例談?dòng)脭?shù)形結(jié)合解函數(shù)題時(shí)的做法及易錯(cuò)點(diǎn)

楊清梅

著名的數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò)“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合無(wú)限好，數(shù)形隔離萬(wàn)事非”.

數(shù)形結(jié)合的教學(xué)思想就是在解題過(guò)程中充分運(yùn)用數(shù)與形兩者存在的關(guān)系，將數(shù)量關(guān)系與空間關(guān)系結(jié)合起來(lái)進(jìn)行解題的一種方法，也是我國(guó)現(xiàn)階段數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容之一.數(shù)形結(jié)合的教學(xué)思想是由以數(shù)輔形和以形助數(shù)兩個(gè)方面組成.形是方法，數(shù)是最終的解題目的[1].

本文筆者將從一些課堂實(shí)例出發(fā)，例談在函數(shù)教學(xué)中如何通過(guò)研究函數(shù)圖像，得到函數(shù)的特點(diǎn)與性質(zhì)，進(jìn)而更快速地解決問(wèn)題，并且舉例說(shuō)明在畫圖時(shí)需要特別注意的一些易錯(cuò)點(diǎn).

例1已知函數(shù)f（x）=x2，01， 若方程f（x）=kx-2有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.

【思路分析】方程f（x）=kx-2有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解兩函數(shù) y=f（x），y=kx-2 的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn).問(wèn)題轉(zhuǎn)化為畫兩個(gè)函數(shù)的圖像即可.函數(shù)y=f（x）不含參數(shù)，是一個(gè)確定的分段函數(shù)，可以畫出圖像，函數(shù)y=kx-2雖含參數(shù)，但可知圖像是一條過(guò)定點(diǎn)M（0，-2），斜率不定的直線（相當(dāng)于繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)），問(wèn)題得以解決.

【解題過(guò)程】畫圖如下：

由圖可知，當(dāng)k∈[3，+∞）時(shí)，兩函數(shù) y=f（x），y=kx-2 的圖像有兩個(gè)不同交點(diǎn)，即方程f（x）=kx-2有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解.

【教學(xué)反思】在實(shí)際課堂教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生的答案還包含k=2，為什么會(huì)造成這種錯(cuò)誤呢？關(guān)鍵在于學(xué)生對(duì)函數(shù)的增長(zhǎng)速度（即函數(shù)的凹凸性）認(rèn)識(shí)不全，對(duì)于g（x）=ln（x-1）（x≥2）與h（x）=2x-2（x≥2），兩者都是單調(diào)遞增，且均過(guò)點(diǎn)（2，0）（交點(diǎn)），是否還有另一交點(diǎn)，取決于兩函數(shù)的大小關(guān)系，對(duì)兩函數(shù)二次求導(dǎo)，g″（x）=-1（x-1）2<0，而h″（x）=0，可知g（x）的增長(zhǎng)速度比h（x）慢，所以在（2，+∞）上h（x）>g（x），故無(wú)另一交點(diǎn)，k=2不是答案.

由于對(duì)函數(shù)圖像的凹凸情況認(rèn)識(shí)不清，導(dǎo)致在做題的過(guò)程中出現(xiàn)錯(cuò)誤，這種現(xiàn)象很常見(jiàn).

例2已知函數(shù)f（x）=sinπ2x-1，x≤0，logax（a>0且a≠1），x>0 的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)至少有3對(duì)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

A.0，55

B.55，1

C.33，1

D.0，33

【思路分析】已知函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)至少有3對(duì)兩函數(shù)

g（x）=sin-π2x-1，h（x）=logax（a>0且a≠1） 的圖像在（0，+∞）有三個(gè)不同的交點(diǎn)，只需畫出圖像即可.

【解題過(guò)程】

1.當(dāng)a>1時(shí)，圖像如下，由圖可知，只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合.

2.當(dāng)0

【教學(xué)反思】在備課組集體備課中，有教師提出此題目有誤.由上圖，當(dāng)h（x）的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)F（5，-2）時(shí)，兩圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不是兩個(gè)，為此，筆者用幾何畫板驗(yàn)證（如下圖所示）.當(dāng)過(guò)F點(diǎn)時(shí)，兩圖像已相交三個(gè)交點(diǎn).實(shí)際上，由g（x）=sin-π2x-1與h（x）=logax（a>1）的凹凸性可知，兩個(gè)函數(shù)在點(diǎn)F處并不會(huì)相切，即不能由h（x）的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)F（5，-2）得到a的臨界值55（實(shí)際上，兩函數(shù)相切的切點(diǎn)橫坐標(biāo)x0<55，由于與本文沒(méi)有直接關(guān)聯(lián)，故在此不贅述）.

為了避免此情況，現(xiàn)將例2改編如下：

變式1函數(shù)y=f（x）滿足f（x+2）=f（x），且當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）=-|x|，若函數(shù)g（x）=f（x），x<0，logax（a>0且a≠1），x>0 的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)至少有3對(duì)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【解題過(guò)程】

1.當(dāng)a>1時(shí)，圖像如下，由圖可知，只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合.

2.當(dāng)0

上述兩個(gè)例子中，出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因都是由于對(duì)兩個(gè)函數(shù)的增長(zhǎng)速度快慢判斷不清，導(dǎo)致畫圖像時(shí)出現(xiàn)誤差.在以后做題過(guò)程中，若遇到在某個(gè)區(qū)間，兩個(gè)函數(shù)同時(shí)單調(diào)遞增（減），通過(guò)畫其圖像求解交點(diǎn)時(shí)，可以通過(guò)二次求導(dǎo)判斷兩者增長(zhǎng)速度的快慢，進(jìn)而準(zhǔn)確畫圖，避免錯(cuò)誤.

【參考文獻(xiàn)】

[1]盛繼中.探析高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合的解題方法[J].時(shí)代教育，2013（10）：135.