圖形直觀運用于解決問題策略教學(xué)初探

佟學(xué)唬

（常州市新北區(qū)三井實驗小學(xué)，江蘇常州 213001）

孔凡哲教授認為，在小學(xué)階段，實物直觀、簡約符號直觀、圖形直觀、替代物直觀作為幾何直觀具體表現(xiàn)的四種形式。在解決問題策略專項教學(xué)中，圖形直觀發(fā)揮著重要作用。圖形直觀是以明確的幾何圖形為載體的幾何直觀，用直觀圖描述問題，本文通過策略教學(xué)中圖形直觀應(yīng)用的呈現(xiàn)形式為切入點進行描述分析，體現(xiàn)圖形直觀在教學(xué)中的價值作用。

1 解決問題策略教學(xué)中圖形直觀應(yīng)用呈現(xiàn)形式

1.1 巧用線段圖，感受圖形直觀描述分析問題價值

發(fā)展學(xué)生的幾何直觀是數(shù)學(xué)課程標準提出的重要課程目標之一。學(xué)生可以借助圖形直觀理解數(shù)學(xué)，把復(fù)雜數(shù)學(xué)問題簡明、形象呈現(xiàn)，探尋解決問題的思路和方法。線段圖是利用圖形直觀描述分析問題的最直接方式，形象生動的聯(lián)系條件與問題，從而直觀分析數(shù)量關(guān)系達到實際問題解決的效度。

小寧和小春共有72 枚郵票，小春比小寧多12 枚。兩人各有郵票多少枚？

圖1

學(xué)生根據(jù)題意把線段圖填寫完整，畫圖表示題中的條件和問題，再畫出表示小寧和小春郵票枚數(shù)的線段。分析數(shù)量關(guān)系時得出一種方法是兩人郵票的總數(shù)減去12 枚，等于小寧郵票枚數(shù)的2 倍，先算出小寧有多少枚？另一種方法是兩人郵票的總數(shù)加上12 枚，等于小春郵票枚數(shù)的2 倍，先算出小春有多少枚？教師引導(dǎo)學(xué)生比較兩種解法的相同點和不同點，認識到兩種不同的解題思路，本質(zhì)上都要先設(shè)法使兩人郵票數(shù)量同樣多。學(xué)生體會到畫線段圖能使數(shù)量關(guān)系更直觀、更清楚，根據(jù)分析數(shù)量關(guān)系，容易找出解題思路。

1.2 基于直線圖，依托圖形直觀列舉解決實際問題

學(xué)生經(jīng)歷運用圖形直觀列舉解決實際問題的過程，感受列舉策略的特點和價值，從而增強分析問題的條理性和嚴密性。教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生寫好量的名稱，然后逐一連線表示出列舉情況，利用圖形直觀列舉時確保思考過程的有序性，列舉的結(jié)果做到不重復(fù)、不遺漏。

南山中心小學(xué)舉行小學(xué)生足球賽，有4 支球隊參加，分別是紅隊、黃隊、綠隊和藍隊。如果每兩支球隊比賽一場，一共要比賽多少場？

首先理解“每兩支球隊比賽一場”的意思是兩支球隊之間只進行一場比賽，也就是說每支球隊要分別與其他3 支球隊賽一場。教材安排兩種方法一是列舉出各場比賽，比如紅—黃、紅—綠、紅—藍、黃—綠、黃—藍、綠—藍，另一種方法是通過畫圖列舉：

圖2

教師提示學(xué)生通過畫圖進行思考需要先畫4個點表示4 支球隊，再用每兩點之間的連線表示球隊之間所進行的比賽，連線有幾條，就有幾場比賽，直線圖列舉能更為直觀清晰。

1.3 擅用示意圖，根據(jù)圖形直觀感悟直觀思想方法

學(xué)生在運用畫示意圖策略解決問題過程中，感受借助圖形直觀分析數(shù)量關(guān)系，確定解題思路的方法，逐步培養(yǎng)學(xué)生運用畫圖策略的意識。借助畫圖策略解決問題，需要根據(jù)實際問題的特點，選擇恰當示意圖清楚準確的揭示條件和問題的聯(lián)系，便于分析數(shù)量關(guān)系，確定解題思路。

梅山小學(xué)有一塊長方形花圃，長8m。在修建花園時，花園的長增加了3m，這樣面積就增加了18m2。原來花圃的面積是多少平方米？根據(jù)題中的條件和問題，要求學(xué)生想到“花圃的長增加了3m”的含義，同時要求原來花圃的面積，先要算出它的寬的思路。學(xué)生用圖示表示原來的花圃，表示條件和問題，兩條長邊都要增加3m，寬不變。再畫出增加的18m2，同時把所求問題在圖中標出來。

圖3

根據(jù)示意圖分析數(shù)量關(guān)系，要求原來花圃的面積，要先算它的寬是多少米？原來花圃的寬，就是增加的小長方形的長，增加的面積是18m2，寬3m，可以求出它的長，最后用長乘寬等于面積。

1.4 創(chuàng)用個性圖，依據(jù)圖形直觀提升假設(shè)應(yīng)用能力

學(xué)生在解決問題過程中可以依據(jù)題意采用假設(shè)策略，分析實際問題的數(shù)量關(guān)系，積累解決問題的經(jīng)驗，學(xué)生根據(jù)實際問題的條件和問題，提出合理的假設(shè)，達到化繁為簡的目標，初步形成解決問題的策略意識，從而將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題。

小明把720mL 果汁倒入6個小杯和1個大杯，正好都倒?jié)M。已知小杯的容量是大杯的小杯和大杯的容量各是多少毫升？

圖4

理解題中的數(shù)量關(guān)系是6個小杯的容量+1個大杯的容量=720mL，小杯的容量是大杯的大杯的容量就是小杯的3 倍。教師引導(dǎo)學(xué)生理解假設(shè)把720mL果汁全部倒入小杯，明確1個大杯可以看作3個小杯，所以720mL 果汁正好可以倒?jié)M9個小杯。求出1個小杯的容量后，再求出1個大杯的容量。

2 圖形直觀運用于解決問題策略教學(xué)的價值體現(xiàn)

2.1 運用圖形直觀，明朗梳理數(shù)量關(guān)系

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中解決實際問題策略教學(xué)是學(xué)習(xí)的重點又是學(xué)習(xí)的難點，其中分析數(shù)量關(guān)系在整體教學(xué)過程中處于關(guān)鍵地位，教師可以運用圖形直觀幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)量關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生用直觀圖形和符號把數(shù)學(xué)問題的數(shù)量關(guān)系表述出來，從而清晰化、可視化、直觀化解決教學(xué)關(guān)鍵問題，充分體現(xiàn)圖形直觀價值。

如在教學(xué)蘇教版《數(shù)學(xué)》三年級上冊“解決問題的策略”（從條件想起）這一內(nèi)容時，教材精心安排了“學(xué)生折花”這一問題情境：“綠花有12 朵，黃花的朵數(shù)是綠花的2 倍，紅花比黃花多7 朵。紅花有多少朵？”教材按照“理解題意-圖形直觀描述-厘清數(shù)量關(guān)系-靈活算法解答-回顧反思”的板塊流程能夠較為準確清晰的幫助學(xué)生了清解題思路，教學(xué)中發(fā)現(xiàn)個別學(xué)生的思考過程往往代替大多數(shù)同學(xué)對數(shù)量關(guān)系的理解，不能清楚理解題意背后所隱藏的數(shù)量關(guān)系，所以教學(xué)中為讓學(xué)生更好把握數(shù)量關(guān)系，筆者在運用圖形直觀理解題意是指出 “能用你喜歡的方式把題中的條件和問題表示清楚嗎？”學(xué)生把自己能夠想到的思路過程方法表示出來：

表1 表格圖

表5 方格圖

圖6 線段圖

在給學(xué)生充足的時間后，引導(dǎo)學(xué)生對比呈現(xiàn)資源后發(fā)現(xiàn)線段圖是呈現(xiàn)題意理解最清楚、最直觀的方式，當學(xué)生全程經(jīng)歷圖形直觀表征過程后，重點條件的理解和數(shù)量關(guān)系的理解更為清晰，借此可以列式解決問題，同時便于學(xué)生回顧解決問題思路，整體理解數(shù)量關(guān)系。

學(xué)生根據(jù)題意可以用自己喜歡的方法把題中的條件和問題進行整理，分析后再利用數(shù)量關(guān)系可以根據(jù)前兩個條件，先求出黃花有多少朵？求出黃花的朵數(shù)后，就能求出紅花的朵數(shù)。教師引導(dǎo)學(xué)生把自己的想法勇敢的呈現(xiàn)出來，對比后發(fā)現(xiàn)用線段圖的方法能夠?qū)㈩}中的數(shù)量關(guān)系表示得更清楚。

2.2 運用圖形直觀，明晰建構(gòu)數(shù)學(xué)模型

模型思想是 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》中明確提出的十大“核心詞”之一，主要是指從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。

如在教學(xué)蘇教版《數(shù)學(xué)》五年級下冊“用轉(zhuǎn)化的策略解決問題”這一內(nèi)容時，教材呈現(xiàn)計算時，觀察后發(fā)現(xiàn)4個分數(shù)連加，每個加數(shù)的分子都是 1，分母是有規(guī)律排列的，依次是 2，2 ×2，2 ×2 ×2，2 ×2 ×2 ×2。學(xué)生掌握規(guī)律后進行解題思考后呈現(xiàn)多種方法，教師收集資源后對比：

（1）按順序計算：

（2）通分計算：

（3）轉(zhuǎn)化計算：

教師引導(dǎo)學(xué)生把正方形看作單位“1”，把算式中的加數(shù)填入圖7。

空白部分占大正方形的幾分之幾？把算式和圖形聯(lián)系起來思考，由于空白部分是大正方形的涂色部分是大正方形的（1-），原來的算式可以轉(zhuǎn)化為1-回顧解決問題的過程，我們遇到較為復(fù)雜的計算時，先要認真分析算式的特點，讓學(xué)生把復(fù)雜的算式可以轉(zhuǎn)化成簡單的算式，更能提示學(xué)生畫圖可以找出轉(zhuǎn)化的方法，認識到畫圖是實現(xiàn)轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。

圖7

2.3 運用圖形直觀，鮮明增強符號意識

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》中明確提出符號意識是指能夠理解并且運用符號表示數(shù)，數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；知道使用符號可以進行運算和推理，得到的結(jié)論具有一般性。建立符號意識有助于學(xué)生理解符號的使用是數(shù)學(xué)表達和進行數(shù)學(xué)思考的重要形式。

如在教學(xué)蘇教版《數(shù)學(xué)》五年級上冊第96 頁“練一練”，小強、小華和小麗是好朋友。如果他們每兩人之間通一次電話，一共要通多少次電話？如果他們互相寄一張節(jié)日賀卡，一共要寄多少張賀卡？學(xué)生基于以往的經(jīng)驗運用符號意識中的符號對題意進行列舉，呈現(xiàn)的內(nèi)容過程展現(xiàn)出來：

（1）文字法：

小強-小華 小強-小麗 小華-小麗

（2）字母法：

把小強看作A，小華看作B，小麗看作C。

A-B A-C B-C

（3）圖形法：

把小強看作○，小華看作△，小麗看作□。

○-△ ○-□ △-□

3 結(jié)語

通過方法呈現(xiàn)比較后不難發(fā)現(xiàn)文字法、字母法、圖形法依次遞進后，用圖形法來表示多個量之間的關(guān)系既能清楚地表達出題目中的數(shù)量關(guān)系，又能簡潔的表示出對題意的理解，因此說明解決問題時運用符號意識來思考，能夠提高解題速度，提升學(xué)生的思維能力。