尾流振子渦激振動能量收集系統(tǒng)設(shè)計(jì)

李言欽， 關(guān)雪豐， 王軍雷

(鄭州大學(xué) 化工與能源學(xué)院 河南 鄭州 450001)

0 引言

鈍體繞流是流體力學(xué)中的復(fù)雜問題.流體繞流鈍體時(shí)，在尾流兩側(cè)會產(chǎn)生交替旋渦，即卡門渦街.卡門渦街中的旋渦脫落作用會對鈍體產(chǎn)生周期性、脈動性作用力，如果鈍體本身具有彈性或者彈性安裝，當(dāng)流體力作用在鈍體上時(shí)，鈍體會發(fā)生周期性的振動，稱為流致振動.通常認(rèn)為流致振動是一種只有害現(xiàn)象，因?yàn)楫?dāng)旋渦脫落的頻率接近鈍體的固有頻率時(shí)，會使鈍體振動大幅增強(qiáng)，鈍體結(jié)構(gòu)容易產(chǎn)生破壞.然而隨著微能源技術(shù)的飛速發(fā)展，研究發(fā)現(xiàn)渦激振動可作為一種能量轉(zhuǎn)換過程，具有實(shí)現(xiàn)能量收集的可能性.目前，人們發(fā)現(xiàn)的實(shí)現(xiàn)振動機(jī)械能到電能的轉(zhuǎn)化方式主要有靜電式[1]、電磁式[2]和壓電式[3].而流致振動進(jìn)行微能量收集方法屬于利用壓電材料的正壓電效應(yīng)實(shí)現(xiàn)了振動機(jī)械能到電能的轉(zhuǎn)化.

為了對渦激振動能量進(jìn)行高效的收集，國內(nèi)外相繼發(fā)展了尾流振子模型、二階彈簧-振子模型、統(tǒng)計(jì)模型以及多項(xiàng)伽遼金求解模型[4]等數(shù)學(xué)模型.尾流振子模型[5]由于具有較為明確、合理的物理意義以及較高的計(jì)算精度，因此得到了廣泛的采用.文獻(xiàn)[6]最早提出了尾流振子模型及其完整的數(shù)學(xué)表達(dá)式.文獻(xiàn)[7]研究了尾流振子模型的動力特性，發(fā)現(xiàn)位移和速度耦合預(yù)測升力相位關(guān)系不夠準(zhǔn)確，位移耦合無法對鎖定區(qū)升力的大小進(jìn)行有效的判斷.文獻(xiàn)[8]針對張緊梁提出了用雙耦合尾流振子模型來模擬2個方向上的脈動作用力.文獻(xiàn)[9]提出了對彈性的圓柱體適用的Skop-Griffin模型，且計(jì)算出i階振型的數(shù)學(xué)表達(dá)式.自從微能量收集問題進(jìn)入學(xué)者的視線以來，尾流振子模型大都只停留在對圓柱體渦激振動的研究上，而忽略了尾流振子本身對渦激振動的增強(qiáng)作用.本文采用壓電懸臂梁結(jié)構(gòu)，結(jié)合流機(jī)電三物理場耦合方程對尾流振子渦激振動的能量收集特性進(jìn)行分析，采用數(shù)值方法研究了不同雷諾數(shù)(5 000≤Re≤15 000)下尾流振子模型的工況.詳細(xì)分析了尾跡振子的升力系數(shù)、振幅率及收集到的電壓隨時(shí)間的變化規(guī)律，探討了各種因素對于尾流振子能量收集系統(tǒng)的影響，并將相同雷諾數(shù)下不同尾流振子兩柱間距工況進(jìn)行對比，以選擇出最合適的間距.

1 物理模型

直接對物體流致振動進(jìn)行研究很抽象，可以將尾跡振子的運(yùn)動形象地用質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng)來模擬，這樣尾跡振子在渦激振動的脈動力作用效果等同于在彈簧彈性力的作用效果.考慮到圓柱體流致振動沿流動方向的振幅遠(yuǎn)小于橫向振幅，為了求解方便，忽略了流動方向振動.本文采用光滑圓柱面，尾流振子物理模型如圖1所示.取柱體直徑D=0.01 m，柱體質(zhì)量為0.093 4 kg，尾流振子間距為X，彈簧彈性系數(shù)K=678 N/m，系統(tǒng)阻尼C=0.107 N·s/m.

表1 尾流振子工況參數(shù)

將尾流振子模型置于流場中，假設(shè)為無邊界流場，設(shè)計(jì)的尾流振子能量收集系統(tǒng)如圖2所示.假設(shè)尾流振子處于1.2 m×1.0 m×0.4 m且溫度恒定為20 ℃的水流場中，工況參數(shù)如表1所示，其中Ur為折減速度.流速取0.8 m/s，圓柱直徑為D，長L為1 m，尾流振子間距為11D，尾流振子材料選擇密度為1 190 kg/m3的鋁合金材料.

圖1 尾流振子物理模型Fig.1 Wake oscillator physical model

圖2 尾流振子能量收集系統(tǒng)Fig.2 Wake oscillator energy harvesting system

單自由度M-C-K系統(tǒng)的運(yùn)動控制方程可以由二階彈簧-振子方程表示為

(1)

式中：M為系統(tǒng)的總質(zhì)量；C為系統(tǒng)阻尼；K為彈性系數(shù)；y為尾部柱體的位移；Fy表示垂直于來流方向的單位體積的流場力.

將系統(tǒng)阻尼和臨界阻尼的比值設(shè)為系統(tǒng)的阻尼系數(shù)ζ，定義式為

(2)

設(shè)系統(tǒng)頻率為ωn，定義式為

(3)

折減速度Ur可以表示為

柱體渦激振動力等效為壓電懸臂梁模型中質(zhì)量塊的重力，設(shè)尾跡振子的位移為y，結(jié)合M-C-K方程和壓電懸臂梁機(jī)構(gòu)電路圖，可以得到尾流振子渦激振動能量收集的機(jī)電耦合控制方程組為

(4)

(5)

式中：參數(shù)θ為機(jī)電耦合系數(shù)；Cp為等效電容.

引入渦激振動系統(tǒng)的振動形式方程為

y=ymaxsin(ωnt+φ).

(6)

2 數(shù)值方法

格子Boltzmann方法是本文的一個核心計(jì)算方法，它是從分子動理論學(xué)說出發(fā)，基于微觀粒子運(yùn)動，在介觀層次對粒子建立了離散速度模型、時(shí)間和空間離散模型.再根據(jù)質(zhì)量、動量和能量守恒分別建立密度、速度、內(nèi)能的方程，求出粒子分布函數(shù)，然后用統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法得到宏觀的壓力、流速等參數(shù).

建立離散速度模型，只考慮單組分氣體，然后設(shè)速度分布函數(shù)為f，f的值與空間位置矢量r(x，y，z)、分子速度矢量ξ(ξx，ξy，ξz)及時(shí)間t有關(guān).粒子分布函數(shù)n即為t時(shí)刻r處單位體積內(nèi)的分子數(shù)，也稱數(shù)密度.

速度分布函數(shù)f的改變，可能是由分子的運(yùn)動或分子的碰撞引起的.由鋼球碰撞理論可得

(7)

從Boltzmann方法到Boltzmann-BGK方程，就是用一個簡單的算子Ω來替代碰撞項(xiàng)，從而達(dá)到簡化Boltzmann方程的目的.Ω代替了Boltzmann方程右側(cè)的碰撞項(xiàng)，得出了BGK近似:

Ωf=ν[feq(r,ξ,t)-f(r,ξ,t)].

(8)

圖3 D2Q9模型Fig.3 D2Q9 model

BGK近似使得Boltzmann方程線性化，大大簡化了方程的求解.引入碰撞時(shí)間τ0，它是粒子平均每兩次碰撞的時(shí)間間隔，也稱弛豫時(shí)間，可以表示為τ0=1/ν.

簡化后的Boltzmann-BGK方程可以表示為

(9)

從Boltzmann-BGK方程到格子Boltzmann方程是速度離散、時(shí)間離散、空間離散的過程.

本文采用D2Q9模型，如圖3所示.由格子Boltzmann方法得平衡態(tài)分布函數(shù)為

(10)

式中：wi為權(quán)系數(shù).

3 結(jié)果與討論

采用基于格子Boltzmann方法的XFlow軟件對尾流振子流致振動進(jìn)行數(shù)值模擬，該方法應(yīng)用范圍廣、效率高，無須網(wǎng)格，邊界條件易于處理，模擬精度較高.內(nèi)部求解器適合完整的流固耦合分析，計(jì)算域如圖4所示.

對于有外接電阻R的情況，采用XFlow軟件和OpenModelica進(jìn)行流機(jī)電耦合計(jì)算，由XFlow軟件得到尾跡振子的升力隨時(shí)間變化的數(shù)據(jù)，再將數(shù)據(jù)輸入到OpenModelica中，通過對方程(4)、(5)的求解可得到尾流振子的振幅隨時(shí)間的變化值和渦激振動產(chǎn)生的電壓隨時(shí)間的變化值.能量收集計(jì)算中，系統(tǒng)機(jī)電耦合系數(shù)θ=0.000 202 2 V/N，等效電容Cp=61.3 nF，引入無量綱參數(shù)Ur使計(jì)算更具有普遍性，通過改變來流速度(即流體雷諾數(shù)Re)和兩柱間距來討論隨之改變的渦激振動參數(shù)及其產(chǎn)生的電壓值，以確定最適合能量收集的流體參數(shù)和兩柱間距.

3.1 不同雷諾數(shù)下尾流振子流致振動

振幅隨速度的變化如圖5所示.尾流振子在速度為0.5～0.7 m/s，即Re為5 000～7 000的條件下，流致振動的振幅和電壓的振蕩幅值都比較穩(wěn)定，即為渦激振動的初始分支.而當(dāng)Re為7 000～12 000時(shí)振幅顯著提升，電壓振蕩幅值變化較大，即達(dá)到渦激振動的鎖振范圍，用折減速度Ur表示的范圍為5.16～8.84.其中Re為8 000時(shí)達(dá)到峰值，因此尾流振子的能量收集最好能保持在雷諾數(shù)為8 000時(shí).在Re大于13 000后，振幅隨雷諾數(shù)的變化逐漸趨于穩(wěn)定，但電壓的振蕩幅值更明顯.此外，隨著雷諾數(shù)的增大，尾跡振子的振動頻率從5 Hz逐漸增大到15 Hz，而系統(tǒng)的固有頻率為13 Hz，可知當(dāng)尾流振子的振動頻率接近系統(tǒng)的固有頻率時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入鎖振區(qū)域.

圖4 計(jì)算域(單位：m)Fig.4 Computational domain(unit:m)

圖5 振幅隨速度的變化Fig.5 The changes of amplitude with velocity

圖6 Re為8 000時(shí)尾流振子尾跡旋渦形態(tài)Fig.6 Vortex shape in wake of Re=8 000 wake oscillator

3.2 不同兩柱間距下尾流振子流致振動

當(dāng)Re為8 000時(shí)，改變兩柱間距，對尾流振子的流致振動特性進(jìn)行分析，某時(shí)刻尾流振子尾跡旋渦形態(tài)如圖6所示，不同間距與振幅的關(guān)系如圖7所示.可以看出，尾流振子尾跡旋渦形態(tài)影響著間距與振幅的關(guān)系，當(dāng)兩列尾跡旋渦錯開時(shí)，尾跡振子的振幅偏大；而當(dāng)兩列尾跡旋渦在Y軸方向相交時(shí)，2個渦的升力相互抵消，時(shí)間發(fā)展至此刻時(shí)，其振幅偏小.間距為0.11 m時(shí)電壓隨時(shí)間的變化見圖8.如圖7、圖8所示，在間距為0.03、0.06、0.11 m時(shí)其振幅達(dá)到峰值，間距大于0.08 m時(shí)振幅幅值較為穩(wěn)定，且間距為0.11 m時(shí)可以得到幅值穩(wěn)定為38 V的電壓，因此理想間距為0.11 m.由圖6可知，尾流振子在渦激振動能量收集過程中，平行于Y軸方向不被相反升力抵消的力只有一個，此時(shí)振幅最大，最適合能量收集.

圖7 不同間距與振幅的關(guān)系Fig.7 The relation of different spacing and amplitude

圖8 間距為0.11 m時(shí)電壓隨時(shí)間的變化Fig.8 Voltage versus time at 0.11 m spacing

4 結(jié)論

選擇壓電懸臂梁結(jié)構(gòu)構(gòu)成尾流振子模型，為得到更多的壓電電壓，應(yīng)使尾流振子模型在鎖振區(qū)域內(nèi)進(jìn)行能量收集，當(dāng)Re為7 000～12 000時(shí)，對應(yīng)折減速度的范圍為5.16～8.84.尾流振子渦激振動能量收集的最佳兩柱間距為0.11 m，可以得到38 V的穩(wěn)定電壓，在電阻不變的情況下，其得到的功率也為最大值.