關(guān)于江蘇高考數(shù)學(xué)模擬中一道“一題多解”題目的思考

張煜琳

【摘要】“一題多解”題目從不同角度、不同層次來(lái)考慮問(wèn)題，在解題過(guò)程中不僅可以重新復(fù)習(xí)、深刻理解知識(shí)點(diǎn)，還能讓學(xué)生體會(huì)多種數(shù)學(xué)思想方法，提高解題效率.本文以江蘇高考數(shù)學(xué)模擬題中的一道“一題多解”題目為例，淺談自己的思考.

【關(guān)鍵詞】“一題多解”；數(shù)學(xué)思想方法；高考題

題目已知△ABC中，BC=2，G為△ABC的重心，且滿足AG⊥BG，則△ABC的面積的最大值為.

這道題是代數(shù)與幾何的結(jié)合，不僅考查了學(xué)生對(duì)代數(shù)與幾何知識(shí)的掌握，還可以通過(guò)分析學(xué)生解決這道題的不同方法，了解學(xué)生更擅長(zhǎng)哪種思維方法，是一道難得的好題.

分析這道題目雖然簡(jiǎn)短，但是信息量很大，首先我們可以羅列一下題目給出的條件：

（1）BC=2.

（2）G為△ABC的重心，由這個(gè)條件，又可以推出三條隱含的條件：

① 連接GC，延長(zhǎng)AG交BC于點(diǎn)D，則GA，GB，GC把△ABC分成了三個(gè)面積相等的三角形，即S△ABG=S△BCG=S△ACG=13S△ABC；

② GA+GB+GC=0；

③ |GA|∶|GD|=2∶1.

（3）AG⊥BG，這個(gè)條件我們可以轉(zhuǎn)化為AG·BG=0.

分析條件的過(guò)程，體現(xiàn)了隱含條件思想，把題目中沒(méi)有明確表達(dá)出來(lái)的隱含內(nèi)容翻譯出來(lái)，這也是學(xué)生應(yīng)掌握的思想方法之一.

思路一建立平面直角坐標(biāo)系，將△ABC放到平面直角坐標(biāo)系中，借助直角坐標(biāo)系來(lái)解答.幾何圖形與平面直角坐標(biāo)系結(jié)合，是一種數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，利用數(shù)形結(jié)合，可將問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)，化難為易，是解決幾何問(wèn)題常見(jiàn)方法之一.

法1以BC所在直線為橫軸，BC中垂線為縱軸建系，則B（-1，0），C（1，0），設(shè)A（x，y）位于x軸上方.

∵點(diǎn)G為△ABC的重心，由三角形重心坐標(biāo)公式可知，Gx3，y3.

又∵A（x，y），B（-1，0），

∴GA=2x3，2y3，GB=-1-x3，-y3.

∵AG⊥BG，∴GA·GB=0，

即2x3·-1-x3+2y3·-y3=0.

整理后可以得到x+322+y2=94.

∵x+322≥0，∴y2≤94.

又∵y≥0，∴y≤32，∴ymax=32，

∴S△ABCmax=12×2×32=32.

小結(jié)：由于BC長(zhǎng)度已知，所以以BC所在直線為x軸，以BC中垂線為y軸建系，這樣，B，C兩點(diǎn)就相當(dāng)于定點(diǎn)，并可知其坐標(biāo)分別為B（-1，0），C（1，0）.為方便計(jì)算，假設(shè)點(diǎn)A位于x軸上方.求△ABC的面積的最大值，也就是求BC邊上高的最大值，即A的縱坐標(biāo)的最大值，體現(xiàn)了化歸思想.解題過(guò)程中，把x+322看作一個(gè)整體，由x+322≥0，推出y2≤94，體現(xiàn)了整體思想.

法2以AB所在直線為x軸，AB中垂線為y軸建系，設(shè)A的坐標(biāo)為A（-r，0），則B（r，0），假設(shè)C（x，y），為了便于計(jì)算，設(shè)C位于x軸上方.

由點(diǎn)G為△ABC的重心可知Gx3，y3，

∴AG=r+x3，y3，

BG=x3-r，y3.

∵AG⊥BG，∴AG·BG=0.

整理得x2+y2=9r2.①

又∵BC=2，

∴由勾股定理可得（x-2）2+y2=4.②

由①②聯(lián)立，將y2消去，得x2-（x-r）2=9r2-4，

整理后x=5r-2r代入①，y=-16r2-4r2+20，

∴S△ABC=12×2r×|y|=r-16r2-4r2+20=-16r4+20r2-4.

令t=r2，則

S△ABC=-16t-582+94，其中t∈14，1，

∴當(dāng)t取58∈14，1時(shí)，S△ABC=-16t-582+94取得最大值，最大值為32.

小結(jié)：換個(gè)角度，以AB所在直線為x軸，由于A，B兩點(diǎn)之間的距離不定，所以用未知量2r來(lái)表示，C（x，y）中有兩個(gè)未知量，這樣一共有三個(gè)未知量.由AG⊥BG推出式子① x2+y2=9r2，由BC=2以及勾股定理可得式子② （x-2）2+y2=4，兩個(gè)式子三個(gè)未知量，利用方程思想化簡(jiǎn)消元后，代入S△ABC可得一個(gè)關(guān)于t=r2函數(shù)，利用整體思想、函數(shù)思想，求出一元二次函數(shù)f（t）=-16t-582+94的最大值，即可得△ABC面積的最大值.

思路二不借助平面直角坐標(biāo)系，而是直接根據(jù)三角形中邊長(zhǎng)與垂直的條件，利用勾股定理、基本不等式來(lái)求解，這也是一種數(shù)形結(jié)合的思想.

法3延長(zhǎng)AG交BC于點(diǎn)D，設(shè)DG=m，BG=n.

∵點(diǎn)G為△ABC的重心，

∴AG=2DG=2m.

又∵AG⊥BG，

∴△BDG為直角三角形.

∵BD=12BC=1，

∴由勾股定理得m2+n2=1.

∵D為BC中點(diǎn)，

∴S△ABC=2S△ABD=AD·BG=3mn.

∵1=m2+n2≥2mn，∴mn≤12，

∴S△ABC≤12×3=32，∴S△ABCmax=32.

小結(jié)：設(shè)DG=m，BG=n，由AG⊥BG知△BDG為直角三角形，利用勾股定理，得出m2+n2=1，由m2+n2可聯(lián)想到基本不等式，把條件化歸到基本不等式上去，利用基本不等式得到mn≤12，把mn看作一個(gè)整體，代入S△ABC=2S△ABD=AD·BG=3mn即可得△ABC面積的最大值，體現(xiàn)了整體思想和化歸思想.

法4延長(zhǎng)AG交BC于點(diǎn)D，設(shè)DG=m.

∵點(diǎn)G為△ABC的重心，

∴S△ABC=3S△BCG.

又∵點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，且AG⊥BG，

∴S△ABC=3S△BCG=6SRt△BDG，

且BD=12BC=1，

∴在Rt△BDG中，BG=BD2-DG2=1-m2，

∴S△ABC=3S△BCG=6SRt△BDG=6×12×m1-m2=3m2-m4.

令t=m2，則S△ABC=3t-t2=314-t-122，其中，t∈[0，1]，

∴當(dāng)t取12∈[0，1]時(shí)，S△ABC=314-t-122取得最大值，最大值為32.

小結(jié)：由重心G的性質(zhì)可知，S△ABC=3S△BCG，又由點(diǎn)D為BC中點(diǎn)可知，S△BCG=2SRt△BDG，將求△ABC面積最大問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了求Rt△BDG面積最大問(wèn)題，最后利用函數(shù)最值，得到了面積最大，體現(xiàn)了化歸思想和函數(shù)思想.

思路三軌跡思想.

法5∵點(diǎn)G為△ABC的重心，

∴S△ABC=3S△BCG.

又∵點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，且AG⊥BG，

∵S△ABC=3S△BCG=6SRt△BDG，

∴求△ABC的面積最大問(wèn)題相當(dāng)于求Rt△BDG面積最大問(wèn)題.

以BD為直徑作圓E，因?yàn)锳G⊥BG，所以G在圓E上，由基本不等式很容易證得，當(dāng)BG=DG時(shí)，Rt△BDG面積最大，此時(shí)SRt△BDG=12×22×22=14，

∴S△ABCmax=14×6=32.