面積帶給學(xué)生的沖擊波及對策

劉國海

教學(xué)時常常發(fā)現(xiàn)：學(xué)生學(xué)習(xí)周長時學(xué)得很好，但學(xué)習(xí)了長方形面積之后，往往容易把長方形的面積和周長混淆，看似清晰的概念反而模糊了.針對這種情況，筆者設(shè)計了一套教學(xué)方案：一是重視學(xué)生在具體情境中理解周長與面積的含義；二是加強(qiáng)概念的建模，周長想成螞蟻跑步，面積就鋪小正方形；三是豐富鋪面積單位測面積的活動經(jīng)驗，放慢面積公式的導(dǎo)出.自認(rèn)這樣的教學(xué)能讓學(xué)生理清面積和周長的概念與區(qū)別，會有不錯的效果.然而，在期末復(fù)習(xí)中，學(xué)生還是出現(xiàn)了亂套公式，把長方形面積與周長混淆的情況.郁悶之后決定找找面積周長混淆的深層原因.筆者設(shè)計了一個調(diào)查表進(jìn)行書面調(diào)查：第1-3題重在檢測知識的掌握情況，第4-5題側(cè)重于學(xué)生對知識的理解，了解這一階段教學(xué)對學(xué)生的影響與效果，進(jìn)而聯(lián)系第1-3題的檢測找到學(xué)生解決問題對錯的原因.

“長方形面積與周長”學(xué)習(xí)效果調(diào)查表

1.計算下面圖形的周長和面積.

周長：.

面積：.

2.如圖所示，把一個長方形框架沿對角線向外拉，變成一個平行四邊形后，它的面積將.（填“變大”“變小”或“不變”）

3.小明用同樣長的兩根鐵絲圍成甲、乙兩個圖形，比較它們的面積，（）.

A.甲比乙大B.乙比甲大

C.一樣大D.無法比較

4.請說說在長方形面積或周長的學(xué)習(xí)中給你留下印象最深的是：.

5.請你說說長方形面積與周長有哪些不同點.（能找到幾個就寫幾個）

.

書面調(diào)查情況統(tǒng)計如下（調(diào)查人數(shù)為2個班共80人）：

題號12345

正確變大變小不變ABCD公式活動經(jīng)驗公式意義或測量工具

人數(shù)統(tǒng)計79443333631402782939

占百分比98.75553.7541.253.7578.7517.5033.751036.2548.75

通過調(diào)查情況的反饋，第1題是直接套用公式的計算，學(xué)生的準(zhǔn)確率很高（只有一個孩子在算周長時忘了“×2”），長方形周長和面積的計算公式給學(xué)生留下了深刻的印象，有33.75%的學(xué)生認(rèn)為在周長和面積的學(xué)習(xí)中留下印象最深的是“計算公式”，在對比周長與面積的不同點中，有36.25%的同學(xué)寫到計算公式.第2題與第3題都是比較兩個圖形面積的大小，但無法直接套用公式計算.有意思的是兩道同類型的問題，學(xué)生的準(zhǔn)確率卻相差比較大（分別為53.75%和78.75%），而且有31名學(xué)生在這兩題的面積大小判斷中是不一致的（既同一個人在一題中的判斷是正確的，在另一題中的判斷卻是錯誤的），占總數(shù)的38.75%，這類學(xué)生在第4、5題的調(diào)查中基本上只寫了計算公式.還有11名學(xué)生認(rèn)為這兩個題中的兩個圖形的面積都是不變的，占13.75%，這些學(xué)生在后邊說說長方形面積與周長有哪些不同點中大多只寫了它們計算的公式的不同，沒有講出面積與周長的意義或是周長與面積的測量等方面的不同.第5題能寫出長方形周長和面積的含義、測量工具等方面不同的占48.75%，這類孩子普遍寫出的周長和面積的不同點比較多，整個調(diào)查卷的準(zhǔn)確率很高.第4題寫出諸如“周長是螞蟻沿圖形周邊爬一周”“一平方米可以站多少人”等課堂活動與體驗的只有10%，遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于寫計算公式的33.75%.

根據(jù)調(diào)查的結(jié)果，學(xué)生對周長面積的含義理解較好的普遍都學(xué)得比較好.學(xué)生對公式的記憶是很深刻的，對周長、面積的意義的理解反而淡化，甚至是模糊的.我仔細(xì)搜索、回憶“面積”“周長”教學(xué)的每個環(huán)節(jié)、每個細(xì)節(jié)，分析、思考著學(xué)生對面積與周長混淆的各種原因.

一、活動經(jīng)驗帶給學(xué)生的強(qiáng)刺激

一些學(xué)生還是靠直覺和經(jīng)驗去解決問題，得出判斷，這很容易受信息的強(qiáng)度而影響答案.如調(diào)查卷中的第2題與第3題，同樣是比較兩個圖形的面積大小，但是卻有3875%的學(xué)生出現(xiàn)有一道題判斷正確，而另一道題卻判斷錯誤的情況.在對這些孩子的訪談中發(fā)現(xiàn)，這些孩子把長方形想成是一根鐵絲圍成的，沿對角往外拉之后還是不變的（其實是周長不變），甚至有個別同學(xué)提醒是比較面積的大小后，還是覺得是一樣大的.顯然是課堂中拉長方形框架的活動給學(xué)生留下了深刻的印象，學(xué)生憑直覺與經(jīng)驗直接回答問題，直接根據(jù)自己想到的信息（鐵絲長不變）與問題掛鉤（面積不變），忽略了信息與問題之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系.

二、公式對學(xué)生的影響深刻

一些孩子在比較長方形周長與面積的不同點時僅僅是想到了公式的不同（應(yīng)該還是公式外在形式的不同）.他們從公式出發(fā)去理解周長與面積，去比較它們的不同點.當(dāng)出現(xiàn)的問題不能用公式直接解決時，錯誤率便馬上提高.然而，長方形周長和面積的公式都只需要知道長方形的長和寬，讓學(xué)生自己動手去測量長方形的周長或面積時，也都只要測出長方形的長與寬，兩個公式如此的“形似”，使得一些學(xué)生在套用公式時難免會出錯.正是這兩個公式外在的相似混淆了公式內(nèi)涵的區(qū)別.

三、公式的熟練不能主動提升知識本質(zhì)特征的理解

在教學(xué)中，雖然已經(jīng)很注重周長與面積意義的教學(xué)了，如教學(xué)中注重概念的建模，用螞蟻跑步建構(gòu)周長，用擺小正方形建構(gòu)面積的大小，然而在周長與面積的公式出來后，教材中許多題目都可以從公式出發(fā)，用公式直接解決，學(xué)生熟練了計算公式的應(yīng)用，卻忘記了周長、面積的意義.形象的概念建模與抽象的公式之間對學(xué)生來說有著巨大的鴻溝.就像教學(xué)兩位數(shù)乘兩位數(shù)時，學(xué)生理解了算理，學(xué)會了算法，但是到了能熟練筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)后，在教學(xué)簡便運算時，如對24×12要求用乘法分配律進(jìn)行簡便計算時，部分學(xué)生仍然不會做.因此，計算公式的不斷熟練，不一定能主動提升對知識的理解，有時反而會讓學(xué)生忽略了公式背后的道理與內(nèi)涵.

四、“領(lǐng)袖”學(xué)生的影響不容忽視

記得在得出長方形面積的計算公式后，引導(dǎo)學(xué)生嘗試使用公式環(huán)節(jié)，我讓學(xué)生想辦法測出教室地面的面積，幾秒鐘的沉寂后，有個學(xué)生大聲說：“拿書本去鋪.”在這一“號召”下，全班同學(xué)都拿著數(shù)學(xué)書去測地面的面積.他們先用書本測出一塊地磚的面積，再算出教室地面的面積.而沒有采用直接測量教室地面的“長”與“寬”的方法來計算的.甚至有些學(xué)生只是跟著其他同學(xué)在操作，不知道自己的目的，也就沒有去想有沒有其他更好的方法了.

長方形面積、周長混淆的原因，一是在學(xué)習(xí)內(nèi)容上，周長和面積研究的是一個圖形中的兩種屬性——線和面，且線和面在觀察圖形時往往不易剝離；二是在學(xué)習(xí)對象上，學(xué)生思維發(fā)展與空間觀念發(fā)展存在差距；三是在學(xué)習(xí)形式上，常用公式解決問題，意義與公式相脫離；四是在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生對知識的思考與理解上存在差距.為解決困境，需要特別注意以下幾點：

（一）學(xué)會思考與質(zhì)疑，溝通公式與概念的內(nèi)在聯(lián)系

學(xué)生對長方形面積與周長計算公式的混淆，一個很重要的原因是沒有理解公式的內(nèi)涵，沒有把周長和面積的含義聯(lián)系起來.在教學(xué)中，學(xué)生在觀察圖形時，往往是圖形的邊線和圖形的面同時看到，不易剝離.這時，我們不僅要讓學(xué)生描一描圖形的邊線，摸一摸圖形的面，更重要的是在摸圖形邊線時引導(dǎo)學(xué)生想成一只螞蟻沿著圖形的四周跑步一周要跑多長，在摸面時引導(dǎo)學(xué)生想這個面有多大，讓思考與操作同步進(jìn)行，理解周長和面積的含義.在測長方形的周長或面積時，不僅要反饋“需要測什么”“怎么算”的問題，還須更進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生的思考：測算周長時測的“長”與“寬”和測算面積時測的“長”與“寬”，在想法上有什么不同？讓學(xué)生明白測算周長時只是簡單地把各條線段的長度加起來，而測算長方形面積時，測出的長是為了弄明白長可以擺幾個面積單位，測出的寬是為了弄明白寬可以擺幾個面積單位.這樣，就把周長與面積的計算公式和它們的概念緊密聯(lián)系起來，讓學(xué)生理解公式的內(nèi)涵.不僅重視公式的“立”，還要重視“立”的基礎(chǔ)要扎實，即周長和面積含義的理解.教學(xué)中，注意引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，學(xué)生的思考過程非常重要，學(xué)生對數(shù)學(xué)知識要有自己的思考與理解，避免盲從于“領(lǐng)袖”學(xué)生，盲從于教師.

（二）解構(gòu)中再構(gòu)，深入領(lǐng)悟公式的內(nèi)涵

學(xué)生對公式的印象如此深刻的一個重要原因是在平時的練習(xí)中很多問題都只要周長或面積的計算公式就能解決了，在長期的應(yīng)用中，使學(xué)生失去了思考公式應(yīng)用中更深層次問題的機(jī)會，所以我們需要創(chuàng)設(shè)一些問題，一些學(xué)生不能用公式直接解決的問題，讓學(xué)生去想辦法.比如，以下兩種類型的題目.讓學(xué)生在解決問題的過程中，經(jīng)歷“公式?jīng)]用”“公式怎么用”的過程，讓學(xué)生明白公式的內(nèi)涵與使用地位.

1.如圖所示，李阿姨在總面積等于96平方厘米的正方形網(wǎng)格上繡出一只和平鴿，和平鴿圖案的面積是平方厘米.

2.如圖所示，連接兩個小正方形和一個大正方形的頂點，圍成如圖所示陰影部分的三角形，已知大正方形的邊長是小正方形邊長的2倍，陰影部分的面積為320，求這三個正方形的面積和.

（三）分清主次，區(qū)別對待，避免亂套公式

長方形周長和面積的公式雖然外在形式很像，但其內(nèi)涵與解決問題的價值卻不一樣.根據(jù)周長的概念，不僅可以直接解決長方形周長的計算，隨便什么圖形的周長都能測或算，相當(dāng)于有了個“萬能公式”，長方形周長的計算公式僅僅只是一個巧算與計算提升的問題；而長方形面積計算公式對解決長方形，乃至整個基本圖形面積的計算都非常重要.因此，我們要正確看待、定位兩個計算公式.在學(xué)生充分理解與經(jīng)歷計算長方形周長的基礎(chǔ)上，在長方形周長練習(xí)中提升長方形周長計算公式，即根據(jù)周長概念直接計算長方形周長，把長方形周長計算公式作為計算的提升.兩個公式，淡化一個，消除公式外在的迷惑，避免混淆.

學(xué)生對長方形面積容易與周長混淆的原因雖然是多方面的、復(fù)雜的，但從根本上講，主要是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中對面積和周長的概念與計算公式的理解與內(nèi)在聯(lián)系溝通的問題.概念是比計算公式更為本位的知識，由概念產(chǎn)生計算公式，其內(nèi)在邏輯必須要讓學(xué)生弄明白.因此，在教學(xué)中如何引導(dǎo)學(xué)生思考、如何理解很重要，不僅要注重建模，對各知識深入認(rèn)識，還要注意“概念——意義——公式——公式應(yīng)用”之間的內(nèi)在聯(lián)系.只要理解透了，各知識點之間的來龍去脈想明白了，學(xué)生自會融會貫通，自然不會混淆.