教小學(xué)生學(xué)習(xí)“中國剩余定理”

張文安

（岷縣梅川學(xué)區(qū) 甘肅 定西 748400）

在小學(xué)生的一些思維拓展訓(xùn)練題中或智力競賽題中，我們經(jīng)常遇到有關(guān)“剩余問題”的題。下面我們就探究一下這類題的解答方法。

一、中國剩余定理的由來

“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何?”按照今天的話來說：一個(gè)數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2，求這個(gè)數(shù)。

這樣的問題，也有人稱為“韓信點(diǎn)兵”。它形成了一類問題。這類問題的有解條件和解的方法被稱為“中國剩余定理”。它是中國古代數(shù)學(xué)家的一項(xiàng)重大創(chuàng)造，在世界數(shù)學(xué)史上具有重要的歷史地位。

二、學(xué)習(xí)兩個(gè)定理

要明白具體解法，首先需要知道以下兩個(gè)定理。

定理1：幾個(gè)數(shù)相加，如果存在一個(gè)加數(shù)，不能被整數(shù)a整除，那么它們的和，就不能被整數(shù)a整除。

定理2：兩數(shù)不能整除，若被除數(shù)擴(kuò)大（或縮?。┝藥妆叮龜?shù)不變，則其商和余數(shù)也同時(shí)擴(kuò)大（或縮小）相同的倍數(shù)。

以上兩個(gè)定理隨便舉個(gè)例子即可證明！

三、用剩余定理研究解答此類問題的具體方法

題目：一個(gè)數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2，求這個(gè)數(shù)

1.求出3、5、7這三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。（說明：以下用中括號(hào)[ ]來表示最小公倍數(shù)。）

[3、5、7]= 105

2.求數(shù)3、5、7這三個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的基礎(chǔ)數(shù)。

（1）要找到除以3余2的基礎(chǔ)數(shù)，就用5和7的最小公倍數(shù)3.

[5、7]=35 35÷3=11…… 2

35正好符合“除以3余2”的條件，所以除以3余2的基礎(chǔ)數(shù)就是35。

四、理解一首詩歌

大家都知道，解這類題時(shí)，有下面一首詩歌。而這首詩歌怎么用呢？我們探究一下。

三人同行七十（70）稀， 五樹梅花二一（21）枝。

七子團(tuán)圓正半月（15）， 除百零五（105）便得知。

這首詩歌的意思是，一個(gè)數(shù)除以3、5、7同余“1”符合條件的數(shù)分別是70、21、15這三個(gè)數(shù)。只要記住這三個(gè)數(shù)，那么有關(guān)“一個(gè)數(shù)除以3、5、7余數(shù)是其他數(shù)”的題很快能求出答案。

例如上面解答的題目：一個(gè)數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2，求這個(gè)數(shù)。

①因?yàn)槌?余1的基礎(chǔ)數(shù)是70，那么除以3余2的基礎(chǔ)數(shù)就是70×2= 140

同理：除以5余3的基礎(chǔ)數(shù)就是21×3=63除以7余2的基礎(chǔ)數(shù)就是：15×2= 30

③可以用如下算式解答：

70×2+21×3+15× 2

=140+63+ 30

= 233

這個(gè)數(shù)=233-105×2=23。

所以說，這首詩歌實(shí)際上是求“一個(gè)數(shù)除以3、5、7有余數(shù)”這類題的一種簡便方法。

五、我們?cè)倥e例解答一個(gè)除數(shù)不是3、5、7的類似問題，你就對(duì)“中國剩余定理”問題就更清楚了

題目：把幾十個(gè)蘋果，7個(gè)7個(gè)的數(shù)余2個(gè)，6個(gè)6個(gè)數(shù)余4個(gè)，4個(gè)4個(gè)數(shù)則余2個(gè).這堆蘋果至少有多少個(gè)？

①求7、6、4的最小公倍數(shù)=84 ②用6、4的最小公倍數(shù)24÷7=3……3（不符合） 24×3）÷7=3×3……3×3（需擴(kuò)大3倍） 2 ÷7= 10……2（達(dá)到符合）③用7、4的最小公倍數(shù)28÷6=4……4（正好符合）④用7、6的最小公倍數(shù)42÷4=10……2（正好符合）⑤求符合條件的三個(gè)基礎(chǔ)數(shù)的和=72+28+42=142 ⑥求這些蘋果至少多少個(gè)？142-84=58（個(gè)）

從以上例子可以看出，要解決“中國剩余定理”這樣的問題，首先是求每個(gè)除數(shù)對(duì)應(yīng)的基礎(chǔ)數(shù)，其次是求三個(gè)基礎(chǔ)數(shù)的和，最后是觀察三個(gè)基礎(chǔ)數(shù)的和是否小于三個(gè)除數(shù)的最小公倍數(shù)。如大于三個(gè)除數(shù)的最小公倍數(shù)，大于幾個(gè)最小公倍數(shù)，就減去幾個(gè)。直至小于為最終結(jié)果。