考慮土層剪切模量徑向變化的錨桿受力變形特性分析*

梁冠亭 肖開(kāi)乾 張 兵

(1.武漢市市政建設(shè)集團(tuán)有限公司 武漢 430000; 2.湖北秭興長(zhǎng)江大橋建設(shè)開(kāi)發(fā)有限公司 武漢 430023)

錨桿支護(hù)廣泛應(yīng)用在工程建設(shè)的高邊坡和深基坑開(kāi)挖支護(hù)中。常見(jiàn)的錨桿受力變形計(jì)算分析方法有規(guī)范法、荷載傳遞法[1]、剪切位移法[2]等，其中剪切位移法由于考慮錨桿周邊土的變形，更符合錨桿的實(shí)際工作狀況，在理論上更為精準(zhǔn)嚴(yán)謹(jǐn)。但是，由于其涉及的計(jì)算參數(shù)較多，取值困難，因而未能夠被廣泛推廣。在運(yùn)用剪切位移法進(jìn)行錨桿受力變形分析時(shí)，需應(yīng)用到一個(gè)重要的計(jì)算參數(shù)，即土體剪切模量G，該參數(shù)在同一地層中是基本不變的，但隨著錨桿的壓力注漿施工，漿液對(duì)土體產(chǎn)生一系列的滲入、劈裂和壓密作用[3-5]，將會(huì)導(dǎo)致鉆孔一定徑向范圍內(nèi)土體的力學(xué)性質(zhì)產(chǎn)生改變，土體剪切模量G也會(huì)隨之改變，在靠近鉆孔邊緣出現(xiàn)一定的增長(zhǎng)。

本文基于剪切位移法，考慮剪切模量G沿孔徑徑向呈常數(shù)、線性、指數(shù)、拋物線4種不同的大小分布模式,推導(dǎo)錨桿沿軸向方向的軸力、剪應(yīng)力和位移的解析解,并結(jié)合實(shí)例分析比較其中的變化規(guī)律及演變趨勢(shì)。

1 荷載傳遞方程的建立

建立計(jì)算模型見(jiàn)圖1，錨桿長(zhǎng)度為L(zhǎng)，選取dz錨固微段作為研究對(duì)象，根據(jù)錨桿長(zhǎng)度方向z截面上的軸力P(z)與應(yīng)力、應(yīng)變之間關(guān)系可得

(1)

式中:u(z)為錨桿z方向上的位移；r0為錨桿半徑；Ea為錨固體彈性模量。

圖1 計(jì)算模型簡(jiǎn)圖

由錨固體單元沿軸向方向力的平衡方程得

dP(z)/dz-2πr0τ(z)=0

(2)

式中:τ(z)為錨桿z方向上的剪應(yīng)力。

將式(1)代入式(2)得

d2u(z)/dz2-2τ(z)/r0Ea=0

(3)

為了能夠反映錨桿錨固段周邊土體的軟化特性，界面剪應(yīng)力與剪切位移之間的關(guān)系采用一次跌落模型，其中τf為峰值剪切強(qiáng)度，uf為τf對(duì)應(yīng)的位移，τr為殘余剪切強(qiáng)度，模型表達(dá)式為

(4)

式中:k為界面彈性剪切剛度；η為殘余剪切強(qiáng)度與剪切峰值強(qiáng)度的比例系數(shù)。

2 錨固體彈塑性分析

2.1 彈性階段

當(dāng)錨桿的外荷載P0較小時(shí)，錨固段周邊土體全部處于彈性階段,由剪應(yīng)力和剪切位移之間的關(guān)系可得

(5)

式中:rm為土體變形可以忽略不計(jì)的最大半徑，一般取值為10倍r0;G(r)為土體剪切模量。

由于前述注漿效果對(duì)土體剪切模量產(chǎn)生的影響，剪切模量沿錨桿的徑向分布是不均勻的，令

(6)

式中:ξ為土體剪切模量影響系數(shù)，具體的求解過(guò)程見(jiàn)本文第3節(jié)。

則由式(3)、式(4)和式(5)可得

d2u(z)/dz2-β2u(z)=0

(7)

式(7)為二階常微分方程，其通解為

u(z)=c11eβ z+c12e-β z

(8)

式中:c11，c12為微分方程待定系數(shù)。

根據(jù)錨桿的受力特點(diǎn)，可得其邊界條件為

P|z=0=0,P|z=L=P0

(9)

可得

(10)

(11)

(12)

可得錨固段周邊土體處于彈性階段時(shí)錨桿全長(zhǎng)的剪應(yīng)力τ(z)分布表達(dá)式

(13)

2.2 塑性階段

當(dāng)錨桿繼續(xù)向外拉拔，錨頭的位移增大，靠近錨頭的錨-土剪切界面開(kāi)始出現(xiàn)塑性狀態(tài)，且塑性區(qū)會(huì)隨著拉拔荷載的增大繼續(xù)發(fā)展。錨-土剪切界面分為彈性區(qū)和塑性區(qū)兩部分，見(jiàn)圖2，外荷載由此兩部分可表示為

P0=Pe+Pp

(14)

式中:Pe為彈性區(qū)承擔(dān)的外荷載；Pp為塑性區(qū)承擔(dān)的外荷載。

圖2 錨土界面部分進(jìn)入塑性狀態(tài)

令式(11)中u(Le)=uf，可得Pe的表達(dá)式為

(15)

式中:Le為錨土界面的彈性區(qū)長(zhǎng)度。

又因?yàn)殄^土界面的塑性區(qū)的剪應(yīng)力恒為剪切殘余強(qiáng)度τr，故Pp的計(jì)算式可表示為

Pp=τrπD(L-Le)

(16)

對(duì)式(14)～(16)求解,采用迭代法即可求得Le。

對(duì)于彈性區(qū)求解(即0

莽草酸分子中NBO分析的化學(xué)鍵二級(jí)微擾能數(shù)據(jù)列于表4，非常明顯地C(4)C(5)的反鍵對(duì)分子構(gòu)型有較大的影響，同時(shí)，含有O原子的鍵的二級(jí)微擾能均不少，表明碳碳雙鍵、醇羥基、羧酸官能團(tuán)是整個(gè)分子的核心.

而對(duì)于塑性區(qū)求解(即Le

d2u(z)/dz2-2c1=0

(17)

式中:常系數(shù)c1=2τr/(r0Ea)。

由邊界條件

P|z=L=P0,u|z=Le=uf

(18)

可得塑性區(qū)位移表達(dá)式

u(z)=0.5c1z2+c2z+c3

(19)

至此，錨-土剪切界面進(jìn)入彈塑性階段后的位移u(z)表達(dá)式推導(dǎo)完畢，軸力P(z)、剪應(yīng)力τ(z)表達(dá)式可參照本文第1部分求得。

3 土體剪切模量沿徑向不同變化分布的影響

從前述推導(dǎo)過(guò)程可知，錨桿的受力變形取決于如何求解式(7)，不同的ξ值影響了整個(gè)錨桿的荷載-位移曲線發(fā)展規(guī)律。由于錨桿注漿的影響半徑作用因素復(fù)雜，涉及到注漿壓力、土體滲透系數(shù)、漿液初始黏度、注漿時(shí)間、漿液初凝時(shí)間和注漿高度等因素，而本文所關(guān)注的重點(diǎn)是注漿后錨桿鉆孔徑向范圍內(nèi)剪切模量的變化對(duì)錨桿受力變形的影響，在缺乏實(shí)測(cè)資料和相關(guān)已有成果的條件下，可作如圖3所示的假定，注漿的影響半徑與土體變形可以忽略不計(jì)的最大半徑rm一致，即徑向rm處土體的剪切模量與天然狀態(tài)下土體的剪切模量一致，用符號(hào)Gm表示；而在錨桿和土體的交接界面r0處，土體的剪切模量由于注漿的影響可能發(fā)生改變，以符號(hào)G0表示；從G0到Gm的徑向變化，假設(shè)為4種分布情況，即不考慮變化(常數(shù))、線性變化、拋物線變化和指數(shù)變化。

圖3 土體剪切模量沿徑向的不同分布假設(shè)

3.1 土體剪切模量沿徑向不變

當(dāng)土體視為不受注漿作用影響時(shí)，其剪切模量與原狀土的剪切模量一致，大小為Gm，可對(duì)式(6)進(jìn)行直接積分求解，系數(shù)ξ0表達(dá)式為

ξ0=ln (rm/r0)/Gm

(20)

3.2 土體剪切模量沿徑向以線性形式變化分布

如圖3所示，若土體的剪切模量受注漿的影響，靠近錨桿處的剪切模量為G0，而徑向遠(yuǎn)端處土體的剪切模量為Gm，且在錨桿的影響范圍內(nèi)，土體的剪切模量以線性形式變化分布，則土體剪切模量影響系數(shù)ξ1表達(dá)式可表示為

(21)

3.3 土體剪切模量沿徑向以?huà)佄锞€形式變化分布

若土體的剪切模量以?huà)佄锞€形式變化分布，其余條件如2.2，則其土體剪切模量影響系數(shù)ξ2表達(dá)式可為

(22)

3.4 土體剪切模量沿徑向以指數(shù)形式變化分布

若土體的剪切模量以指數(shù)形式變化分布，其余條件如2.2，則其土體剪切模量影響系數(shù)ξ3表達(dá)式可為

(23)

式中:B3=ln (G0/Gm)/(rm-r0)；A3=G0/e-B3r0。

式(23)無(wú)法進(jìn)行直接的積分運(yùn)算求解，可通過(guò)數(shù)值分析軟件進(jìn)行簡(jiǎn)單的數(shù)值積分求得。

通過(guò)本節(jié)的理論推導(dǎo)，得到了土體剪切模量沿徑向不同變化分布下，土體剪切模量影響系數(shù)ξ的不同表達(dá)式。至此，考慮土體剪切模量變化的錨桿受力變形特性理論分析體系建立完畢。

4 算例分析與討論

下文借助某算例，探討由注漿等因素造成剪切模量沿徑向變化從而導(dǎo)致錨桿受力變形所產(chǎn)生的差異。假設(shè)有一黏結(jié)錨桿長(zhǎng)8 m，鉆孔直徑130 mm，錨桿受力的影響半徑rm為鉆孔半徑r0的10倍，錨固體的的模量由桿體和膠凝體各自的模量按照面積加權(quán)平均計(jì)算取值為28.4 GPa，土體在天然狀態(tài)下的剪切模量Gm為4.0 MPa，界面剪切模型服從一次跌落模型，峰值剪切強(qiáng)度τf為100 kPa，殘余剪切強(qiáng)度τr為50 kPa?，F(xiàn)考慮因注漿的滲入和劈裂等作用，界面處(r=r0)土體的剪切模量G0提高至6.0 MPa，注漿影響范圍與錨桿受力影響范圍一致，因此，rm處土體的剪切模量仍為Gm，假設(shè)在注漿的影響范圍內(nèi)，剪切模量沿徑向的變化規(guī)律分別呈現(xiàn)為線性、拋物線和指數(shù)形式的衰減。

通過(guò)本文理論推導(dǎo)，分析錨桿的荷載-位移(P0-u0)曲線在這3種變化規(guī)律下的異同，見(jiàn)圖4，同時(shí)將不考慮剪切模量沿徑向變化所得的P0-u0也繪于圖4中。

圖4 剪切模量沿徑向變化下的P0-u0曲線(Gm=4 MPa)

由圖4可見(jiàn)，若考慮剪切模量因注漿有所提高并沿徑向衰減，其峰值拉拔荷載P0f會(huì)小于不考慮剪切模量變化的情況，剪切模量變化最為劇烈的線性變化情況，其峰值拉拔荷載為213.2 kN，而不考慮剪切模量變化情況下的峰值拉拔荷載為220.7 kN，前者比后者小3.4%，這是由于剪切模量的提高，根據(jù)式(5)不難發(fā)現(xiàn)界面峰值剪切強(qiáng)度對(duì)應(yīng)的位移uf會(huì)變小，造成錨桿剪應(yīng)力的發(fā)揮程度會(huì)降低，若本算例假設(shè)uf，則對(duì)應(yīng)的τf會(huì)有所不同，這是由剪切位移法自身的特點(diǎn)所決定的。而錨桿的殘余拉拔荷載P0r在各種情況下完全一致均為163.4 kN，這是因?yàn)樵谖灰谱銐虼髸r(shí)，剪切界面每一點(diǎn)處的剪應(yīng)力為恒定的殘余剪切強(qiáng)度。至于錨桿錨頭的位移情況，在同一拉拔荷載水平下(如200 kN)，考慮剪切模量線性變化情況下的錨頭位移和不考慮剪切模量變化下的錨頭位移分別為3.18 mm和3.56 mm，前者比后者小10.7%，同時(shí)對(duì)于各曲線剛出現(xiàn)峰值拉拔荷載時(shí)對(duì)應(yīng)的錨頭位移u0f，考慮剪切模量線性變化的情況u0f為3.85 mm，而不考慮剪切模量變化的情況u0f為4.32 mm，前者比后者小10.9%。

由圖4可見(jiàn),在峰值拉拔荷載附近，1個(gè)確定的拉拔荷載會(huì)對(duì)應(yīng)2個(gè)不同的錨頭位移，這是由于當(dāng)錨土界面進(jìn)入塑性狀態(tài)時(shí)拉拔荷載降低所導(dǎo)致的必然現(xiàn)象。

圖5～6繪出了同一拉拔荷載水平下不同階段所對(duì)應(yīng)的錨桿受力變形指標(biāo)分布圖。

圖5 錨桿部分進(jìn)入塑性狀態(tài)的受力變形指標(biāo)分布圖(Q0=213 kN，彈性段>塑性段)

從圖5a)可知，此時(shí)錨桿在靠近錨頭的一段已經(jīng)進(jìn)入塑性狀態(tài)，但塑性段的長(zhǎng)度小于彈性段的長(zhǎng)度，由于各種情況下的界面殘余強(qiáng)度一致，因此，塑性段的剪應(yīng)力均一致，只是考慮剪切模量線性變化情況下的錨桿塑性段最長(zhǎng)，剪切模量分別以?huà)佄锞€變化、指數(shù)變化和常數(shù)變化情況下錨桿塑性段長(zhǎng)度將依次減小。而彈性段同一深度處的剪應(yīng)力情況，不考慮剪切模量變化對(duì)應(yīng)的大小小于考慮剪切模量變化對(duì)應(yīng)的大小。從圖5b)可知，不同剪切模量分布情況下的軸力分布曲線大致為直線型，但在彈性段和塑性段的分界點(diǎn)有一定的差異，這是由于該處剪應(yīng)力的急劇變化所導(dǎo)致的。從圖5c)可知，不同剪切模量分布情況下的錨桿在錨頭處的位移一致，但在錨桿遠(yuǎn)端處，不考慮剪切模量變化情況下的位移大于考慮剪切模量變化情況下的位移。由于假定剪切模量分別為線性、拋物線和指數(shù)形式時(shí)曲線變化不大，因此對(duì)應(yīng)的錨桿位移、軸力和剪應(yīng)力分布曲線差異很小。

圖6 錨桿部分進(jìn)入塑性狀態(tài)的受力變形指標(biāo)分布圖(Q0=213 kN，彈性段<塑性段)

圖6為對(duì)應(yīng)Q0等于213 kN時(shí)另一種情況的錨桿受力變形指標(biāo)分布圖，此時(shí)錨桿的塑性段已逐漸向錨桿遠(yuǎn)端發(fā)展，塑性段的長(zhǎng)度大于彈性段的長(zhǎng)度，剪切模量分別按照線性、拋物線和指數(shù)形式變化時(shí)，所得到的塑性段長(zhǎng)度差別已小于0.2 m，因此在圖6a)中表現(xiàn)為塑性段長(zhǎng)度完全一致，而不考慮剪切模量變化情況下的塑性段長(zhǎng)度也僅略大于考慮剪切模量變化的情況，此階段各種情況下的彈塑段長(zhǎng)度可認(rèn)為已基本一樣。對(duì)于錨桿的軸力分布，不同剪切模量分布情況對(duì)于軸力分布曲線已影響不大，軸力分布曲線基本上由2段直線組成，在彈性段和塑性段的分界處有1處轉(zhuǎn)折，如圖6b)所示。從圖6c)還可知，不同剪切模量分布情況下對(duì)應(yīng)的錨桿位移曲線關(guān)系大致為平行的曲線，不考慮剪切模量變化的情況與考慮剪切模量變化的情況有較大的差異，而剪切模量分別按照線性、拋物線和指數(shù)形式變化時(shí)，其相應(yīng)的錨桿位移曲線差異較小。

5 結(jié)語(yǔ)

本文基于剪切位移法，考慮注漿作用對(duì)周邊土體的加固效應(yīng)及其導(dǎo)致土體剪切模量提高的狀況，假定提高后的土體剪切模量以線性、拋物線和指數(shù)3種分布方式沿徑向衰減至土體自然狀態(tài)下的剪切模量，建立了考慮剪切模量徑向變化的錨桿受力變形分析理論，分析計(jì)算表明剪切模量的提高對(duì)錨桿峰值拉拔荷載影響不大，而殘余拉拔荷載完全相同，但錨頭的拔出位移量有一定的減小。工程上可考慮這一有利因素，在準(zhǔn)確獲取錨桿周邊土層徑向剪切模量的前提下，減少采用錨桿支護(hù)方式的高邊坡和深基坑位移量，保證建筑物的安全。