高中數(shù)學(xué)函數(shù)問題的探究

尹學(xué)明

(浙江省臺州市第一中學(xué) 318000)

一、函數(shù)與方程

函數(shù)和方程具有密切的聯(lián)系，方程的解其實是函數(shù)圖象與x軸的交點.函數(shù)y=f(x)可以當(dāng)做方程f(x)-y=0進(jìn)行分析和探究，在函數(shù)的變化中，有時候需要通過方程來求出滿足條件的一些關(guān)鍵量，這就是方程思想.函數(shù)與方程是貫穿于學(xué)生整個高中階段的，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)量與量之間關(guān)系的分析和探究，并將這些變化反映到解析式、圖象以及列表中，從而讓學(xué)生更容易地進(jìn)行問題的理解和解決.高中方程可以用f(x)=0或f(x)=g(x)的形式表示，f(x)=0的根就是函數(shù)y=f(x)圖象與x軸的交點，f(x)=g(x)的根就是函數(shù)y=f(x)與y=g(x)圖象交點的橫坐標(biāo).

例1 (2016年浙江高考12題)設(shè)函數(shù)f(x)=x3+3x2+1.已知a≠0，且f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2,x∈R，則實數(shù)a=____，b=____．

解析本題主要體現(xiàn)了函數(shù)和方程的思想，在掌握函數(shù)解析式的情況下，將x與a分別代入函數(shù)中，得出f(x)-f(a)=x3+3x2-a3-3a2，然后再為(x-b)(x-a)2化簡即可構(gòu)造出有關(guān)a、b的方程組，從而求解.

二、函數(shù)與不等式

函數(shù)思想在不等式的分析和解答中也具有重要的意義，可以通過不等式的信息進(jìn)行函數(shù)的構(gòu)造，然后用函數(shù)的性質(zhì)和圖象進(jìn)行分析，往往能起到事半功倍的效果.高中的不等式基本上可以用f(x)>0、f(x)<0或是f(x)>g(x)進(jìn)行表示，當(dāng)然也可以在圖象上通過上下位置的關(guān)系進(jìn)行闡述.

當(dāng)4+a,|5-a|>+a},由此可知：

三、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

導(dǎo)函數(shù)是高考的重要內(nèi)容，尤其是一些簡答試題中，常常有導(dǎo)函數(shù)的問題，這就要求學(xué)生要運用函數(shù)思想進(jìn)行導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性、極值的問題分析和解決，同時能夠?qū)⒑瘮?shù)的各種形式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而對有關(guān)導(dǎo)函數(shù)的問題能夠從容應(yīng)對.

例3 (2017浙江高考7題)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y=f(x)的圖象可能是( ).

解析本題主要要求學(xué)生能夠從導(dǎo)函數(shù)的圖象進(jìn)行函數(shù)圖象的判定，由導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)可知，f′(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減，f′(x)>0函數(shù)單調(diào)遞增，由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，原函數(shù)先遞減再遞增，然后在遞減再遞增，由此可以得出答案.

(1)求f(x)的導(dǎo)函數(shù)；

解析本題第一問直接通過函數(shù)求導(dǎo)得出結(jié)果即可，第二問需要運用第一問中的導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)行原函數(shù)極值和單調(diào)性的計算，同時滿足f(x)≥0的條件，則可以確定f(x)的取值范圍.

總之，從近幾年浙江高考的趨勢來看，函數(shù)思想在高考中占有絕對的比例，就拿2017年高考來說，浙江試題中一共有5題，知識點涉及二次函數(shù)、方程、不等式、導(dǎo)函數(shù)、三角函數(shù)、函數(shù)模型等，這就要求教師在教學(xué)的時候，要結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，將函數(shù)思想貫穿在數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，培養(yǎng)學(xué)生運用函數(shù)進(jìn)行具體問題的分析和解決，從而提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的全面發(fā)展.