標(biāo)準(zhǔn)差、標(biāo)準(zhǔn)誤差和估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差辨析

劉忠廣 河南工程學(xué)院工商管理學(xué)院

標(biāo)準(zhǔn)差、標(biāo)準(zhǔn)誤差是統(tǒng)計(jì)學(xué)的重要概念。標(biāo)準(zhǔn)差是根據(jù)原始數(shù)據(jù)計(jì)算的，反映一組原始數(shù)據(jù)的離散程度。而標(biāo)準(zhǔn)誤差是根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量計(jì)算的，反映統(tǒng)計(jì)量的離散程度。標(biāo)準(zhǔn)差與標(biāo)準(zhǔn)誤差的區(qū)別還在于求標(biāo)準(zhǔn)差僅需要一個(gè)樣本的數(shù)據(jù)，但是求標(biāo)準(zhǔn)誤差需要多個(gè)樣本的數(shù)據(jù)。而在實(shí)際應(yīng)用中，往往是根據(jù)一個(gè)樣本的數(shù)據(jù)來(lái)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤差的，這時(shí)計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)誤差就是估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差。這幾個(gè)概念比較抽象，理解起來(lái)比較困難。同時(shí)，不同的教材對(duì)標(biāo)準(zhǔn)誤差也有多種叫法，如標(biāo)準(zhǔn)誤[1]、抽樣平均誤差[2][3]、抽樣標(biāo)準(zhǔn)差[4]等等。另外，在統(tǒng)計(jì)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的線性回歸部分，不同教材對(duì)殘差均方的平方根的叫法也有不同，如估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差[5][6]、預(yù)測(cè)標(biāo)準(zhǔn)誤差[7]、回歸估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)誤差[8]等，這些都給統(tǒng)計(jì)初學(xué)者帶來(lái)了困惑和不解。

一、標(biāo)準(zhǔn)差

標(biāo)準(zhǔn)差的英文單詞是standard deviation， standard是典型或平均的意思，deviation的含義是離差，指一個(gè)分布中的一個(gè)取值與該分布的平均取值之差。所以標(biāo)準(zhǔn)差是一個(gè)分布單個(gè)取值與均值之間的典型或平均離差[9]。具體計(jì)算時(shí)各變量值與其算術(shù)平均數(shù)（也稱(chēng)均值）離差平方的平均數(shù)稱(chēng)為方差，方差的平方根即為標(biāo)準(zhǔn)差。標(biāo)準(zhǔn)差反映了每個(gè)變量值與其均值相比平均相差的數(shù)值，能準(zhǔn)確地反映出數(shù)據(jù)的離散程度，標(biāo)準(zhǔn)差是應(yīng)用最廣泛的反映數(shù)據(jù)離散程度的測(cè)度值。標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算為：

如果獲取的是總體的數(shù)據(jù)，反映總體數(shù)據(jù)離散程度的可用總體標(biāo)準(zhǔn)差，其計(jì)算公式為：

σ=，μ為總體均值，N為總體數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)

一般來(lái)說(shuō)，我們獲取的數(shù)據(jù)大多是樣本數(shù)據(jù)，反映樣本數(shù)據(jù)離散程度的為樣本標(biāo)準(zhǔn)差，其計(jì)算公式為：

s=為樣本均值，n為樣本容量（下同）

二、標(biāo)準(zhǔn)誤差和估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差

標(biāo)準(zhǔn)誤差（Standard Error）是某一統(tǒng)計(jì)量（如樣本均值、樣本均值之差、樣本比例、相關(guān)系數(shù)等）抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)差。標(biāo)準(zhǔn)誤差用于衡量樣本統(tǒng)計(jì)量的離散程度，在參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)中，它是用于衡量樣本統(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)之間差距的重要尺度。在實(shí)際應(yīng)用中，標(biāo)準(zhǔn)誤差往往是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算來(lái)的，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)誤差實(shí)際上是估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差（在用統(tǒng)計(jì)軟件計(jì)算時(shí)給出的都是估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差）。常見(jiàn)的標(biāo)準(zhǔn)誤差有樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差、樣本比例的標(biāo)準(zhǔn)誤差、樣本相關(guān)系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差、線性回歸方程斜率及截距的標(biāo)準(zhǔn)誤差、回歸估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)誤差等。

三、舉例說(shuō)明

【例】從某一高校的女生中隨機(jī)抽取10名學(xué)生，測(cè)其身高和體重?cái)?shù)據(jù)見(jiàn)表1.

表1：某高校10名女生身高和體重?cái)?shù)據(jù)

（一）用Excel的數(shù)據(jù)分析工具對(duì)這10名女生身高和體重進(jìn)行描述統(tǒng)計(jì)，結(jié)果見(jiàn)表2.

表2：某高校10名女生身高和體重的描述統(tǒng)計(jì)

從表2可以看出這10名女生的平均身高為161.7cm，平均體重為61.1kg.表中標(biāo)準(zhǔn)差是身高和體重的樣本標(biāo)準(zhǔn)差.標(biāo)準(zhǔn)誤差分別是身高和體重的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差，是根據(jù)估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差的公式計(jì)算出來(lái)的，即：

可以估計(jì)全校女生的平均身高和平均體重95%的置信區(qū)間分別為：

（二）利用Excel數(shù)據(jù)分析工具對(duì)該校女生身高與體重進(jìn)行相關(guān)與回歸分析，結(jié)果如表3、表4、表5.

表3 ：某高校女生身體和體重的回歸統(tǒng)計(jì)

從表3可以得到相關(guān)系數(shù)為0.87，可以計(jì)算相關(guān)系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差

5.12 ＞ 2.306 ，所以拒絕原假設(shè)，結(jié)論是該校女生身高和體重相關(guān)關(guān)系顯著.

表中的標(biāo)準(zhǔn)誤差為回歸估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)誤差，其意義為，根據(jù)身高來(lái)預(yù)測(cè)體重時(shí)，平均的預(yù)測(cè)誤差為3.91kg.

表4：某高校女生身高和體重的方差分析表

根據(jù)表4方差分析表，由于P＝0.00 ＜ 0.05，所以，身高與體重的線性關(guān)系顯著.

表5：某高校女生身高和體重的回歸分析表

四、結(jié)語(yǔ)

標(biāo)準(zhǔn)差、標(biāo)準(zhǔn)誤差和估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差這三個(gè)概念字面相似，但代表的含義有不同，標(biāo)準(zhǔn)差是根據(jù)原始觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算出來(lái)的，計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差僅需要一個(gè)樣本數(shù)據(jù)。標(biāo)準(zhǔn)誤差是根據(jù)統(tǒng)計(jì)量抽樣分布計(jì)算出來(lái)的，從理論上講計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤差需要所有可能樣本的數(shù)據(jù)，但在實(shí)際應(yīng)用中，是根據(jù)一個(gè)樣本的數(shù)據(jù)來(lái)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤差的，這時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)誤差即為估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差。