相關(guān)系數(shù)及其計算與分析研究

周麗霞

摘 要：本文給出了函數(shù)關(guān)系和相關(guān)分析概念，并通過研究總結(jié)了相關(guān)系數(shù)的含義，通過對相關(guān)系數(shù)公式的研究，給出了相關(guān)系數(shù)的簡捷公式，同時進(jìn)行了舉例應(yīng)用，已證明其實用性。

關(guān)鍵詞：函數(shù)關(guān)系 相關(guān)系數(shù) 相關(guān)分析 積差法

無論是在自然界還是在社會經(jīng)濟領(lǐng)域，客觀現(xiàn)象總是普遍聯(lián)系和相互依存的，客觀現(xiàn)象之間的數(shù)量關(guān)系可分為兩種類型：函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系。

函數(shù)關(guān)系是指客觀現(xiàn)象之間存在的、嚴(yán)格依存的、確定的數(shù)量關(guān)系。例如：某商品的銷售量和銷售價格與該商品銷售收入之間的關(guān)系可以用來表示。相關(guān)關(guān)系是客觀現(xiàn)象存在的一種非確定的相互依存關(guān)系，即自變量的每一個取值，因變量由于受隨機因素影響，與其所對應(yīng)的數(shù)值是非確定性的。由于影響一個變量的因素很多，而其中一些因素還沒有被人們所完全認(rèn)識和掌握，或是處于已經(jīng)認(rèn)識但對其產(chǎn)生的影響還不能完全控制和測量；另外，有些因素盡管可以控制和測量，但在操作過程中或多或少都會有誤差，所以在復(fù)雜的社會系統(tǒng)中，各種事物或現(xiàn)象之間的聯(lián)系大多體現(xiàn)為相關(guān)關(guān)系，而不是函數(shù)關(guān)系。

相關(guān)分析的主要目的就是要在錯綜復(fù)雜的客觀現(xiàn)象中，通過大量觀察統(tǒng)計資料，對現(xiàn)象間相互關(guān)系的密切程度和變化規(guī)律，有一個具體的數(shù)量觀念，并進(jìn)一步找出相互關(guān)系的模式，以便進(jìn)行統(tǒng)計預(yù)測和推算，為推算未知和預(yù)測未來提供數(shù)據(jù)，為制定計劃、決策提供資料。

相關(guān)關(guān)系的判斷方法主要有相關(guān)表（表格法）、散點圖（圖示法）、相關(guān)系數(shù)法。

通過相關(guān)表和相關(guān)圖可以明確、直觀地判斷兩個變量間有無關(guān)系，并對變量間的關(guān)系形態(tài)作出大致的描述，但不能準(zhǔn)確反映變量之間關(guān)系的密切程度。因此在初步判定變量間存在相關(guān)關(guān)系的基礎(chǔ)上，通常還要計算相關(guān)關(guān)系的度量指標(biāo)——相關(guān)系數(shù)。

（一）相關(guān)系數(shù)的含義

相關(guān)系數(shù)是指在直線相關(guān)條件下，說明兩個現(xiàn)象之間相關(guān)關(guān)系密切程度的統(tǒng)計分析指標(biāo)，通常用r表示。

相關(guān)系數(shù)的取值范圍在-1和+1之間，即-1≤r≤1。如果相關(guān)系數(shù)r=±1，表示兩個現(xiàn)象完全相關(guān)，它們之間存在確定的函數(shù)關(guān)系；如果相關(guān)系數(shù)r的數(shù)值越接近于1（+1或-1），表示相關(guān)關(guān)系越強；如果相關(guān)系數(shù)r的數(shù)值越接近于0，表示相關(guān)關(guān)系越弱；如果相關(guān)系數(shù)r=0，表示兩個現(xiàn)象完全不相關(guān)（僅指不是直線相關(guān)）；如果相關(guān)系數(shù)r>0，表示正相關(guān)；如果相關(guān)系數(shù)r<0，表示負(fù)相關(guān)。

但需要注意的是，r只表示x與y的直線相關(guān)密切程度。當(dāng) 很小甚至等于0時，志寧表示x與y 之間不指向相關(guān)，并不表示x與y之間就不存在其他非直線類型的相關(guān)關(guān)系。

為了在判斷時有個標(biāo)準(zhǔn)，現(xiàn)介紹一種常用的相關(guān)關(guān)系密切程度的劃分標(biāo)準(zhǔn)：

在原始數(shù)據(jù)比較多時，計算出的相關(guān)系數(shù) 的絕對值在0.3以下是無直線相關(guān)，0.3以上是有直線相關(guān)，0.3 0.5是低度相關(guān)，0.5 0.8是顯著相關(guān)（中度相關(guān)），0.8以上是高度相關(guān)。

按照上面的標(biāo)準(zhǔn)來判斷，嚴(yán)格說要有一個條件，就是計算系數(shù)的原始數(shù)據(jù)要比較多，如果數(shù)據(jù)太少，判斷相關(guān)的密切程度需要查相關(guān)系數(shù)檢驗表來判斷。

（二）相關(guān)系數(shù)的計算公式

在未分組資料條件下

1.相關(guān)系數(shù)的定義公式。

公式（1）

式中，

協(xié)方差σxy 的作用：

（1）協(xié)方差顯示x與y是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)。

相關(guān)系數(shù)的正負(fù)性完全由協(xié)方差的正負(fù)性決定。協(xié)方差為負(fù)，則相關(guān)系數(shù)為負(fù)，相關(guān)關(guān)系是負(fù)相關(guān)；協(xié)方差為正，則相關(guān)系數(shù)為負(fù)，相關(guān)關(guān)系是正相關(guān)。

（2）協(xié)方差顯示x與y相關(guān)程度的大小

當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差σx 和σy 為定值時，協(xié)方差σxy 的絕對值越小，表示x 與y的相關(guān)程度越低；協(xié)方差σxy 的絕對值越大，表示x 與y 的相關(guān)程度越高。

2.相關(guān)系數(shù)的“積差法”公式。

對公式（1）中的分子分母同時乘以n ，相關(guān)系數(shù)r 的公式可寫成：

由于公式（2）是通過將各個離差相乘的方法來說明相關(guān)程度的，所以通常把這種相關(guān)系數(shù)的公式叫做“積差法”，積差法是計算相關(guān)系數(shù)的基本方法。

相關(guān)系數(shù)的定義公式是根據(jù)x 與y 的數(shù)值計算的，當(dāng)x 或y 的值為除不盡的小數(shù)時，計算既麻煩又影響其準(zhǔn)確性。在實際工作中，如果根據(jù)變量的原始數(shù)值計算相關(guān)系數(shù)，可運用簡捷法計算公式。

3.相關(guān)系數(shù)的簡捷公式。

公式（3）不用計算兩個變量的平均值與標(biāo)準(zhǔn)差，既減少工作量，又可以減少計算平均值除不盡所帶來的誤差。

（三）相關(guān)系數(shù)的計算舉例

[例1]對一公司的10名職工的月消費支出和可支配收入進(jìn)行調(diào)查得到如下原始資料（元），根據(jù)相關(guān)資料計算職工月消費支出和可支配收入相關(guān)系數(shù)（見表1）。

解：根據(jù)相關(guān)資料列出職工消費支出和可支配收入相關(guān)系數(shù)計算表（見表2）。

將有關(guān)數(shù)據(jù)代入計算公式，可計算出相關(guān)系數(shù)：

答：相關(guān)系數(shù)0.984>0.8，接近1，說明職工月消費支出和可支配收入為高度正相關(guān)關(guān)系。

[例2]某公司十家連鎖店銷售額和利潤率的資料如表3所示，計算相關(guān)系數(shù)。

解：

答：相關(guān)系數(shù)0.987>0.8，接近1，表明銷售額和利潤率之間存在高度正相關(guān)關(guān)系。

[例3]某企業(yè)近8年產(chǎn)品產(chǎn)量與生產(chǎn)費用資料如表4所示，求相關(guān)系數(shù)。

解：

答：相關(guān)系數(shù)0.970>0.8，接近1，結(jié)果表明產(chǎn)品產(chǎn)量與生產(chǎn)費用之間存在高度正相關(guān)關(guān)系。

參考文獻(xiàn)：

[1] 傅德印. 對相關(guān)系數(shù)計算的系統(tǒng)分析[J]. 統(tǒng)計與信息論壇， 1994（1）：15-19.

[2] 郭紅霞. 相關(guān)系數(shù)及其應(yīng)用[J]. 武警工程大學(xué)學(xué)報， 2010（2）：3-5.

[3] 白雪梅， 趙松山. 也談對兩個定類變量間的相關(guān)分析[J]. 江蘇統(tǒng)計， 1997（12）：15-17.