數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課構(gòu)建知識體系的教學(xué)探析

摘要：數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課既要引導(dǎo)學(xué)生對本章所學(xué)知識內(nèi)容進行梳理回顧，更要幫助學(xué)生對所學(xué)知識之間邏輯關(guān)系的體系進行整體建構(gòu)。以中職“指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)”教學(xué)為例，闡明在復(fù)習(xí)課教學(xué)過程中關(guān)注知識之間的共性、特性以及內(nèi)在邏輯關(guān)系的重要性和必要性，結(jié)合案例探討復(fù)習(xí)課重視知識體系建構(gòu)對關(guān)注學(xué)習(xí)要點、明確學(xué)習(xí)重點、化解學(xué)習(xí)難點、培育學(xué)科核心素養(yǎng)、提升學(xué)習(xí)能力等方面的意義。

關(guān)鍵詞：復(fù)習(xí)課;知識體系建構(gòu);課例研究

中圖分類號：G712 文獻標(biāo)志碼：A 文章編號：1673-9094-（2019）10C-0015-05

復(fù)習(xí)課是一種重要的課型。數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課一方面通過回顧知識內(nèi)容進一步明確學(xué)習(xí)重點、化解學(xué)習(xí)難點，另一方面通過建構(gòu)知識體系厘清概念之間的關(guān)聯(lián)和知識點之間的關(guān)系，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要載體。本文以“冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)”（以下稱“三種基本初等函數(shù)”）章節(jié)內(nèi)容的復(fù)習(xí)為例，闡述在復(fù)習(xí)課進行知識體系建構(gòu)的教學(xué)策略與價值。

一、明確學(xué)習(xí)重點，厘清概念關(guān)系

復(fù)習(xí)課在新授課之后，學(xué)生已經(jīng)學(xué)完了本章節(jié)的基礎(chǔ)知識，但大部分學(xué)生仍停留于“學(xué)了什么知識”“怎樣學(xué)”，對于“如何用”以及舉一反三的能力未較好地形成。因此，章節(jié)復(fù)習(xí)課需要通過復(fù)習(xí)、比較、建構(gòu)等環(huán)節(jié)，幫助學(xué)生弄清過去已知、現(xiàn)在所學(xué)以及未來要學(xué)的知識之間的關(guān)聯(lián)，為以后“怎么學(xué)，怎么用”奠定知識、能力和素養(yǎng)基礎(chǔ)。

（一）同化新知，拓展冪指數(shù)認(rèn)知范圍

中職學(xué)生對冪概念的深入學(xué)習(xí)是基于初中已有知識基礎(chǔ)之上的拓展學(xué)習(xí)，是進一步學(xué)習(xí)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的基石。 “冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)”章節(jié)復(fù)習(xí)課上，學(xué)生已經(jīng)知道了三種基本初等函數(shù)的相關(guān)概念、圖象以及性質(zhì)，并初步掌握了直接運用所學(xué)知識解決部分問題的方法。復(fù)習(xí)還需要挖掘舊知識與新知識之間的關(guān)聯(lián)，比較知識之間的異同，運用所學(xué)特別是知識交匯來解決實際問題。

教學(xué)遵循學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，以學(xué)生已經(jīng)習(xí)得的知識為線索展開，通過比較厘清新舊概念之間的關(guān)系，對知識體系進行建構(gòu)。例如，與初中相比，中職本部分知識內(nèi)容除了“將冪指數(shù)的范圍由正整數(shù)推廣到了實數(shù)”外，只增加了“分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式互化”部分內(nèi)容。在冪指數(shù)范圍的擴充、實數(shù)指數(shù)冪的運算法則內(nèi)容的復(fù)習(xí)中，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到：與初中“冪的運算”內(nèi)容學(xué)習(xí)相比，無論是知識體系還是知識內(nèi)容都是一致的，中職所學(xué)僅有指數(shù)范圍不同，實質(zhì)上是由整數(shù)范圍擴充到了一切實數(shù)范圍，這樣新問題就轉(zhuǎn)化成了舊問題，變得簡單了。

（二）鞏固新知，辨析相關(guān)函數(shù)概念

冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)概念對學(xué)生來說是初中所學(xué)函數(shù)內(nèi)容的拓展，從概念角度辨析它們之間的關(guān)聯(lián)是幫助學(xué)生準(zhǔn)確區(qū)分它們的關(guān)鍵。準(zhǔn)確界定相關(guān)概念需要搞清以下四個方面的問題。

第一個問題是基本初等函數(shù)的分類是什么？高等數(shù)學(xué)將基本初等函數(shù)歸為五類：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù);數(shù)學(xué)分析將基本初等函數(shù)歸為六類：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)、常數(shù)函數(shù)。以上函數(shù)在中職均有涉及，其中容易被混淆的是冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)。

第二個問題是三種基本初等函數(shù)的共性是什么？與初中學(xué)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)定義的方式相同，冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)也是形式定義：形如y=xα（α為有理數(shù)）的函數(shù)叫冪函數(shù);形如y=ax（a>0，且a≠1） 的函數(shù)叫指數(shù)函數(shù);形如y=logax（a>0，且a≠1）的函數(shù)叫對數(shù)函數(shù)。

第三個問題是如何區(qū)分三種基本初等函數(shù)？回答這個問題需要探尋并抓住相關(guān)數(shù)學(xué)概念中的本質(zhì)特征。冪 ab=N中，未知數(shù)在哪個位置就是什么函數(shù)。如y=ax未知數(shù)x在指數(shù)位置，所以是指數(shù)函數(shù);y=xa未知數(shù)x在冪（底數(shù)）位置，為冪函數(shù)。同一個a的指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)是成反函數(shù)關(guān)系，是關(guān)于直線y=x對稱。

最后一個問題是三種基本初等函數(shù)之間的關(guān)聯(lián)是什么？應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生深入分析、比較、歸納，抓住函數(shù)概念的核心要素。進一步明晰三種基本初等函數(shù)之間客觀存在著的兩兩關(guān)聯(lián)關(guān)系。如，指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=logax互為反函數(shù)。

二、化解學(xué)習(xí)難點，建構(gòu)知識體系

“指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)”是基礎(chǔ)模塊部分的學(xué)習(xí)內(nèi)容。《中等職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（征求意見稿）規(guī)定的學(xué)習(xí)內(nèi)容和要求包括：了解有理數(shù)指數(shù)冪和實數(shù)指數(shù)冪的相關(guān)概念、理解實數(shù)指數(shù)冪的運算法則;了解指數(shù)函數(shù)的定義、理解指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì);了解對數(shù)的相關(guān)概念及性質(zhì)、了解對數(shù)的運算法則、了解對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì);初步掌握從實際情境中抽象出指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型解決簡單問題的方法。在實際教學(xué)中，這部分內(nèi)容是學(xué)生進入中職階段再識“函數(shù)概念”后研究的具體函數(shù)，與以前的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)與學(xué)習(xí)經(jīng)驗并不完全相同，這也成為部分學(xué)生的學(xué)習(xí)障礙。教師解決這個問題可以嘗試通過關(guān)注學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和知識要點，幫助學(xué)生通過建構(gòu)知識體系等方式來化解。

（一）關(guān)注學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，嘗試比較學(xué)習(xí)

中職學(xué)生在初中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)與能力普遍欠佳。數(shù)學(xué)中有不少概念是借助于抽象建立并發(fā)展的，概念的獲得要求學(xué)生掌握一類事物的共同本質(zhì)屬性，并能辨別本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性，能列舉出概念的例證和反例。然而，數(shù)學(xué)抽象思維要求給不少中職學(xué)生帶來學(xué)習(xí)困擾，有些學(xué)生甚至排斥學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

比較學(xué)習(xí)是一種常用而有效的學(xué)習(xí)方式。以對比雙方的相似、相近或相對的屬性為切入點探究所學(xué)概念，進而對知識的本質(zhì)屬性進行理解。數(shù)學(xué)教學(xué)中常常通過比較知識之間的關(guān)聯(lián)，并按特點對它們進行歸類，來達成厘清概念、理解原理的教學(xué)目標(biāo)。例如，教師在講解“冪函數(shù)的概念”環(huán)節(jié)時，可以設(shè)置兩個問題引導(dǎo)學(xué)生比較并思考“我們已經(jīng)學(xué)過一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，關(guān)于函數(shù)學(xué)習(xí)，你有哪些學(xué)習(xí)經(jīng)驗”，引導(dǎo)學(xué)生從已有對函數(shù)的定義、圖象的經(jīng)驗出發(fā)，根據(jù)函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)?？梢宰寣W(xué)生思考“比較一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的定義方式，你能給冪函數(shù)下一個定義嗎”，引導(dǎo)學(xué)生通過比較已學(xué)概念定義方式的共同點，來同化新知。

（二）關(guān)注知識要點，解決突出問題

抓住函數(shù)概念的本質(zhì)特征辨析函數(shù)概念。復(fù)習(xí)時需要引導(dǎo)學(xué)生進一步比較初中、中職關(guān)于函數(shù)概念表述的相同和不同之處，能夠接受并逐步習(xí)慣從映射的角度來理解函數(shù)的概念;掌握指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象知曉函數(shù)性質(zhì)，能熟練畫出指數(shù)函數(shù)在底數(shù)a分屬01兩種不同情況下的簡圖并能根據(jù)函數(shù)圖象說出函數(shù)的相關(guān)性質(zhì);知道說函數(shù)性質(zhì)應(yīng)該從哪幾個方面進行表述;明晰指數(shù)式與對數(shù)式之間的關(guān)聯(lián)并能熟練將給定的對數(shù)式與指數(shù)式進行互化;能依據(jù)函數(shù)的定義，準(zhǔn)確寫出它們的定義域和值域。關(guān)于對數(shù)的運算性質(zhì)、對數(shù)恒等式、運算法則等公式要在結(jié)合冪的運算相關(guān)規(guī)律的基礎(chǔ)上來理解，進一步理解對數(shù)式與指數(shù)式之間的關(guān)系。例如，從運算法則的形式上來看，任意實數(shù)指數(shù)冪的運算法則與初中學(xué)過的正整數(shù)指數(shù)冪的運算法則完全一致;從本質(zhì)上來看，是將冪指數(shù)的范圍由整數(shù)推廣到一切實數(shù)之后的舊知拓展學(xué)習(xí)。

（三）建構(gòu)知識體系，化解學(xué)習(xí)難點

通過比較建立起來的知識可以有效幫助學(xué)生化解學(xué)習(xí)過程中遇到的“概念不清”等學(xué)習(xí)問題。

1.實數(shù)指數(shù)冪部分：引導(dǎo)學(xué)生以比較的形式建構(gòu)基于已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗基礎(chǔ)上的實數(shù)指數(shù)冪知識體系。

實數(shù)指數(shù)冪部分的知識要求包括：識記n次方根以及根式的概念及性質(zhì)，辨別奇次方根、偶次方根、n次算術(shù)根之間的區(qū)別，理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪、有理數(shù)指數(shù)冪的定義及運算，掌握實數(shù)指數(shù)冪的綜合運算等。這些內(nèi)容看起來零散，導(dǎo)致學(xué)生不易掌握。教師可以通過建構(gòu)初中、高中關(guān)于冪的相關(guān)概念、運算的異同，比較知識體系，幫助學(xué)生從已掌握的知識內(nèi)容和學(xué)習(xí)經(jīng)驗入手，比較新知與舊知之間的區(qū)別與聯(lián)系，從而引導(dǎo)學(xué)生掌握新概念、新規(guī)律。

2.復(fù)習(xí)小結(jié)部分：引導(dǎo)學(xué)生以比較的形式建構(gòu)三個基本初等函數(shù)之間知識關(guān)系體系。

從三個基本初等函數(shù)本身來看，它們之間客觀存在著不可割裂的內(nèi)在聯(lián)系，從學(xué)習(xí)要求、學(xué)習(xí)方法等方面來看，也存在著很多的共性。學(xué)習(xí)完三個基本初等函數(shù)后對知識內(nèi)容和內(nèi)在邏輯關(guān)系進行比較、梳理十分重要和必要，我們通過建構(gòu)知識體系來比較它們的定義、圖象和性質(zhì)特點，從而進一步厘清它們之間的區(qū)別與聯(lián)系，達成教學(xué)目標(biāo)要求。

三、再識能力方法，發(fā)展核心素養(yǎng)

《中等職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（征求意見稿）中指出：中等職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)課程是中等職業(yè)學(xué)校學(xué)生必修的一門公共基礎(chǔ)課程，承載著落實立德樹人的根本任務(wù)、發(fā)展素質(zhì)教育的功能。中等職業(yè)教育數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是具有中職學(xué)校數(shù)學(xué)課程的基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力、情感態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)。在數(shù)學(xué)章節(jié)復(fù)習(xí)課型建構(gòu)知識體系可以助力學(xué)生對基礎(chǔ)知識、學(xué)習(xí)能力以及學(xué)習(xí)方法的再識，通過解決實際應(yīng)用問題體會數(shù)學(xué)的工具性、數(shù)學(xué)知識多樣性以及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有趣性等特點。

（一）再識學(xué)習(xí)內(nèi)容

在數(shù)學(xué)章節(jié)復(fù)習(xí)課上通過構(gòu)建知識體系可以幫助學(xué)生再識新舊知識之間的關(guān)聯(lián)。對教授過的內(nèi)容進行再識是鞏固所學(xué)的重要認(rèn)知環(huán)節(jié)，也為運用所學(xué)解決問題奠定知識基礎(chǔ)。有效組織實施的關(guān)鍵在于教師要充分發(fā)揮好“導(dǎo)”的作用，引導(dǎo)學(xué)生將一個個知識“點”串成知識“線”，最后形成知識“體”。

例如，教師引導(dǎo)學(xué)生從復(fù)習(xí)正整數(shù)指數(shù)冪相關(guān)內(nèi)容切入，再識指數(shù)從整數(shù)范圍到有理指數(shù)再到實數(shù)范圍的推廣過程、指數(shù)式與對數(shù)式的互化;再識用“描點法”畫指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象、根據(jù)圖象描述函數(shù)的性質(zhì)，感知其變化的規(guī)律，學(xué)生可以嘗試畫一畫知識框圖或思維導(dǎo)圖，在厘清知識要點后，嘗試運用所用所學(xué)建立指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的應(yīng)用模型來解決簡單的實際問題，運用計算器等工具熟練進行指數(shù)和對數(shù)的運算等。

（二）再識學(xué)習(xí)方法

在數(shù)學(xué)章節(jié)復(fù)習(xí)課上通過構(gòu)建知識體系可以幫助學(xué)生總結(jié)提煉適合自己的有效學(xué)習(xí)方法。學(xué)習(xí)方法是學(xué)生經(jīng)過反復(fù)學(xué)習(xí)實踐的過程逐步培養(yǎng)獲得的。掌握學(xué)習(xí)方法的關(guān)鍵在于學(xué)生具備認(rèn)真學(xué)習(xí)的態(tài)度、勇于實踐的精神和勤于建構(gòu)知識體系的習(xí)慣。

例如，教師引導(dǎo)學(xué)生思考冪式 ab=N（a≠0）所涉及的三個量a、b、N，從“知二求一”的角度來看，冪、指、對這三種基本初等函數(shù)復(fù)習(xí)的先后秩序可以自主確定，反推至知識建構(gòu)的次序上，學(xué)生也可以嘗試從a、b、N三個量中擇其一開始復(fù)習(xí)，通過比較不同函數(shù)的概念、性質(zhì)、運用等知識方面的異同來建構(gòu)知識體系，引導(dǎo)學(xué)生獲得選擇適合的學(xué)習(xí)方法給自己帶來的成功體驗。

（三）再識核心素養(yǎng)

在數(shù)學(xué)章節(jié)復(fù)習(xí)課上通過構(gòu)建知識體系同樣可以培育“數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析”等核心素養(yǎng)。這些能力素養(yǎng)都是通過數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)和綜合實踐活動課程實施、在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的，在復(fù)習(xí)課上建構(gòu)知識體系也是一種重要的教學(xué)活動。

例如，如圖2建構(gòu)知識體系的過程關(guān)注了知識點的復(fù)習(xí)和統(tǒng)合，再一次強化了學(xué)生初步具備“數(shù)感、符號、直觀、推理”等能力;又通過運用知識解決問題來提升學(xué)生“應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識”，進一步培養(yǎng)“運算、分析、建?！钡饶芰?。這些能力點都是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵點。

綜上所述，重視章節(jié)復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計與實施，以及學(xué)生參與與實踐是提升數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實效的兩個重要方面。融學(xué)科素養(yǎng)與職業(yè)素養(yǎng)的能力點于復(fù)習(xí)課知識建構(gòu)過程，是讓學(xué)科教學(xué)更好地助力學(xué)生掌握專業(yè)知識的重要途徑。

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責(zé)任編輯：夏英

On the Teaching of Constructing Knowledge System in Mathematics Review Courses： A Case Study

FAN Yumin

（Nanjing Xuanwu Secondary Vocational School， Nanjing 210042， Jiangsu Province）

Abstract： The Mathematics review course should not only guide the students to sort out and review the contents of this chapter， but also help the students to construct the system of logical relationships among the learned knowledge as a whole. Taking the teaching of "Exponential function and logarithmic function" in secondary vocational schools as an example， this paper expounds the importance and necessity of paying attention to the commonness， characteristics and internal logical relationships among knowledge in the course of review teaching， and discusses the importance of knowledge system construction in review teaching in terms of paying attention to learning key points， clarifying learning priorities， resolving learning difficulties， cultivating core quality of disciplines and improving learning abilities.

Key words： review course; knowledge system construction; lesson study

本文系第四期江蘇省職業(yè)教育教學(xué)改革研究重點資助課題“中職數(shù)學(xué)‘四維多元數(shù)字化課程資源開發(fā)與運用的校本研究”（課題編號：ZZZ3）階段性研究成果。

收稿日期：2019-09-10

作者簡介：樊玉敏，南京市玄武中等專業(yè)學(xué)校（江蘇南京，210042）副校長，高級教師，主要研究方向為中職數(shù)學(xué)教學(xué)。