驗研究還處于發(fā)展階段,對于應(yīng)變突變物理機(jī)制的解釋和行為規(guī)律的揭示還存有爭議[6].另一方面,針對微尺度晶體塑性特異性變形行為,其理論描述也面臨著新的挑戰(zhàn).一般情況下,晶體塑性變形行為是用基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的晶體塑性滑移理論來描述,但這種理論無法解釋由于尺寸變小而出現(xiàn)的應(yīng)變突變現(xiàn)象.因此,揭示該尺度下晶體塑性變形的物理本質(zhì),并預(yù)測其材料力學(xué)行為[7]的理論分析模型將成為該研究的一個重點.

圖1 混合加載模式下的20 μm直徑微柱體位移-時間曲線[9]Fig.1 Displacement versus time curve for 20-μm-diameter micropillar under the hybrid loading mode

1 應(yīng)變突變的實驗現(xiàn)象

應(yīng)變突變使得軸向壓縮下的微柱體位移與壓痕系統(tǒng)施加的位移并不完全同步[8](如力加載、位移加載以及包含力加載與位移加載的混合加載模式), 圖1所示為混合加載模式下的情況.當(dāng)微柱體位移與系統(tǒng)施加位移始終同步時,即為一個恒應(yīng)變率的加載過程.當(dāng)某個時刻的微柱體位移開始超前于系統(tǒng)預(yù)設(shè)位移時,塑性變形發(fā)生了一次突變滑移事件.之后,位移-時間曲線往往存在一段水平或者斜率較小的位移線段,這表明微柱體位移幾乎沒有發(fā)生變化,因此處于一種變形停滯階段.這種狀態(tài)將一直持續(xù)到系統(tǒng)預(yù)設(shè)位移等于微柱體位移后結(jié)束,因而使得塑性流動呈現(xiàn)出間歇性變化[9].

一般來說,應(yīng)變突變的引發(fā)可能是由多種機(jī)制(如位錯形核[10]、位錯擁塞結(jié)構(gòu)崩塌[11]等)共同作用或者輪流交替引發(fā)的,并不完全受控于某一種機(jī)制而貫穿于整個塑性變形過程.一般情況下,實驗測試材料(微柱體)尺寸較大時,應(yīng)變突變受控于位錯擁塞結(jié)構(gòu)的崩塌,其發(fā)生需要較低的應(yīng)力水平；而在實驗測試材料尺寸較小時,應(yīng)變突變受控于位錯形核,其發(fā)生則需要較高的應(yīng)力水平[12].

實驗研究表明,應(yīng)變突變在時間上(如突變速度[13])和空間上(如應(yīng)變突變幅值[14])都具有冪律分布特征.基于應(yīng)變突變較為顯著的有限尺寸效應(yīng)[15],其幅值A(chǔ)的統(tǒng)計學(xué)分布[11,14]為P(A)～A-τ·exp[-(A/A0)2]，式中：P(A)為概率密度函數(shù)；τ為標(biāo)度指數(shù),約等于1.35；A0為突變幅值截斷項,是一個擬合參數(shù)[15].

2 應(yīng)變突變的理論模型

2.1 位錯匱乏模型

位錯匱乏理論模型[10]假設(shè)晶體材料內(nèi)的位錯均為可移動位錯.通過引入位錯增殖率參數(shù),并設(shè)運(yùn)動過程中的位錯逃逸率為50%,可得到總體位錯密度的演化方程為

圖2 位錯匱乏理論模型[10]預(yù)測的應(yīng)變突變現(xiàn)象Fig.2 Strain burst predicted by the theoretical model based on the dislocation starvation

上述模型計算結(jié)果不僅能夠表征塊體材料穩(wěn)定、光滑的塑性變形行為,而且也能捕捉塑性流動過程中的應(yīng)變突變事件,具體表現(xiàn)在應(yīng)力-應(yīng)變曲線的應(yīng)力下降現(xiàn)象,如圖2所示.然而,該模型在分析整個塑性流動過程中僅能捕捉到一次應(yīng)變突變事件.此后,塑性變形一直處于近似彈性的加載階段.由于僅能獲得一個應(yīng)變突變幅值,因而無法反映幅值的統(tǒng)計學(xué)變化規(guī)律,這與實驗觀察到的離散的隨機(jī)應(yīng)變突變現(xiàn)象是不相符的.

2.2 位錯源控制模型

位錯源控制模型[17]仍然假定可移動位錯在運(yùn)動過程的逃逸率為50%,在位錯增殖方面重新考慮了單臂位錯源激活的影響.基于描述塊體材料位錯密度的演化方程,獲得了描述亞微米尺度微柱體塑性變形過程中的位錯密度演化方程，

圖3 位錯源硬化理論模型預(yù)測的應(yīng)變突變現(xiàn)象[17]Fig.3 The strain burst phenomenon predicted by the theoretical model based on the source-truncation hardening

上述模型預(yù)測結(jié)果能夠很好地再現(xiàn)亞微米尺度柱體間歇性塑性流動現(xiàn)象,能夠刻畫實驗中經(jīng)常觀察到的離散應(yīng)變突變現(xiàn)象(如圖3).研究結(jié)果表明,單臂位錯源的激活與關(guān)閉會導(dǎo)致亞微米尺度晶體材料塑性變形呈現(xiàn)出間歇性變化.需要說明的是,模型初始設(shè)定的位錯密度與微納米柱直徑共同限制了該模型能夠捕捉的應(yīng)變突變事件個數(shù),因而無法較為完整地體現(xiàn)應(yīng)變突變隨機(jī)性分布規(guī)律.

2.3 蒙特卡洛模型

蒙特卡洛模型(Monte Carlo, MC)[19]將微柱體的塑性流動分為應(yīng)變突變和彈性加載兩個部分.在某一應(yīng)力水平下,應(yīng)變突變可能發(fā)生的概率為

pm,n=[Sn(σm-1)-Sn(σm)]/Sn(σm-1)，

式中：pm,n表示在第m增量步內(nèi),發(fā)生第n次應(yīng)變突變的概率;σm表示第m增量步內(nèi)的當(dāng)前應(yīng)力水平;Sn(σm)表示在當(dāng)前應(yīng)力水平σm下未發(fā)生第n次應(yīng)變突變的累計概率分布,它可以通過微壓縮實驗測試獲得.該模型認(rèn)為,應(yīng)變突變發(fā)生時需要滿足條件pm,n≥c1，式中：c1為系統(tǒng)生成的隨機(jī)數(shù),0≤c1≤1.否則,彈性加載段發(fā)生,應(yīng)變增量為當(dāng)前彈性應(yīng)變增量.因此,在某一應(yīng)力增量步Δσ=σm-σm-1內(nèi),應(yīng)變增量Δε為

式中A為應(yīng)變突變幅值，大小與當(dāng)前應(yīng)力水平σm有關(guān)，A=3.8×10-5×exp(0.17×c2×σm),c2為系統(tǒng)生成的隨機(jī)數(shù),0≤c2≤1.

圖4 蒙特卡洛模型[19]預(yù)測的應(yīng)變突變現(xiàn)象Fig.4 The strain burst phenomenon predicted by the Monte Carlo model

這一方法能夠較為真實地表征實驗過程中觀察到的塑性流動間歇性,突變幅值應(yīng)力相關(guān)性以及突變幅值的冪律分布等實驗現(xiàn)象(如圖4所示).需要說明的是,該模型將應(yīng)變突變在某個應(yīng)力水平的發(fā)生概率(決定應(yīng)變突變發(fā)生頻率)以及突變幅值的應(yīng)力相關(guān)性關(guān)系式(決定應(yīng)變突變幅值),作為初始輸入?yún)?shù)(同樣可以應(yīng)用于其他加載方式的MC模擬當(dāng)中[19]).由于這些參數(shù)一般通過實驗測試獲得,因而模擬結(jié)果能夠反映應(yīng)變突變隨機(jī)性分布規(guī)律.

2.4 應(yīng)變梯度模型

從目前已發(fā)表的參考文獻(xiàn)來看,描述應(yīng)變突變現(xiàn)象的應(yīng)變梯度模型主要包括兩種.

一種觀點認(rèn)為微柱體的內(nèi)應(yīng)力場與二階應(yīng)變梯度相關(guān),并且呈現(xiàn)隨機(jī)性撓動[20].應(yīng)變突變發(fā)生時,往往涉及群體位錯的運(yùn)動,其內(nèi)部單根位錯的應(yīng)力場控制方程為

τext+τint(r,γ)+τcor(γ)+δτ(r)>0，

(1)

式中：r為空間坐標(biāo)；τext表示外部載荷施加的驅(qū)動力；τint表示因材料內(nèi)部應(yīng)變不協(xié)調(diào)引起的長程作用力；τcor表示群體位錯之間施加的相互作用力；δτ為脈動應(yīng)力,表示位錯自身運(yùn)動引起的應(yīng)力場變化,大小服從高斯分布.上述控制方程中,τint與τcor的計算表達(dá)式中[20]引入了二階應(yīng)變梯度,大小均由局部應(yīng)變γ確定.

盡管該模型沒有考慮應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系,也未考慮位錯的演化特征,但其預(yù)測的應(yīng)力-應(yīng)變曲線出現(xiàn)了明顯的應(yīng)變突變現(xiàn)象(如圖5(a)所示).此外,由于應(yīng)力場控制方程中的δτ幅值變化近似服從高斯分布,導(dǎo)致基于該分布預(yù)測的應(yīng)變突變幅值同樣具有隨機(jī)性,呈現(xiàn)出實驗觀察到的應(yīng)變突變冪律分布行為.

另一種觀點認(rèn)為[21],應(yīng)變突變的發(fā)生與微柱體變形過程中所形成的剪切帶有關(guān),這種剪切帶的形成和擴(kuò)展會導(dǎo)致微柱壓縮應(yīng)力-應(yīng)變曲線的波動.基于這種物理變形機(jī)制,該模型將微柱體劃分為若干個滑移薄層,構(gòu)建了考慮不同滑移層的應(yīng)變梯度塑性本構(gòu)模型，

(2)

圖5 (a)基于(1)式[20]與(b)基于(2)式[21]的應(yīng)變梯度塑性理論模型分別預(yù)測的應(yīng)變突變現(xiàn)象Fig.5 Strain burst phenomenon predicted by the strain gradient plasticity model based on (a) Eq.(1)[20] and (b) Eq.(2)[21],respectively

2.5 晶體塑性滑移理論模型

晶體塑性滑移理論模型[23-24]認(rèn)為,微柱體間歇性塑性流動過程可分為3個部分,即加載段(下標(biāo)l表示)、突變滑移段(下標(biāo)b表示)和變形停滯段(下標(biāo)h表示),如圖1所示.該模型考慮了5個要素：

(3)

式中：上標(biāo)“+”表示力加載段或者應(yīng)變突變段的初始剪切應(yīng)變率.ξ為無量綱常數(shù)，當(dāng)ξ取值較小時(通常ξ=0.2),突變滑移段出現(xiàn)高應(yīng)變率,而加載段出現(xiàn)低應(yīng)變率,進(jìn)而實現(xiàn)兩個過程的分離.在應(yīng)力-應(yīng)變曲線中,一個應(yīng)變突變包含兩個變形部分，即突變滑移變形和變形停滯段.因此在方程(3)中,當(dāng)加載段發(fā)生時, Δt=Δtl；當(dāng)應(yīng)變發(fā)生突變時,Δt=Δtb+Δth.

3) 流動法則.晶體滑移變形可采用黏塑性描述，

(4)

圖6 晶體滑移塑性理論模型預(yù)測的應(yīng)變突變現(xiàn)象[23]Fig.6 Strain burst predicted by crystal plasticity model

借助于有限元分析,晶體塑性滑移理論模型預(yù)測的各個微米尺寸單晶柱體的應(yīng)力-應(yīng)變曲線結(jié)果如圖6所示.該模型能夠描述從塊體材料到微觀柱體在軸向壓縮下塑性變形方式的轉(zhuǎn)變,即從宏觀金屬材料穩(wěn)定的塑性變形行為到微尺度間歇性塑性流動現(xiàn)象的變化.由于應(yīng)變突變幅值變化的隨機(jī)性,因此該模型預(yù)測的塑性流動行為和實驗結(jié)果保持完全一致是比較困難的.但是,從模擬結(jié)果和實驗測試曲線的高度相似性來看,可以認(rèn)為計算結(jié)果是合理的.

3 結(jié)論

本文重點關(guān)注亞微米尺度金屬單晶的應(yīng)變突變現(xiàn)象,簡要介紹了應(yīng)變突變實驗現(xiàn)象的一些研究成果,討論了近期基于特定物理變形機(jī)理相繼發(fā)展的一些應(yīng)變突變理論模型.從已發(fā)表的文獻(xiàn)來看,針對單晶微柱體的塑性變形的間歇性行為分析,理論研究主要集中在直徑10 μm以下,所以本文最后重點介紹了適用于數(shù)微米尺寸以上的連續(xù)化晶體塑性理論模型,并且闡述了當(dāng)前理論模型的研究成果.

目前來看,相對于實驗測試和數(shù)值模擬在微尺度晶體塑性領(lǐng)域取得的進(jìn)展,理論研究的發(fā)展相對滯后.盡管目前已有的理論模型在捕捉應(yīng)變突變方面取得了豐碩成果,但還有待進(jìn)一步探索和深入研究,比如,與應(yīng)變突變密切關(guān)聯(lián)的物理現(xiàn)象的理論描述(應(yīng)變突變的應(yīng)變率效應(yīng)、應(yīng)變突變的局部化變形方式等),以及晶體塑性滑移理論的適用性范圍的進(jìn)一步擴(kuò)展.