基于加窗插值FFT和原子分解的間諧波檢測(cè)算法

蔣建東， 楊鯤鵬， 耿莉莉

(1.鄭州大學(xué) 電氣工程學(xué)院 河南 鄭州 450001； 2.國(guó)網(wǎng)河南省電力公司嵩縣供電公司 河南 洛陽 471400)

0 引言

隨著電力電子器件和沖擊性負(fù)荷在電力系統(tǒng)中的大量應(yīng)用，電網(wǎng)中間諧波的含量大量增加，引起了電壓閃變、繼電器誤動(dòng)作等多種危害[1].因此快速、準(zhǔn)確檢測(cè)出間諧波對(duì)改善電能質(zhì)量和電網(wǎng)運(yùn)行具有重要意義.

目前國(guó)內(nèi)外專家已提出的間諧波檢測(cè)方法主要有快速傅里葉變換(FFT)法、小波分析法、現(xiàn)代譜估計(jì)法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法[2-6]等.其中FFT算法最為經(jīng)典且應(yīng)用廣泛，但在非同步采樣時(shí)，F(xiàn)FT算法存在頻譜泄露和柵欄效應(yīng)問題[7].為解決這一問題，Jain提出在時(shí)域加矩形窗及頻域插值來提高FFT算法精度[8].此后為能更好抑制頻譜泄露，Hanning窗、Blackman窗、Nuttall窗等相繼出現(xiàn)，插值算法也由單譜線插值發(fā)展為多譜線插值，故FFT算法的檢測(cè)精度有了很大提高[8-11].但是，F(xiàn)FT算法在固定采樣時(shí)寬下頻率分辨率固定，當(dāng)諧波、間諧波之間的頻率差小于頻率分辨率時(shí)，F(xiàn)FT算法無法準(zhǔn)確檢測(cè).近年來，Mallat和Zhang提出的原子分解算法[12]滿足信號(hào)多分辨率分析要求，在電能質(zhì)量分析中逐步得到應(yīng)用[13-17].文獻(xiàn)[15]應(yīng)用原子分解算法檢測(cè)間諧波，但該方法在搜索最佳匹配原子時(shí)需要進(jìn)行多次內(nèi)積運(yùn)算，計(jì)算量較高.文獻(xiàn)[16]用PSO算法對(duì)匹配追蹤算法進(jìn)行優(yōu)化，計(jì)算速度得到提高，但計(jì)算精度降低.

本文提出一種基于加窗插值FFT和原子分解的間諧波檢測(cè)算法.對(duì)待分析信號(hào)進(jìn)行FFT分析，求得峰值譜線值，并利用譜線干涉判據(jù)判斷峰值譜線是否存在譜線干涉.當(dāng)不存在譜線干涉時(shí)，則使用加窗插值算法校正峰值譜線，求得諧波、間諧波參數(shù)；否則使用原子分解算法在譜峰頻率鄰域內(nèi)搜索最佳匹配原子，獲取諧波、間諧波參數(shù).此算法能分析出頻率臨近信號(hào)且計(jì)算量小于原子分解算法.

1 加Hanning窗插值FFT算法在間諧波檢測(cè)中的應(yīng)用

設(shè)待分析的信號(hào)為v(t)=Acos(2πft+θ)，式中：A為信號(hào)幅值；f為頻率；θ為相位.對(duì)分析信號(hào)進(jìn)行采樣，采樣頻率為fs，采樣點(diǎn)數(shù)為N，得到的離散信號(hào)為v(n)=Acos(2πnf/fs+θ).

為減少頻譜泄露，對(duì)信號(hào)v(n)進(jìn)行加窗，可得vd(n)=v(n)w(n)，其中w(n)為窗函數(shù)的時(shí)域形式.窗函數(shù)選取標(biāo)準(zhǔn)為主瓣窄、旁瓣小且衰減速度快.但這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)互相矛盾，實(shí)際中通常適當(dāng)增加主瓣寬度達(dá)到抑制旁瓣目的.Hanning窗具有如下特點(diǎn)：1) 和其他余弦窗相比，有較小的主瓣；2) 第一旁瓣較低，且旁瓣衰減速度快；3) 基于Hanning 窗的雙譜線插值，公式簡(jiǎn)單，計(jì)算量較小且易于實(shí)現(xiàn).本文選取Hanning 窗截取信號(hào)，其時(shí)域表達(dá)式為w(n)=0.5-0.5cos(2πn/(N-1)).

對(duì)vd(n)進(jìn)行DFT變換并忽略負(fù)頻點(diǎn)，得到

設(shè)真實(shí)峰值譜線k0左右兩端的最大譜線和次大譜線為k1、k2，且k1≤k0≤k2=k1+1.它們的幅值為y1=|V(k1)|和y2=|V(k2)|.然后引入一個(gè)輔助參量，

α=k0-k1-0.5，α∈[-0.5,0.5]，

當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)N比較大時(shí)，利用多項(xiàng)式逼近，求得α=1.5β.所求信號(hào)頻率修正公式為f=(k1+α+0.5)Δf；相位修正公式為θ=arg[V(ki)]-π·(α-(-1)i·0.5)，i=1,2；幅值修正公式為A=(y1+y2)(2.356+1.155α2+0.326α4+0.079α6)/N.

加窗插值提高了FFT算法的檢測(cè)精度，但在固定的采樣時(shí)寬下，頻率分辨率固定.由于頻譜泄露，信號(hào)間存在譜線干涉現(xiàn)象，當(dāng)兩信號(hào)頻率相差較遠(yuǎn)，僅發(fā)生旁瓣干涉時(shí)，時(shí)域加窗是減小旁瓣干涉的一種有效方法；當(dāng)諧波、間諧波頻率接近，發(fā)生較嚴(yán)重的旁瓣干涉或主瓣干涉時(shí)，加窗插值FFT算法檢測(cè)精度大幅下降，尤其當(dāng)兩信號(hào)的頻率偏差小于頻率分辨率時(shí)，該算法失去效用[3].

2 原子分解算法在間諧波檢測(cè)中的應(yīng)用

2.1 匹配追蹤算法

原子分解算法根據(jù)信號(hào)自身特征，從過完備的基函數(shù)集合中，自適應(yīng)選擇一組最佳基函數(shù)對(duì)被測(cè)信號(hào)進(jìn)行線性表示.這些基函數(shù)稱為原子，由冗余原子構(gòu)成的集合稱為原子庫.

在原子庫中尋找最佳匹配原子的常用方法是匹配追蹤算法(MP).該算法是一種貪婪自適應(yīng)分解方法，根據(jù)索引方式對(duì)庫中所有原子進(jìn)行掃描，找出與待分析信號(hào)或殘余信號(hào)最為匹配的原子(即該原子與信號(hào)內(nèi)積值最大)，根據(jù)原子參數(shù)分析出相應(yīng)信號(hào)成分并除去，然后形成殘余信號(hào).以此步驟對(duì)信號(hào)進(jìn)行多次迭代，當(dāng)滿足迭代的終止條件時(shí)結(jié)束迭代，相應(yīng)的匹配追蹤過程也結(jié)束.

設(shè)H是維度有限的Hilbert空間，信號(hào)v∈H，D是H空間內(nèi)的過完備原子庫，首先從在原子庫D中選擇出一個(gè)原子gr(0)，gr(0)與信號(hào)v最佳匹配，故滿足

2.2 原子庫的構(gòu)建

過完備原子庫中原子本身有著固有特性，可能只對(duì)某些與原子特性相近的信號(hào)有著較好的分解效果.為使原子分解方法能更好適應(yīng)信號(hào)分解并減少計(jì)算量，針對(duì)某種信號(hào)特征生成的原子庫稱為相關(guān)原子庫.電網(wǎng)中的諧波和間諧波信號(hào)均為正弦波，且認(rèn)為在分析的時(shí)間窗內(nèi)，信號(hào)是不變化的，故本文采用正弦量原子構(gòu)造過完備原子庫，其信號(hào)模型為gr(t)=krcos(ωt+φ)，式中：r=[ω,φ]為參數(shù)組；ω為待分析信號(hào)分量的角頻率；φ為待分析信號(hào)分量的相位；kr是使‖gr(t)‖=1的系數(shù).

上述原子庫中原子參數(shù)具有連續(xù)性，使原子庫規(guī)模達(dá)到無窮，MP算法找尋最佳原子需尋遍原子庫，計(jì)算量巨大，不適用實(shí)際計(jì)算.因此需對(duì)原子庫中原子參數(shù)進(jìn)行離散化處理，離散后原子庫依然保持過完備性.正弦原子庫中原子參數(shù)離散為

利用原子分解算法分析信號(hào)時(shí)，每次迭代信號(hào)都需要與原子庫中的每個(gè)原子進(jìn)行內(nèi)積計(jì)算，以尋找最佳匹配原子.對(duì)含有多個(gè)諧波、間諧波的信號(hào)，需進(jìn)行多次迭代，計(jì)算量大，實(shí)用性受到限制.

3 基于加窗插值FFT和原子分解的間諧波檢測(cè)算法

加窗插值FFT算法在分析諧波、間諧波時(shí)，有著計(jì)算速度快、分析精度高等優(yōu)點(diǎn)，但是當(dāng)信號(hào)中含有頻率相近成分時(shí)，受譜線干涉與頻率分辨率影響，加窗插值FFT算法檢測(cè)精度下降甚至失效.原子分解算法在檢測(cè)諧波、間諧波時(shí)不受譜線干涉影響且頻率分辨率高，但是運(yùn)算量大且分析精度不穩(wěn)定.對(duì)此，本文提出基于加窗插值FFT和原子分解的間諧波檢測(cè)算法.首先對(duì)信號(hào)頻譜進(jìn)行判定，在有譜線干涉情況下，使用原子分解算法，否則使用加窗插值算法.該算法避免了FFT算法的頻率分辨率低和原子分解算法計(jì)算量大的問題.

圖1 單頻率信號(hào)的理論頻譜Fig.1 Theoretic spectrum of single-frequency signal

3.1 譜線干涉判定方法

峰值譜線是否存在譜線干涉可以用幅值判斷法[18]來判斷.假設(shè)窗函數(shù)的窗譜主瓣內(nèi)至少有三條譜線，用任意相鄰的兩條譜線都能求得校正頻率，因此取與峰頂比較靠近的三條譜線，如圖1中k-1、k、k+1所示，A、B、C為對(duì)應(yīng)譜線的幅值.用A與B、B與C分別使用比值校正法做頻率校正，如果校正結(jié)果一樣，則不存在干涉.

3.2 基于參數(shù)離散優(yōu)化的MP方法

正弦量原子庫中含有N個(gè)頻率不同的原子，這些離散的原子頻率中可能不含實(shí)際諧波、間諧波頻率，提取到的最佳原子頻率會(huì)和實(shí)際頻率不匹配，產(chǎn)生較大誤差.為了更好提取信號(hào)參數(shù)，對(duì)角頻率離散參數(shù)優(yōu)化為ω*=2πk/fs，則原子頻率為f=fsω*/2π=k，從式中看出原子頻率變化率為1 Hz.對(duì)于分析諧波、間諧波，1 Hz的頻率分辨率就能很好匹配諧波、間諧波頻率.

待分析信號(hào)進(jìn)行FFT后，可求得最大譜峰對(duì)應(yīng)頻率fl，為原子分解算法的頻率參數(shù)確定了大致的搜索范圍.由于Hanning窗的第三旁瓣峰值約為主瓣峰值的0.3%，當(dāng)相鄰的譜峰間隔大于等于5個(gè)譜線間隔時(shí)，彼此之間影響較小，所以頻率搜索范圍定為k∈[fl-5Δf,fl+5Δf]∈Z.

由三角函數(shù)性質(zhì)cos(α+π)=-cosα，可對(duì)原子離散相位優(yōu)化：φ*=2πq/N，q∈[0,N/2-1]∈Z.然后根據(jù)最大內(nèi)積符號(hào)，對(duì)相位φ進(jìn)行修正，即

對(duì)離散的原子角頻率和原子相位進(jìn)行優(yōu)化后，原子庫中原子數(shù)量從N2降低到10Δf·N/2，且只有在諧波、間諧波存在譜線干涉時(shí)才用原子分解算法進(jìn)行檢測(cè)，運(yùn)算量顯著減少.

3.3 算法步驟

首先用Hanning窗截取信號(hào)并對(duì)信號(hào)進(jìn)行FFT分析，搜索峰值譜線值和它兩端的譜線值，使用幅值判斷法判斷是否有譜線干涉，根據(jù)判定結(jié)果選擇合適算法，算法步驟如下.

(1) 首先用Hanning窗截取信號(hào)并對(duì)截取的信號(hào)進(jìn)行FFT分析，求得信號(hào)頻譜.

(2) 搜索最大峰值譜線kl，峰值為V(kl).然后找到與最大峰值譜線相鄰的譜線kl-1和kl+1，計(jì)算出它們的幅值V(kl-1)、V(kl+1).

(3) 利用幅值判斷法判斷峰值譜線是否存在譜線干涉.

(4) 根據(jù)判斷的結(jié)果，使用不同算法進(jìn)行分析.若沒有譜線干涉，則直接使用加窗插值算法檢測(cè)參數(shù)；若有譜線干涉，則選用原子分解算法對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì).

(5) 計(jì)算殘余信號(hào).重復(fù)步驟(1)～(5)，分析出信號(hào)中所有的諧波和間諧波后，迭代終止.

4 算例分析

為證明本文算法準(zhǔn)確性，假設(shè)含有多個(gè)諧波和間諧波信號(hào)模型為

式中：基波頻率為50 Hz；幅值為380 V；初相位為30°.其余諧波、間諧波參數(shù)如表1所示.Matlab仿真時(shí)，設(shè)定采樣頻率為3 kHz，采樣點(diǎn)數(shù)為1 024.

(1) 采用加窗插值FFT算法對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析，仿真結(jié)果如表1所示.

表1 參數(shù)估計(jì)結(jié)果

從表1可以看出只用加窗插值FFT算法檢測(cè)諧波、間諧波時(shí)，若不存在頻率相近成分時(shí)，檢測(cè)到的諧波、間諧波的幅值、相角和頻率參數(shù)精度非常高，基本接近理論值；而當(dāng)間諧波的頻率接近諧波時(shí)，間諧波不僅檢測(cè)不出來，還影響了諧波的檢測(cè)精度.

(2) 采用本文算法對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析，仿真結(jié)果如表2所示.

表2 參數(shù)估計(jì)結(jié)果

本文算法對(duì)信號(hào)參數(shù)的分析結(jié)果如表2所示.從表2可以看出，本文提出的混合算法能有效檢測(cè)出頻率相近的諧波、間諧波，彌補(bǔ)了加窗插值的不足，而且對(duì)頻率、幅值、相位的檢測(cè)精度很高，尤其對(duì)頻率來說，幾乎沒有誤差.

(3) 采用本文算法對(duì)含有噪聲的信號(hào)進(jìn)行分析，信噪比為70 dB，仿真結(jié)果如表3所示.分析表3結(jié)果可知，本文算法具有較好的抗噪性.

表3 參數(shù)估計(jì)結(jié)果

5 結(jié)論

加窗插值和原子分解算法都是間諧波檢測(cè)的有效算法.加窗插值算法具有速度快、精度高的優(yōu)點(diǎn)，但頻率分辨率有限，無法分解出頻率相近的諧波、間諧波信號(hào)，而原子分解算法具有無限頻率分辨率的優(yōu)點(diǎn)，但計(jì)算量大、速度慢，本文結(jié)合兩個(gè)算法的優(yōu)點(diǎn)提出了混合檢測(cè)算法.該算法通過判斷峰值譜線是否存在主瓣干涉來選擇不同的算法，既能分解出頻率相近成分，又減少了原子分解算法的計(jì)算量.算例分析表明，本文算法對(duì)諧波、間諧波進(jìn)行檢測(cè)可以取得較為滿意的結(jié)果.