求極限方法在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用分析

王 健

(曲阜師范大學(xué)，山東 曲阜 273165)

一、極限思想的產(chǎn)生和發(fā)展

(一)極限思想的由來(lái)

極限思想是經(jīng)過(guò)古代人們長(zhǎng)期研究數(shù)學(xué)從而不斷形成的一種數(shù)學(xué)思想。極限思想是由一種最原始的極限思想逐漸衍生的。查閱相關(guān)資料可以知道，古希臘人的窮竭法正是運(yùn)用的極限思想，

(二)極限思想的發(fā)展

極限思想的發(fā)展有賴于微積分的發(fā)展。隨著資本主義的不斷發(fā)展，生產(chǎn)力得到了很大的提高，之前運(yùn)用的初等數(shù)學(xué)已經(jīng)不能滿足平常的記錄工作，因此必須加快數(shù)學(xué)方法的研究。最剛開(kāi)始是牛頓和萊布尼茨以無(wú)窮小概念為基礎(chǔ)建立微積分的思想。雖然在發(fā)展的過(guò)程中遇到了很多難以解決的問(wèn)題，但是經(jīng)過(guò)不懈的努力，他們?cè)诤笃诙冀邮芰藰O限思想。

(三)極限思想的完善

極限思想的完善離不開(kāi)微積分的發(fā)展。通過(guò)研究微積分，從而掌握極性思想。在十九世紀(jì)的時(shí)候，法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西在總結(jié)前人經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，之后再不斷探索，得出了無(wú)窮小的概念。

二、常見(jiàn)的極限方法

(一)利用重要極限求函數(shù)極限

以下是兩個(gè)常見(jiàn)的極限，在平常的練習(xí)中也可以直接運(yùn)用。

它們分別是一元函數(shù)兩個(gè)重要極限的推廣。第一個(gè)極限可以把x當(dāng)做一個(gè)整體進(jìn)行求解。第二個(gè)極限求解時(shí)牢記“外大內(nèi)小，內(nèi)外互倒”的解題思想。對(duì)函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃问鞘株P(guān)鍵的，需要根據(jù)函數(shù)的特征來(lái)判斷從而進(jìn)行函數(shù)變形。

根據(jù)極限的推導(dǎo)可以很容易求出要求解的問(wèn)題。

(二)利用洛必達(dá)法則求極限

定理1若函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)滿足

(ii)在點(diǎn)x0的某空心鄰域Uo(x0)內(nèi)兩者都可導(dǎo),且g′(x)≠0；

則

在做題的時(shí)候先研究所求極限的類(lèi)型，確定采用哪一種極限方法更好，這樣可以減少做題的彎路，而且準(zhǔn)確率也更高。長(zhǎng)期的接觸采用極性方法解決問(wèn)題，對(duì)個(gè)人的數(shù)學(xué)思想的提高會(huì)有很大的幫助。

三、建立概念的極限思想

極限的思想方法一直貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)分析的課程當(dāng)中。掌握數(shù)學(xué)分析的概念必須先從極限思想開(kāi)始。通過(guò)學(xué)習(xí)與極限思想有關(guān)的連續(xù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、級(jí)數(shù)的斂散性等相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，慢慢的掌握與極限有關(guān)的內(nèi)容。我們需要了解的是函數(shù)在進(jìn)行點(diǎn)連續(xù)的定義時(shí)，自變量有增量時(shí)，函數(shù)值的增量趨近于零。如果是對(duì)于點(diǎn)導(dǎo)數(shù)定義，函數(shù)值的增量與自變量的增量之比就是所求的極限值。

四、解決問(wèn)題的極限思想

極限思想方法是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種必不可少的數(shù)學(xué)方法。數(shù)學(xué)分析可以很巧妙地解決各類(lèi)問(wèn)題，正是運(yùn)用了極限思想。當(dāng)我們需要確定某一個(gè)量時(shí)，一般來(lái)講我們先確定的是它的近似值而不是量本身，確定的近似值野獸一連串越來(lái)越準(zhǔn)確地近似值，通過(guò)考察近似值的趨向，最終確定量的具體值。這正是極性思想的應(yīng)用。

五、結(jié)語(yǔ)

極限的思想方法是人們?cè)谌粘５膶W(xué)習(xí)過(guò)程中慢慢形成的，從近似到精確，從量變到質(zhì)變的轉(zhuǎn)變，它是事物轉(zhuǎn)變過(guò)程中的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，同時(shí)也是數(shù)學(xué)分析中需要重點(diǎn)掌握的內(nèi)容。只有認(rèn)真的去學(xué)習(xí)和探索，才能更好的掌握極限思想，從而提高數(shù)學(xué)分析的能力。