基于“教學環(huán)”理念的高三專題復習課教學例說

盧瑞庚　于成寬

近年來，“以問題為導向，能力立意，聚焦核心素養(yǎng)”已經(jīng)成為高考各科目備考的基本思路，數(shù)學學科也不例外.高中數(shù)學學科核心素養(yǎng)主要包括邏輯推理、直觀想象、數(shù)學抽象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學建模六個方面，其中的邏輯推理、數(shù)學抽象集中體現(xiàn)了數(shù)學思維的嚴謹性.導數(shù)題是培養(yǎng)數(shù)學抽象和邏輯推理的最好題型，一直是近年高考的壓軸題，今年高考也不例外.雖然各校每一屆高三數(shù)學老師都很重視針對該題型進行解題策略講解，然而考生在解題時仍然不得其法，能夠突破導數(shù)壓軸題的仍屬鳳毛麟角.我們嘗試運用構(gòu)造思想，以“構(gòu)造思想在高考導數(shù)壓軸題中的應用”為題，基于“教學環(huán)”理念展開導數(shù)壓軸題專題復習，最終成功突破了這一教學難關(guān)，幫助學生在近年高考中取得了較好的成績.

一、基于學情和考情，確定專題復習課教學目標和教學重難點

高三總復習的指導思想是高考考什么就復習什么、高考怎么考就怎么復習.高三專題復習屬于高考總復習中的第二輪復習，應以問題為導向，重點研究學生在第一輪復習中尚未解決的問題，分析問題本質(zhì)，針對學生的薄弱點尋找精準突破的策略方法，進而有效提高學生的學科素養(yǎng)和應試能力.為了確保因材施教、精準突破，高三教師必須站在整個學科素養(yǎng)的高度，認真研究不同類型高考真題的命題規(guī)律及答題規(guī)范，進而厘清各個考點的復習方法，指導學生科學、高效備考.

鑒于導數(shù)題是多數(shù)學生的“心頭之患”，教師對導數(shù)題命題規(guī)律的研究必須予以高度重視.近年來，我們認真研究高考導數(shù)壓軸題的命題、答題規(guī)律，從中抽象概括出知識點考查的本質(zhì)，并瞄準該題型中所蘊含的邏輯推理能力和抽象概括能力，努力尋求突破策略，有效提高學生的解題能力和學科素養(yǎng).我們在研究中發(fā)現(xiàn)，構(gòu)造思想可以成為解決導數(shù)壓軸題的重要思路，于是為本課復習課擬定了如下教學目標：1.引導學生從近三年高考課標卷導數(shù)題中提煉該題型的命題規(guī)律，認清該題型所考查的問題及其本質(zhì)，把握各種類型導數(shù)題解題的關(guān)鍵；2.與學生共同探究構(gòu)造方程、構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造不等式的技巧，體驗構(gòu)造之樂；3.滲透邏輯推理能力的培養(yǎng)，精心培育學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng).本課重難點是從高考題中分析歸納構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造方程、構(gòu)造不等式的方法，突破導數(shù)題解題的關(guān)鍵步驟，即構(gòu)造方法的應用，精準提升學生解決該題必備的關(guān)鍵能力.

二、專題復習課之學生課前預習的教師導讀策略

在高三復習課中，課前預習的主要任務是讓學生通過認真解答高考真題，特別是高考近三年的真題，嘗試將高考真題按照題型進行分類，歸納各類題型的考點，從中洞察命題規(guī)律，抽象出各類題型的重、難考點，掌握解決各類題型的關(guān)鍵點.專題復習課基于高考重、難考點而設，以專題方式尋求重、難考點的精準突破策略.專題復習課中的學生課前預習，教師的導讀提綱仍然是以問題的方式呈現(xiàn)，問題中暗含著教師對高考相關(guān)題型的精確研究和對學生學習過程的巧妙引導.需要說明的是，教師對高考真題的研究必須到位，教師對真題的研究到位則問題提煉到位；問題提煉到位，則導讀恰切，學生的總結(jié)歸納中就能出現(xiàn)教師期待中的繽紛亮點.在本課中，我們設計了如下導讀任務.

問題1：閱讀2015—2017年高考真題（見圖1），你體會到了高考在導數(shù)題中函數(shù)的類型有何特點？請總結(jié)導數(shù)題重點考查的問題是什么、考查的本質(zhì)是什么、命題方向是什么.

[1.【2015年課標II卷·理】設函數(shù)[f（x）=emx+x2-mx].

（Ⅰ）證明：[f（x）]在[（-∞，0）]單調(diào)遞減，在[（0，+∞）]單調(diào)遞增；

（Ⅱ）若對于任意[x1]，[x2∈][-1，1]，都有[f（x）1-f（x）2≤e-1]，求[m]的取值范圍.

2.【2016年課標II卷·理】

（Ⅰ）討論函數(shù)[f（x）=x-2x+2ex]的單調(diào)性，并證明當[x>0]時，[（x-2）ex+x+2>0]；

（Ⅱ）證明：當[a∈][0，1）時，函數(shù)[g（x）=ex-ax-ax2（x>0）]有最小值.設[g（x）]的最小值為[h（a）]，求函數(shù)[h（a）]的值域.

3.【2016年課標I卷·理】已知函數(shù)[f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2]有兩個零點.

（Ⅰ）求[a]的取值范圍；

（Ⅱ）設[x1]，[x2]是[f（x）]的兩個零點，證明：[x1+x2<2].

4.【2017課標I卷·理】已知函數(shù)[f（x）=ae2x+（a-2）ex-x].

（1）討論[f（x）]的單調(diào)性；

（2）若[f（x）]有兩個零點，求[a]的取值范圍.

5.【2017課標II卷·理】已知函數(shù)[f（x）=ax2-ax-xlnx]，且[f（x）0].

（1）求[a]；

（2）證明：[f（x）]存在唯一的極大值點[x0]，且[e-2

6.【2017課標Ⅲ卷·理】已知函數(shù)[f（x）=x-1-alnx].

（1）若[f（x）0]，求[a]的值；

（2）設[m]為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)[n]，[（1+12）（1+122）…（1+12n）<][m]，求[m]的最小值.

]

圖1

問題2：導數(shù)本質(zhì)是什么？導數(shù)綜合題的解題思路與方法是什么？

問題3：解決這些高考題時有什么共性的思路？

以上三個問題，旨在引導學生對導數(shù)知識和方法進行更為深入的分析、研究，使之站在構(gòu)造思想的高度重新認識和理解函數(shù)與導數(shù)，把握學科知識本質(zhì)，體悟考試規(guī)律.

“問題1”讓學生從真題中“品味”高考，總結(jié)如下規(guī)律.比如引導學生觀察發(fā)現(xiàn)：導數(shù)題中，函數(shù)的載體一般是含[ex]、[lnx]的復合函數(shù)的綜合問題.問題考查方式：利用或分析函數(shù)及其導數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)，并在此基礎(chǔ)上通過列方程、列不等式，經(jīng)運算、推理解決有關(guān)問題.考查本質(zhì)：用兩個簡單函數(shù)構(gòu)造含參數(shù)的一類凹凸函數(shù)，選擇恰當?shù)膮?shù)值，提出并解決與這一類函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)的問題.命題方向：導數(shù)題第一問，通常是曲線切線方程、極值點或最值、單調(diào)性等問題；第二問與不等式相聯(lián)系，考查不等式恒成立、證明不等式或零點等問題，主要考查導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性，或方程、不等式的綜合應用.通過研究以上規(guī)律可知，運用導數(shù)的方法研究不等式和方程的關(guān)鍵，在于構(gòu)造函數(shù)、方程和不等式.

“問題2”要求學生站在學科素養(yǎng)高度概括和理解導數(shù)的本質(zhì).導數(shù)是對事物變化快慢的一種刻畫，是研究客觀事物的變化率，研究函數(shù)性質(zhì)（如單調(diào)性、極值、最值等）以及最優(yōu)化問題的強勁工具.導數(shù)的幾何意義是函數(shù)在某點處的切線斜率.解決函數(shù)與導數(shù)綜合題的解題思路與方法包括：分析問題并確定是什么問題（曲線的切線、單調(diào)性、極值、最值、恒成立問題、不等式證明問題、零點問題或其他），分析解決此類問題的一般方法及步驟是什么（如恒成立問題一般用分離參數(shù)、構(gòu)造新函數(shù)，再轉(zhuǎn)化為求最值問題），構(gòu)造新函數(shù)（確定研究哪個函數(shù)，可能是構(gòu)造局部函數(shù)，也可能適當變形后再構(gòu)造），研究函數(shù)性質(zhì)（函數(shù)的單調(diào)性，極值是核心，由性質(zhì)畫出函數(shù)草圖），用代數(shù)推理來解決問題（由圖想數(shù)，用數(shù)說理）.注意：導數(shù)題不能用圖形代替說理的過程（此處無圖勝有圖）.在以上過程中，構(gòu)造新函數(shù)最為關(guān)鍵，要以方便求出單調(diào)性、極值為原則.

“問題3”是需要教師與學生一起思考和解決的本課重點問題，即“構(gòu)造思想”問題.

三、在學生課堂學習過程中，教師應強化導學意識，加強導法、學法研究，善于引導學生發(fā)現(xiàn)適合自己的解題思路和方法，體現(xiàn)解題方法的多樣性

在高三總復習階段，有些教師習慣用大量時間從頭到尾講參考書上的復習題，讓學生深陷題海而不能自拔，教師成為標準答案的搬運工.毫不夸張地說，這些教師是在用師生共同的簡單重復勞動來彌補其自身課堂教學的缺陷，用表面的“辛苦搬運”來掩蓋其思想上的懶惰.其實在復習備考階段，課堂教學的重點應是對學生加強解題方法指導，即歸納高考考查的考點，找出各考點的對應題型，研究高考真題情境下的解題思路和方法，引導學生學會自主總結(jié)解題經(jīng)驗，并通過變式訓練鞏固自己熟練的解題策略.在“教學環(huán)”理念所構(gòu)建的復習課教學模式中，我們的課堂教學環(huán)節(jié)通常包括知識回顧、例題講解、變式練習、歸納總結(jié)、布置作業(yè)5個教學環(huán)節(jié).在本課中，為了讓學生學會熟練地運用構(gòu)造思想解決導數(shù)問題，我們在課前用任務導讀的方式引導學生自行回顧了相關(guān)知識，課堂教學的重點便放到了引導學生自主尋找解題策略上，旨在讓學生逐漸掌握構(gòu)造思想在解題過程中的幾種常見思路.

[例題講解]

針對2017年高考課標II卷·理的第一問（見圖1），教師與學生展開了如下對話.

師：由[f（x）≥0]，可直接轉(zhuǎn)化為求[f]（[x]）的最小值嗎？

生1：不行，應注意到函數(shù)[f]（[x]）的定義域為（[0，+∞]），構(gòu)造新函數(shù)[g（x）][=ax-a-lnx]，則[f（x）]=[xg（x）]，[f（x）][0]等價于[g（x）][0].因為g（[1]）[=0]，[g]（[x]）[0]，須[g′]（[1]）[=0]，而[g′]（[x]）[=a-1x]，[g′]（1）[=a-1]，得[a=1].若[a=1]，則[g′]（[x]）[=1-1x].當[01]時，[g′]（[x]）[>0]，[g（x）]單調(diào)遞增.所以[x=1]是[g′]（[x]）的極小值點，故[g（x）][≥g]（1）[=0].綜上，[a=1].

師：很好！你構(gòu)造函數(shù)的方法是，先對原不等式進行變形，然后再構(gòu)造.

生2：我注意到[f]（[x]）[≥0]，有[ax2-ax≥xlnx]，又[x>0]，所以[a（x-1）≥lnx]在（[0，][+∞]）上恒成立.分別構(gòu)造兩個新函數(shù)[g（x）=a（x-1），h（x）=lnx]，則函數(shù)[y=g（x）]在（[0，][+∞]）上的圖象永遠在函數(shù)[y=h（x）]的圖象的上方.由于函數(shù)[y=g（x）]與[y=h（x）]的圖象有公共點（1，0），所以滿足條件的圖象臨界狀態(tài)為[y=h（x）]在（1，0）處的切線.[h′（x）=1x，h′（1）=1]，故[a=1].若[a=1]，則[g′]（[x]）=1-[1x].當[01]時，[g′]（[x]）[>0]，[g]（[x]）單調(diào)遞增.所以[x=1]是[g（x）]的極小值點，故[g（x）][≥][g]（[1]）=0.綜上，[a=1].

師：很好！變形后構(gòu)造兩個新函數(shù)，觀察兩個新函數(shù)的圖象的關(guān)系進行求解.

生3：我想到分離參數(shù)[a].由[a（x-1）≥lnx]，可得[a≥][lnxx-1（x>1）]或[a≤lnxx-1（0

師：非常好！通過觀察原函數(shù)，對原函數(shù)變形后構(gòu)造函數(shù)，分參后構(gòu)造函數(shù)是常用思路和方法.

在上述師生對話中，學生體驗到了構(gòu)造函數(shù)的基本方法，推理過程體現(xiàn)了構(gòu)造方程和不等式及其相互轉(zhuǎn)化的巧妙.為了讓學生熟練掌握和運用構(gòu)造思想來解決導數(shù)問題，接下來教師引導學生思考2017年課標Ⅲ卷第二問（見圖1）的解題思路.

生4：由第一問，取[a=1]，構(gòu)造不等式[lnxx-1]，進而有[ln（1+12n）12n].

生5：由已知，我注意到不等式[（1+12） （1+122） …][（1+12n）

以學生為主體，讓學生的思維在師生之間、生生之間的交互中得到碰撞、提升，學生們的“構(gòu)造”能力越來越強，學科素養(yǎng)的提升顯而易見.

【變式練習】

當學生初步體驗了構(gòu)造思想是導數(shù)問題解題的關(guān)鍵以后，教師應及時引導學生進行變式練習，一來鞏固所學知識與技能，二來達到深化理解，將新的理解納入原有認知結(jié)構(gòu)的目的.于是教師出示了下面的問題（如圖2），讓學生思考其中的第二問，想想如何構(gòu)造函數(shù)可以使問題得到解決.

[變式練習：已知函數(shù)[f（x）=ex-ln（x+m）].

（1）設[x=0]是[f（x）]的極值點，求[m]，并討論[f（x）]的單調(diào)性；

（2）當[m≤2]時，證明[f（x）>0].

]

圖2

學生簡單思考后，開始舉手作答.

生6：直接利用原函數(shù)[f（x）=ex-ln（x+m）]，求導[f ′（x）=ex-1x+m]，將問題轉(zhuǎn)化為證明[f（x）=ex-ln（x+m）]的最小值大于0的問題.

師：應該可以，這個思路自然、直接，不過我想，過程可能會比較繁瑣，因為含有參數(shù)[m]，要討論.

生7：受到例題的啟發(fā)，我想對原函數(shù)移項，[f（x）=][ex-ln（x+m）>0?ex>ln（x+m）]，分別令[y=ex]和[y=][ln（x+m）].

師：注意觀察兩個函數(shù)[y=ex]和[y=ln（x+m）]在[（-m，][+∞）]上無最值，解題思路受阻.

生8：對，構(gòu)造函數(shù)應使其有最值才行.因為我們研究過函數(shù)[y=ex-x]，所以我想到構(gòu)造[f（x）=ex-ln（x+][m）>0?ex-x>ln（x+m）-x]，分別令[g（x）=ex-x]和[h（x）=][ln（x+m）-x].即證明[（ex-x）min>（ln（x+m）-x）max].由于[g′（x）=ex-1]，當[x<0]時，[g′（x）<0]，[g（x）]單調(diào)遞減；當[x>0]時，[g′（x）>0]，[g（x）]單調(diào)遞增，所以[gmin（x）=g（0）=1].又[h′（x）=1x+m-1]，當[x∈（-m，1-m）]時，[h′（x）>0]，[h（x）]單調(diào)遞增；當[x∈（1-m，+∞）]時，[h′（x）<0]，[h（x）]單調(diào)遞減.所以[hmax（x）=h（1-m）=m-1].因為[m≤2]，故[g（x）≥][1≥m-1≥h（x）]，等號不能同時成立，問題得證.

師：對原函數(shù)重組后再構(gòu)造兩個新函數(shù)，非常好！

生9：受以上同學啟發(fā)，再聯(lián)想到常用的不等式[ex≥][x+1].先設[g（x）=ex-x-1]，[g′（x）=ex-1].當[x<0]時，[g′（x）<0]，[g（x）]單調(diào)遞減；當[x>0]時，[g′（x）>0]，[g（x）]單調(diào)遞增.所以[gmin（x）=g（0）=0，][ex≥x+1，]從而有[x≥][ln（x+1）].故[ex-ln（x+m）≥ex-][ln（x+2）=][（ex-x][-1）][+][[x+1-][ln（x+][2）]>0]，問題得證.

通過一題多解，學生對構(gòu)造思想的理解越來越深、運用越來越嫻熟、方法越來越巧妙，直觀想象和數(shù)學建模的能力都得到了很好的提升.

【歸納總結(jié)】

課堂歸納總結(jié)具有畫龍點睛的作用，它是對本課所學知識、方法進行反思和總結(jié)的過程.學生通過對知識的系統(tǒng)梳理和對思想方法的升華，認知水平得以從感性認識上升到理性思考.專題復習課的歸納總結(jié)主要是總結(jié)高考命題規(guī)律，提升解題的思路和方法，引導學生“學會怎樣解題”.比如本課的歸納小結(jié)，重點是總結(jié)導數(shù)高考題命題的一般規(guī)律，在課堂中學到了哪些解題方法，辨析這些方法是不是通法通則，是如何想出來的，是否還有其他方法，等等.過程略.

【布置作業(yè)】

在“教學環(huán)”理念中，課后練習是個重要的教學環(huán)節(jié)，旨在讓學生通過完成教師布置的精選練習，結(jié)合自身實際，學會怎樣解題.通常情況下，精選練習須遵循如下設計原則：首先，練習要有針對性，通過練習檢測學生是否掌握本課的內(nèi)容與方法；其次，練習要有層次性，既要照顧全體，又要讓學有余力的學生求知欲得到滿足；再次，練習布置要有前瞻性，要為下一節(jié)課的知識產(chǎn)生埋下伏筆，讓學科教學“環(huán)環(huán)相扣”；最后，還可以將課堂教學環(huán)節(jié)中的例題及變式題制作成微課，利用“互聯(lián)網(wǎng)+”，將課堂延伸到課外，讓學生的學習無處不在.鑒于本課內(nèi)容的重要性，我們?yōu)楸菊n設計了如下分量不輕的課后練習.

1.【2015年課標Ⅱ卷·理】設函數(shù)[f′（x）]是奇函數(shù)[f（x）（x∈]R[）]的導函數(shù)，[f（-1）=0]，當[x>0]時，[xf′（x）-][f（x）<0]，則使得[f（x）>0]成立的[x]的取值范圍是（ ）

A. [（-∞，]-[1）][?（0，][1）] B. [（-1，][0）?（1，][+∞）]

C. [（-∞，][-1）?（-1，][0）] D. [（0，][1）?（1，][+∞）]

2.若定義在R上的函數(shù)[f（x）]滿足[f（0）=-1]，其導函數(shù)[f′（x）]滿足[f′（x）>k>1]，則下列結(jié)論中一定錯誤的是（ ）

A. [f1k<1k] B. [f1k>1k-1]

C. [f1k-1<1k-1] D. [f1k-1>kk-1]

3.已知[f（x）]是定義在R上的奇函數(shù)，[f（-1）=-1]，且當[x>0]時，有[xf′（x）>f（x）]，則不等式[f（x）>x]的解集是（ ）

A.[（-1，][0）] B. [（1，][+∞）]

C. [（-1，][0）?（1，][+∞）] ] D. [（-∞，][-1）?（1，][+∞） ]

4.已知函數(shù)[f（x）=lnx+kex]（[k]為常數(shù)；[e]是自然對數(shù)的底數(shù)，[e=2.71828…]），曲線[y=f（x）]在點[（1，f（1））]處的切線與[x]軸平行.

（1）求[k]的值；

（2）求[f（x）]的單調(diào)區(qū)間；

（3）設[g（x）=（x2+x）f′（x）]，其中[f′（x）]為[f（x）]的導函數(shù).證明：對任意[x>0]，[g（x）<1+e-2].

5.已知函數(shù)[f（x）=lnx-a（x-1）x+1]，[a∈R].

（1）若[x=2]是函數(shù)[f（x）]的極值點，求曲線[y=f（x）]在點[（1，f（1））]處的切線方程；

（2）若函數(shù)[f（x）]在[（0，+∞）]上為單調(diào)增函數(shù)，求[a]的取值范圍；

（3）設[m，n]為正實數(shù)，且[m>n]，求證：[m-nlnm-lnn][

練習1—3主要是讓學生體會構(gòu)造思想在小題中的巧妙運用；練習4—5是構(gòu)造思想向不等式證明中遷移運用，用來為下一節(jié)課“利用導數(shù)如何證明不等式問題”埋下伏筆.（題圖為盧瑞庚老師）

（責編 白聰敏）