隨機(jī)利率下B-S模型基于非參數(shù)估計的期權(quán)保險精算定價

王繼霞， 王添秀

(河南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 河南 新鄉(xiāng) 453007)

0 引言

期權(quán)定價的保險精算方法由Mogens Bladt 和 Tina Hviid Rydberg[1]在1998年首次提出.由于保險精算方法沒有任何的市場假設(shè)，所以該方法不僅對均衡、完備、無套利的金融市場適用，而且對非均衡的、不完備的、有套利的金融市場也有效.文獻(xiàn)[2]研究了廣義B-S模型基于保險精算方法的期權(quán)定價問題.其他一些研究者也對期權(quán)保險精算方法進(jìn)行了深入研究[3-4].上述文獻(xiàn)中的無風(fēng)險利率都是時間的確定函數(shù)，但是大量的實證分析表明，在現(xiàn)代的金融市場中利率具有均值回復(fù)特征.因此，把利率僅視為時間的確定函數(shù)并不能很好地描述利率的實際變化特征.文獻(xiàn)[5]給出了歐式期權(quán)和交換期權(quán)在隨機(jī)利率及Ornstein-Uhlenback模型下的保險精算定價方法.

隨機(jī)利率下的期權(quán)定價問題不但依賴于風(fēng)險資產(chǎn)價格的波動率，而且也依賴于隨機(jī)利率模型的漂移參數(shù)和波動率參數(shù)，這些量在金融市場中都是無法觀測的.鑒于此，本文研究隨機(jī)利率下的廣義B-S模型歐式期權(quán)的保險精算定價問題.首先，引入服從Hull-White模型的無風(fēng)險利率，利用標(biāo)的資產(chǎn)價格過程的實際概率測度和公平保費原理，得到了在期權(quán)有效期內(nèi)有無紅利支付兩種情況下歐式期權(quán)的保險精算定價公式.然后，考慮到期權(quán)的保險定價問題依賴于未知的模型參數(shù)，一方面，利用風(fēng)險資產(chǎn)價格的觀測數(shù)據(jù)構(gòu)造了風(fēng)險資產(chǎn)價格波動率的強(qiáng)相合估計量；另一方面，在無風(fēng)險利率模型滿足局部平穩(wěn)過程的條件下，基于隨機(jī)利率的觀測樣本，利用加權(quán)最小二乘方法和Kolmogorov向前方程，分別得到了隨機(jī)利率過程中漂移參數(shù)和波動率參數(shù)的相合估計量.最后，基于時變擴(kuò)散模型參數(shù)的估計量，給出了歐式期權(quán)的保險精算定價公式，并討論了所得定價公式的相合性.本文所得到的期權(quán)保險精算定價公式可以直接應(yīng)用于金融實踐，提高了期權(quán)定價公式在實際應(yīng)用中的有效性和便捷性.

1 市場模型和基礎(chǔ)知識

考慮在金融市場中存在兩種資產(chǎn)，一種是風(fēng)險資產(chǎn)(如股票)，另一種是無風(fēng)險資產(chǎn)(如債券).假設(shè)風(fēng)險資產(chǎn)的價格{St,t≥0}是定義在完備濾子空間(Ω,F,(Ft)t≥0,P)上的隨機(jī)過程，滿足如下變系數(shù)Black-Scholes模型

(1)

其中：μ(t)是風(fēng)險資產(chǎn)的期望回報率；σ(t)是波動率函數(shù)；{Bt,t≥0}是定義在完備濾子空間(Ω,F,(Ft)t≥0,P)上的標(biāo)準(zhǔn)布朗運動.風(fēng)險資產(chǎn)在0時刻的價格記為S0，且S0>0.無風(fēng)險資產(chǎn)的價格過程{Pt,t≥0}滿足的隨機(jī)微分方程是dPt=r(t)Ptdt,其中r(t)為t時刻的無風(fēng)險利率，它滿足Hull-White短期利率模型

dr(t)=(α(t)+β(t)r(t))dt+σr(t)dWt,

(2)

其中：α(t)、β(t)、σr(t)是時間t的函數(shù)，參數(shù)α(t)描述了利率的長期平均水平，β(t)是反映利率均值回復(fù)特征的量，σr(t)表示利率的波動率；{Wt,t≥0}是定義在完備濾子空間(Ω,F,(Ft)t≥0,P)上的標(biāo)準(zhǔn)布朗運動；Bt和Wt的相關(guān)系數(shù)為ρ.首先給出期權(quán)保險精算定價的有關(guān)概念[1].

(3)

其中ψ(t)為t時刻St的連續(xù)復(fù)利收益率.

定義2標(biāo)的資產(chǎn)歐式期權(quán)保險精算的價值定義為：期權(quán)被執(zhí)行時，到期日標(biāo)的資產(chǎn)價格的折現(xiàn)值與執(zhí)行價的折現(xiàn)值之差在標(biāo)的資產(chǎn)價格實際概率測度下的數(shù)學(xué)期望，其中風(fēng)險資產(chǎn)(如標(biāo)的資產(chǎn)的價格)按其期望收益率(如(3)式所定義)折現(xiàn)，無風(fēng)險資產(chǎn)價格(如執(zhí)行價)按無風(fēng)險利率折現(xiàn).

設(shè)C(K,T)和P(K,T)分別表示風(fēng)險資產(chǎn)價格為St，敲定價格為K,到期日為T的歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)在t=0時刻的價值，則歐式期權(quán)在到期日T被執(zhí)行的充分必要條件，歐式看漲看跌期權(quán)分別為：

由定義2，歐式期權(quán)的保險精算定價為：

其中E表示風(fēng)險資產(chǎn)價格過程實際概率測度下的數(shù)學(xué)期望.

2 Hull-White隨機(jī)利率下期權(quán)的保險精算定價

本節(jié)將討論在Hull-White隨機(jī)利率模型下，廣義Black-Scholes模型的歐式期權(quán)的保險精算定價問題.首先給出如下引理[6].

引理1設(shè)隨機(jī)變量ξ～N(0，1),η～N(0，1),且Cov(ξ,η)=ρ，則對任意的實數(shù)a、b、c、d、k,有

下面的定理1給出了變系數(shù)擴(kuò)散模型在隨機(jī)利率及無紅利支付下歐式期權(quán)的保險精算定價公式和買權(quán)、賣權(quán)的平價關(guān)系.

定理1假設(shè)風(fēng)險資產(chǎn)的價格過程{St,t≥0}滿足模型(1)，無風(fēng)險利率過程{r(t),t≥0}滿足短期利率模型(2),且風(fēng)險資產(chǎn)在期權(quán)有效期內(nèi)無紅利支付，則歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)的保險精算定價公式分別為：

(4)

和

(5)

二者的平價關(guān)系為

(6)

其中：

證明由定義2可得

特別地，有

又有

上式等價于

(7)

因此，(7)式變?yōu)?/p>

故由引理1可得：

故(4)式成立，類似地，(5)式和(6)式也成立.證畢.

下面的定理2給出了歐式期權(quán)在有紅利支付下的保險精算定價公式.

定理2假設(shè)風(fēng)險資產(chǎn)的價格過程{St,t≥0}滿足模型(1)，無風(fēng)險利率過程{r(t),t≥0}滿足短期利率模型(2),且風(fēng)險資產(chǎn)在期權(quán)有效期內(nèi)有連續(xù)的紅利支付，紅利率為q(t)，則歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)的保險精算定價公式分別為：

和

其中：

定理2的證明類似于定理1的證明思路，這里不再贅述.

3 基于擴(kuò)散模型時變參數(shù)估計的保險精算定價公式

首先考慮風(fēng)險資產(chǎn)價格{St,t≥0}的波動率σ2(t)的估計問題.設(shè)0=t0

(8)

(9)

設(shè){r(t),t=1,2,…,T}是無風(fēng)險利率過程的離散觀測數(shù)據(jù).對任意的u∈[0,1]，令

(10)

其中：Zt=[1,rt]T,Yt=rt+1-rt,Kut=K([u-t/T]/h),t=1,2,…,T；K(·)是核函數(shù)；h是帶寬參數(shù).由(10)式給出的估計即為漂移參數(shù)(α(u),β(u))T的估計量.

又由Kolmogorov向前方程[9]得

其中：f1(u)是時間分布的密度函數(shù)；f(u,y)是平穩(wěn)密度函數(shù).令

(11)

類似于文獻(xiàn)[8]中定理2的證明思路，當(dāng)T→∞時：

(12)

因此，由式(12)給出的估計是相合估計量.更多關(guān)于波動率的研究可以參見文獻(xiàn)[10].

下面的定理3給出了基于時變擴(kuò)散模型參數(shù)估計量的保險精算定價公式.

定理3假設(shè)風(fēng)險資產(chǎn)的價格過程{St,t≥0}滿足模型(1)，無風(fēng)險利率過程{r(t),t≥0}滿足短期利率模型(2),并滿足局部平穩(wěn)性條件，且風(fēng)險資產(chǎn)在期權(quán)有效期內(nèi)無紅利支付，則基于估計量式(10)和(11)的歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)的保險精算定價公式分別為：

(13)

(14)

其中：

由時變擴(kuò)散模型參數(shù)估計量的大樣本性質(zhì)、利率過程的局部平穩(wěn)性和Slutsky′s定理知，由式(13)和(14)給出的保險精算定價公式是相合的.

4 結(jié)語

本文主要研究了在隨機(jī)利率下，廣義B-S模型歐式期權(quán)的保險精算定價問題.首先，利用標(biāo)的資產(chǎn)價格過程的實際概率測度和公平保費原理，討論了在期權(quán)有效期內(nèi)有無紅利支付兩種情況下歐式期權(quán)的保險精算定價公式.然后，考慮到期權(quán)的保險定價問題依賴于未知的模型參數(shù)-標(biāo)的資產(chǎn)價格的波動率、隨機(jī)利率過程的漂移參數(shù)和波動率參數(shù)，本文利用資產(chǎn)價格和隨機(jī)利率的觀測數(shù)據(jù)，給出了模型參數(shù)的估計量，并得到了基于所得估計量的期權(quán)保險精算定價公式，同時討論了所得定價公式的相合性.