旋轉(zhuǎn)變換在初中幾何中的應(yīng)用

趙珊珊

【摘要】初等幾何變換中的旋轉(zhuǎn)變換與中學(xué)幾何教學(xué)有著密切的內(nèi)在聯(lián)系，而且隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)施，它在現(xiàn)行的中學(xué)教材中占有更加重要的地位.本文簡(jiǎn)述初等幾何變換中旋轉(zhuǎn)變換的相關(guān)內(nèi)容，探討旋轉(zhuǎn)變換在初中幾何解題中的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】旋轉(zhuǎn)變換；初中幾何；應(yīng)用

隨著德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因（F.Klein）《埃爾蘭根綱領(lǐng)》的發(fā)表，幾何已經(jīng)被視為在某種變化群下，研究圖形的不變性與不變量的學(xué)科.基于圖形的不變性，各行業(yè)均可以利用這一性質(zhì)獲得便利.現(xiàn)今，初等幾何變換的思想影響著初中數(shù)學(xué)，并由此指導(dǎo)學(xué)生用這種思想來(lái)處理幾何問(wèn)題，已成為數(shù)學(xué)課程改革的趨勢(shì).而本文主要概述旋轉(zhuǎn)變換的相關(guān)性質(zhì)，并對(duì)它的相關(guān)應(yīng)用進(jìn)行舉例說(shuō)明.

我國(guó)對(duì)于平面幾何教學(xué)的改革也在進(jìn)行，但是改革的力度還不夠，雖然在我國(guó)中學(xué)幾何教材中已引入變換的概念，但與國(guó)際上數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)代化教育進(jìn)展的并不協(xié)調(diào).

一、旋轉(zhuǎn)變換與初中幾何教學(xué)的聯(lián)系

（一）介紹旋轉(zhuǎn)變換的基本概念

初等幾何變換一般包括合同、相似、反演變換，其中合同變換、相似變換與中學(xué)幾何教學(xué)聯(lián)系更緊密些.旋轉(zhuǎn)變換屬于合同變換.初中教材中，旋轉(zhuǎn)變換單獨(dú)列為一個(gè)章節(jié)，從直觀到抽象，從定義到性質(zhì)，有助于學(xué)生全面理解這一知識(shí)點(diǎn).本文對(duì)于旋轉(zhuǎn)變換的概述主要結(jié)合人教版九年級(jí)上冊(cè)旋轉(zhuǎn)這一章節(jié)的內(nèi)容以及中考題型，為此，我們首先給出旋轉(zhuǎn)變換的定義及基本性質(zhì).

定義（[1]）：設(shè)O為平面上一定點(diǎn)，φ為一個(gè)有向角，R是平面上的變換.如果對(duì)于任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)P，P′，通過(guò)變換R總有OP=OP′，∠POP′=φ，那么變換R叫作以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心，φ為旋轉(zhuǎn)角的旋轉(zhuǎn)變換，記為R（O，φ）.

顯然，旋轉(zhuǎn)變換由旋轉(zhuǎn)中心與旋轉(zhuǎn)角唯一確定，并具有下列性質(zhì)（參見(jiàn)文[1，2]）：

性質(zhì)1當(dāng)旋轉(zhuǎn)角φ≠180°時(shí)，直線與其對(duì)應(yīng)直線的交角等于φ.

性質(zhì)2關(guān)于同一旋轉(zhuǎn)中心的兩個(gè)旋轉(zhuǎn)變換的乘積仍是一個(gè)旋轉(zhuǎn)變換.

性質(zhì)3旋轉(zhuǎn)變換的逆變換仍是一個(gè)旋轉(zhuǎn)變換.

性質(zhì)4非恒等的旋轉(zhuǎn)變換只有一個(gè)不變點(diǎn)——旋轉(zhuǎn)中心，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角φ≠180°時(shí)，旋轉(zhuǎn)變換沒(méi)有不變直線：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.

（二）中學(xué)幾何課程對(duì)于旋轉(zhuǎn)變換的基本要求

旋轉(zhuǎn)變換是國(guó)外數(shù)學(xué)課程不可缺少的一部分.日本的《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求學(xué)生理解旋轉(zhuǎn)變換并探究旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)圖形的聯(lián)系.美國(guó)的《統(tǒng)一核心州課程標(biāo)準(zhǔn)》中旋轉(zhuǎn)變換同樣存在.他們通過(guò)幻燈片的演示幫助學(xué)生更直觀地了解旋轉(zhuǎn)，最后通過(guò)實(shí)驗(yàn)的方式展現(xiàn)旋轉(zhuǎn)變換的相關(guān)性質(zhì).

國(guó)內(nèi)的《初中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》中，開(kāi)始明確提出單獨(dú)列圖形的旋轉(zhuǎn)為一個(gè)獨(dú)立的章節(jié)，要求學(xué)生通過(guò)具體實(shí)例認(rèn)識(shí)平面圖形關(guān)于旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn).旋轉(zhuǎn)出現(xiàn)在人教版九年級(jí)上冊(cè)的第二十三章，通過(guò)直觀的圖形的旋轉(zhuǎn)讓學(xué)生認(rèn)識(shí)旋轉(zhuǎn)變換，并對(duì)它進(jìn)行了具體的描述，同時(shí)由教師帶領(lǐng)學(xué)生一起發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

（三）變換思想與學(xué)生思維

初中生特征：思維比較敏銳、不完善、易受影響.他們正處于發(fā)展階段，他們自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和思維水平尚未完善，如若教師在這個(gè)時(shí)候?qū)λ麄冞M(jìn)行正確的引導(dǎo)，能為學(xué)生后續(xù)的幾何學(xué)習(xí)提供很大的幫助.

因?yàn)槌踔猩季S的發(fā)展特征，以及學(xué)習(xí)旋轉(zhuǎn)變換需要的空間想象能力，使得學(xué)生在一開(kāi)始接觸這部分內(nèi)容時(shí)將受到阻礙，所以作者認(rèn)為在中學(xué)幾何教學(xué)中結(jié)合教材內(nèi)容，逐步向?qū)W生介紹幾何變換的觀點(diǎn)和方法，是必要的、可行的.它有利于培養(yǎng)學(xué)生對(duì)幾何學(xué)習(xí)的興趣和愛(ài)好，拓展思路，提高學(xué)生的分析和解題能力，它還在現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論中發(fā)揮著巨大的作用.

二、旋轉(zhuǎn)變換思想在初中幾何問(wèn)題中的應(yīng)用

旋轉(zhuǎn)變換就是以運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)去看待兩個(gè)幾何圖形，即在變換下，一個(gè)圖形變?yōu)榱硪粋€(gè)圖形，這種觀點(diǎn)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中很普及且重要的觀點(diǎn)，與傳統(tǒng)的靜止觀點(diǎn)相比較，有本質(zhì)的區(qū)別.將這種觀點(diǎn)運(yùn)用到解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中，很多問(wèn)題就有可能迎刃而解.

掌握旋轉(zhuǎn)變換的思想，可以幫助我們從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)制訂解題方案.既可以提供思考途徑，也可以提供解題手段.運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換思想，比較容易發(fā)現(xiàn)題設(shè)與結(jié)論之間的聯(lián)系，想出如何對(duì)圖形施行變位、變形的策略.通過(guò)規(guī)律性的認(rèn)識(shí)，有目的地添畫(huà)輔助線，更有助于揭示解題途徑.

運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換進(jìn)行解題的一般步驟，可概括為：

1.仔細(xì)讀題，分析條件和問(wèn)題；

2.認(rèn)真觀察圖形；

3.用旋轉(zhuǎn)變換思想來(lái)考慮解題思路；

4.靈活運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)解題.

例如圖所示，△ABD，△AEC都是等邊三角形.求證BE=DC.

分析首先讀題，由△ABD，△AEC都是等邊三角形可知，這里涉及等邊三角形的相關(guān)性質(zhì).緊接著我們由對(duì)旋轉(zhuǎn)變換的敏感性發(fā)現(xiàn)△ABE有可能是△ADC旋轉(zhuǎn)后的圖形，由此我們可以嘗試證明△ABE和△ADC全等.如若證出全等，則證出BE=DC.證明過(guò)程如下：因?yàn)椤鰽BD，△AEC都是等邊三角形，所以AD=AB，AC=AE.又因?yàn)椤螪AB=∠CAE，而∠BAC是公共角，所以∠DAC=∠BAE.綜合上述兩個(gè)結(jié)論，可以得出△ADC≌△ABE，所以BE=DC（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等），證畢.

總結(jié)運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換思想解題，能夠幫助學(xué)生理清解題思路，使用簡(jiǎn)捷的方法解決幾何類型題目中的問(wèn)題.學(xué)習(xí)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)和意義，不僅能幫助我們更有效地解決初中幾何問(wèn)題，而且在思考其他的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)也可以發(fā)揮作用.

【參考文獻(xiàn)】

[1]鄧鵬，康紀(jì)權(quán)，孫海.初等幾何研究[M].北京：高等教育出版社，2012.

[2]宋芝業(yè)，紀(jì)志剛.《幾何原本》與中國(guó)現(xiàn)代初等幾何學(xué)科的興起[J].自然辯證法通訊，2017（2）：17-21.