韋柏林
摘 要:根據(jù)近年來國內(nèi)各地區(qū)高考與模擬考試反饋信息結(jié)果發(fā)現(xiàn),學(xué)生在解析幾何大題這一塊的得分都不高,最主要的原因就是解析幾何在數(shù)形結(jié)合方面的構(gòu)題相對容易,且試題的變化豐富,涵蓋了大量信息,具有極強(qiáng)的綜合性特征。學(xué)生在解題過程中,很容易選擇使用思維方式容易但計(jì)算量極大的方式,浪費(fèi)大量時(shí)間且難以實(shí)現(xiàn)最終的預(yù)算目的?;诖?,文章將高考解析幾何問題作為研究重點(diǎn),從理解、思考、計(jì)算與表達(dá)這四方面入手,闡述有效的解題方法,希望對高中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有所幫助。
關(guān)鍵詞:解析幾何問題;解題方法;研究
中圖分類號:G633.6
文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A
1.準(zhǔn)確理解問題
在理解題意的過程中,不僅要了解已知條件,同樣也要掌握問題的解答目的。結(jié)合之前分析,可以對試題條件與結(jié)論之間的關(guān)系做出歸納并以圖1形式表示出來:
結(jié)合圖1的內(nèi)容即可形成問題圖式,進(jìn)而為后期問題的解答提供保障。
2.確定思考方向
在解答數(shù)學(xué)問題的過程中,通過對題目內(nèi)容的分析與研究能夠獲得具有較高價(jià)值的信息內(nèi)容。再對比試題中信息的內(nèi)容時(shí)可形成相關(guān)性聯(lián)系,并結(jié)合題設(shè)所給出的暗示性信息,可以保證解題思路設(shè)置的科學(xué)性,進(jìn)而在短 時(shí)間內(nèi)完成數(shù)學(xué)問題的解答。根據(jù)題意內(nèi)容的理解,掌握已知條件以及需要求解的內(nèi)容,隨后就要確定思考的方向,怎樣實(shí)現(xiàn)條件的有效整合,對問題加以解決[2]:
根據(jù)圖1中的③④可以發(fā)現(xiàn),在求解橢圓方程的過程中,只要構(gòu)建與a、b相關(guān)的方程就可以。其中,③就是已知方程。根據(jù)②中的坐標(biāo)形式,在聯(lián)立①與④的基礎(chǔ)上,即可借助直線和圓錐曲線求解的方式進(jìn)行求解。為此,第二問求解的思路可以以圖2表示出來:
在思考的基礎(chǔ)上,即可把握問題求解具體方向,為正確解題奠定基礎(chǔ)。
3.準(zhǔn)確計(jì)算
高中解析幾何試題的解題方向確定相對簡單,但是在實(shí)際計(jì)算解答的過程中,很多學(xué)生都無法獲得最終的計(jì)算結(jié)果。綜合考慮高中數(shù)學(xué)考試大綱的要求,學(xué)生需要具備準(zhǔn)確計(jì)算數(shù)字的能力,同時(shí)也要針對式子與幾何圖形諸多幾何量進(jìn)行計(jì)算。在此基礎(chǔ)上,學(xué)生要結(jié)合問題給出條件對最佳的計(jì)算路徑進(jìn)行設(shè)計(jì)。其中,計(jì)算能力同樣也涵蓋了計(jì)算過程中對計(jì)算困難的調(diào)整能力。為此,在求解解析幾何的過程中,對最終計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生直接影響的兩個(gè)因素就是計(jì)算式子與幾何圖形的諸多幾何量,同時(shí)還包括了計(jì)算方法的選擇與調(diào)整。
根據(jù)之前所設(shè)定的解題步驟,在實(shí)際求解的過程中,需要在以下三個(gè)問題中進(jìn)行選擇:
(1)聯(lián)立①④以后,將x消去還是將y消去?
(2)根據(jù)②獲得⑤時(shí),選擇使用設(shè)而不求的方法還是設(shè)而求的方法?
(3)在聯(lián)立③與⑤的過程中,對a、b進(jìn)行求解,選擇將③代入其中還是計(jì)算與a、b相關(guān)另一方程以后再進(jìn)行消元?
針對文中的解析幾何例題,學(xué)生在多次嘗試解題的過程中,確定了最終的方案:
該例題中的計(jì)算目的就是構(gòu)建與a、b相關(guān)的方程,而試題中的隱含條件,即a2=b2+c2= a2=b2+4始終未被使用。為此,可以將③代入其中,有效地簡化計(jì)算的難度。在聯(lián)立—+—=1與y=√3(x-2)以后,可以整合歸納成方程式,即(3a2+b2)y2+4√3b2y+12b2-3a2b2=0??梢詫2=b2+4代入其中,進(jìn)而獲得方程,即(3a2+b2)y2+4√3b2y-3b4=0。在這種情況下,常數(shù)項(xiàng)就相對簡單一些,便于方程的解答。根據(jù)方程(3a2+b2)y2+4√3b2y-3b4=0的?計(jì)算發(fā)現(xiàn),并沒有辦法計(jì)算出結(jié)果??梢詫2=b2+4代入到?中,使得解題的難度顯著下降。
在聯(lián)立—+—=1與y=√3(x-2)以后,將x消除,并得到?=12b4·4a2。
之前已經(jīng)將y消除,所以直接簡化了解題的步驟。較之于之前多種計(jì)算方式的應(yīng)用難度,發(fā)現(xiàn)如果能夠合理預(yù)估計(jì)算長度并加以調(diào)控,就可以有效地節(jié)省計(jì)算的成本,使得計(jì)算的效率全面提升。在該解析幾何例題當(dāng)中,根據(jù)PF2=2F2Q可以獲得-y1=2y2。由于設(shè)而不求的方法在操控方面具有一定的難度,所以只能夠選擇設(shè)而求的方式。所以,必須在日常學(xué)習(xí)與練習(xí)中,多進(jìn)行實(shí)踐解答,才可以總結(jié)并歸納解題的技巧[3]。
4.規(guī)范性地表達(dá)
在之前理解題意→深入思考→明確解題方向三步的鋪墊之下,通過計(jì)算已經(jīng)完成了問題的解答任務(wù)。在此基礎(chǔ)上,就需要保證解答過程表述的準(zhǔn)確性,進(jìn)而獲得可觀的分?jǐn)?shù)。通常在數(shù)學(xué)問題解答方面,更強(qiáng)調(diào)之前的三個(gè)步驟,卻沒有給予表達(dá)必要的重視。數(shù)學(xué)語言的表達(dá)同樣也屬于基本性的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。為此,在數(shù)據(jù)問題解答與作答的過程中,保證表述的準(zhǔn)確性與規(guī)范性也將對解答效果產(chǎn)生直接的影響。在這種情況下,必須高度重視數(shù)學(xué)問題解答的表述作用。學(xué)生可以首先自行表述,并且和試題參考答案相互對照,確保能夠和參考答案保持一致,這樣可以有效地增強(qiáng)試題表述的效果。
綜上所述,在上文中,以某解析幾何試題為例,通過理解、思考、計(jì)算與表達(dá)四個(gè)步驟闡述了解答解析幾何問題的技巧與步驟。需要注意的是,在實(shí)際解答試題的過程中,應(yīng)在理解題意的基礎(chǔ)上,通過計(jì)算對解題的方向加以調(diào)整。其中,表述也需要同步開展,所以解析幾何問題的解答也將呈現(xiàn)出四個(gè)步驟立體式的協(xié)調(diào)開展。在這種情況下,在解答解析幾何問題的過程中,學(xué)生應(yīng)當(dāng)準(zhǔn)確把握解題的四個(gè)步驟,在合理運(yùn)用的基礎(chǔ)上,完成試題的解答。
[1]羅柏生.選擇合理方法 突破解題困境——例談解析幾何綜合題的解題策略[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué),2017(1):43-46.
[2]吳偉鴻.高考數(shù)學(xué)試題中解析幾何的解題策略探析[J].西部素質(zhì)教育,2017(11):264-265.
[3]曾文龍.高考平面解析幾何試題解題思想方法與教育價(jià)值研究[D].長沙:湖南師范大學(xué),2016.