結(jié)構(gòu)對(duì)爆破震動(dòng)響應(yīng)的動(dòng)力分析

李秀

【摘要】本文在考慮爆破震動(dòng)的基礎(chǔ)之上，運(yùn)用結(jié)構(gòu)震動(dòng)方面的最新理論，討論了結(jié)構(gòu)在爆破震動(dòng)激勵(lì)下的響應(yīng)情況，并據(jù)此提出用數(shù)值求解系統(tǒng)頻響函數(shù)（傳遞函數(shù)）的方法來(lái)求解結(jié)構(gòu)在爆破震動(dòng)激勵(lì)下的響應(yīng)。由于結(jié)構(gòu)震動(dòng)理論是以諧激勵(lì)為基礎(chǔ)的，而爆破震動(dòng)并不是簡(jiǎn)單的諧激勵(lì)，因而本文先介紹爆破震動(dòng)的傅氏變換，以便于分解爆破震動(dòng)中的諧成份，然后重點(diǎn)介紹了用模態(tài)理論求解結(jié)構(gòu)對(duì)爆破震動(dòng)響應(yīng)的問(wèn)題，提出了用頻響函數(shù)（傳遞函數(shù)）來(lái)求解系統(tǒng)響應(yīng)的方法。文中的結(jié)構(gòu)響應(yīng)模型能夠適應(yīng)于一部分結(jié)構(gòu)抗爆破震動(dòng)的情況，比如房屋建筑、煙囪水塔以及大壩等一系列地上結(jié)構(gòu)。然而其實(shí)際可模擬性還需要檢驗(yàn)。

【中圖分類(lèi)號(hào)】TU311.3 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2018）13-0288-03

前言

結(jié)構(gòu)對(duì)爆破震動(dòng)響應(yīng)的實(shí)質(zhì)是結(jié)構(gòu)在爆破過(guò)程當(dāng)中產(chǎn)生的沖擊波的激勵(lì)下發(fā)生的物理狀態(tài)的變化。而一般震動(dòng)問(wèn)題是由激勵(lì)（輸入）、震動(dòng)結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）和響應(yīng)（輸出）三部分組成。

對(duì)于結(jié)構(gòu)的響應(yīng)問(wèn)題來(lái)說(shuō)，爆破震動(dòng)速度一般可以用儀器測(cè)定，而所要監(jiān)測(cè)的結(jié)構(gòu)也是己知的。所以結(jié)構(gòu)對(duì)爆破震動(dòng)的響應(yīng)問(wèn)題屬于己知激勵(lì)和系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，求系統(tǒng)響應(yīng)的一類(lèi)震動(dòng)問(wèn)題。求解這一類(lèi)問(wèn)題就是根據(jù)已知的載荷條件和問(wèn)題的實(shí)際情況對(duì)震動(dòng)結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡(jiǎn)化而得到可以求解的數(shù)學(xué)模型，然后通過(guò)一定的數(shù)學(xué)方法求解出震動(dòng)結(jié)構(gòu)上我們所關(guān)心的位移、應(yīng)力、應(yīng)變等。所以要得到結(jié)構(gòu)對(duì)爆破震動(dòng)的響應(yīng)，除需要知道爆破震動(dòng)激勵(lì)之外，還需要知道結(jié)構(gòu)本身的自振特性，如結(jié)構(gòu)的自由度、結(jié)構(gòu)剛度以及結(jié)構(gòu)的自振頻率和模態(tài)矢量等。

對(duì)于爆破震動(dòng)激勵(lì)，可以是質(zhì)點(diǎn)震動(dòng)速度、加速度、位移等，也可以是爆破激振力。在現(xiàn)階段的情況下，我們得到的往往是爆破震動(dòng)波在時(shí)間域上的波形，而不知道其頻率成份，這就要求對(duì)震動(dòng)波形進(jìn)行變換以得到其頻譜特性。

一、爆破震動(dòng)激勵(lì)

在通常情況下，我們所測(cè)定的或預(yù)測(cè)的爆破震動(dòng)是震動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的震動(dòng)速度或加速度。而結(jié)構(gòu)受爆破震動(dòng)影響的主要因素是震動(dòng)波的質(zhì)點(diǎn)震動(dòng)速度、頻率以及作用時(shí)間等。質(zhì)點(diǎn)震動(dòng)速度和作用時(shí)間在實(shí)際當(dāng)中比較容易得到，關(guān)鍵是爆破震動(dòng)波的頻率特性比較復(fù)雜，因?yàn)楸频卣鸩ㄊ且环N含有多種頻率成分的隨機(jī)震動(dòng)波。為了掌握地震波的頻率、幅值、相位等參數(shù)，進(jìn)而分析爆破地震波在介質(zhì)中的傳播和衰減情況，需要了解其各頻率成分的幅值分布和能量分布情況。因此有必要對(duì)采用的震動(dòng)波進(jìn)行頻譜分析，找出其頻率成分及其相應(yīng)的頻域參數(shù)。

在一般求解結(jié)構(gòu)響應(yīng)的文獻(xiàn)中，大多是假設(shè)結(jié)構(gòu)受到簡(jiǎn)諧激勵(lì)的，但是對(duì)于爆破震動(dòng)激勵(lì)F（t）而言，往往并不是簡(jiǎn)單的震動(dòng)—諧和運(yùn)動(dòng)，而是有幾種頻率同時(shí)存在的周期性震動(dòng)或非周期性震動(dòng)，因此不能用一項(xiàng)正弦或余弦函數(shù)來(lái)描述他們的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。但是我們可以用傅立葉譜來(lái)對(duì)之進(jìn)行爆破震動(dòng)分析，先對(duì)一般意義上的周期函數(shù)進(jìn)行傅立葉變換，由級(jí)數(shù)知識(shí)可以知道，如果周期震動(dòng)的時(shí)間函數(shù)為f（t），其周期為T(mén)，則函數(shù)f（t）的傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為：

（1）

式中ω為震動(dòng)系統(tǒng)的圓頻率。由上式可知用傅氏級(jí)數(shù)來(lái)表示一個(gè)周期函數(shù)，其關(guān)鍵在于求出傅氏系數(shù)A0、An、Bn。雖然爆破震動(dòng)效應(yīng)引起的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程是一個(gè)非常復(fù)雜的非周期運(yùn)動(dòng)過(guò)程，它的震動(dòng)頻率并不離散，而是由0到∞之間連續(xù)變化。因此就不能用上面的方法來(lái)得到爆破震動(dòng)的頻譜特性，但我們可以把震動(dòng)波形分解成為非常小的小段來(lái)確定它們的震動(dòng)參數(shù)，然后再用傅立葉積分的形式來(lái)表示。

化簡(jiǎn)后可得：

（2）

根據(jù)狄義赫利條件，函數(shù)f（t）的絕對(duì)值的積分存在，當(dāng)t→∞時(shí)：，現(xiàn)在引用一個(gè)新變量，在區(qū)間（0→∞）上取等距離的值：

第n個(gè)諧和頻率與相鄰諧和頻率之間的間隔為：

則式（4-2）可簡(jiǎn)化為：

上式用變量ω代替α，可以改寫(xiě)為：

（3）

而傅立葉系數(shù)A（ω）和B（ω）為：

（4）

可以將式（4-3）變?yōu)閺?fù)數(shù)形式，根據(jù)傅立葉復(fù)數(shù)變換關(guān)系式，并由被積函數(shù)為奇函數(shù)則其在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的積分為零的條件，可得出：

將上式代入（4-3）式，即得到爆破震動(dòng)激勵(lì)的傅立葉積分的復(fù)數(shù)形式：

（5）

在上式中令，則有：

而函數(shù)F（ω）一般是復(fù)數(shù)形式，可表示為：

所以有：

將以上兩式相互比較可得：

φ（ω）稱(chēng)為震動(dòng)函數(shù)f（t）的傅立葉振幅譜，φ（ω）稱(chēng)為震動(dòng)函數(shù)f（t）的傅立葉相位譜。在計(jì)算傅立葉譜的時(shí)候，由于系統(tǒng)的阻尼作用，系統(tǒng)的受迫震動(dòng)過(guò)程的持續(xù)時(shí)間總是有限的，因此在計(jì)算傅立葉系數(shù)時(shí)，只需要在震動(dòng)持續(xù)時(shí)間根據(jù)精度需要選定時(shí)段求積即可。由此就可以將爆破震動(dòng)激勵(lì)的頻域特性用傅立葉譜的形式表現(xiàn)出來(lái)，在爆破震動(dòng)波形當(dāng)中，每一個(gè)頻率成分ωi，其對(duì)應(yīng)的震動(dòng)強(qiáng)度為。在整個(gè)頻率范圍內(nèi)其所占的成分D（ωi）為：

二、結(jié)構(gòu)對(duì)爆破震動(dòng)響應(yīng)的模態(tài)計(jì)算方法

1.基本假設(shè)與理論

對(duì)于爆破震動(dòng)過(guò)程，首先假定它是一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，即由爆破產(chǎn)生的震動(dòng)激勵(lì)是有限的，這符合實(shí)際情況。對(duì)于震動(dòng)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，假定系統(tǒng)是定常穩(wěn)定的，即線性不變系統(tǒng)。所謂線性是指描述系統(tǒng)震動(dòng)的微分方程為線性方程，其響應(yīng)對(duì)爆破震動(dòng)激勵(lì)具有疊加性；所謂定常是指震動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性（比如質(zhì)量、阻尼、剛度等）不隨時(shí)間變化，即具有頻率保持性；所謂穩(wěn)定是指系統(tǒng)對(duì)有限的激勵(lì)將產(chǎn)生一個(gè)有限的響應(yīng)，即系統(tǒng)滿足傅氏變換和拉氏變換的條件。

2.爆破隨機(jī)震動(dòng)激勵(lì)下結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)

對(duì)于爆破震動(dòng)來(lái)說(shuō)，前面已經(jīng)介紹過(guò)，那就是其震動(dòng)波具有復(fù)雜的頻率成分，并不是簡(jiǎn)單的簡(jiǎn)諧震動(dòng)，而應(yīng)將其視為一種隨機(jī)震動(dòng)形式。由于系統(tǒng)在隨機(jī)激勵(lì)下的響應(yīng)也是隨機(jī)的，而它們一般不滿足傅氏變換的條件，所以不能直接用傅氏變換得到頻響函數(shù)，因此計(jì)算在爆破震動(dòng)激勵(lì)下的頻響函數(shù)，而只能采用譜密度函數(shù)來(lái)定義。

假設(shè)單自由度系統(tǒng)的隨機(jī)激勵(lì)f（t）和隨機(jī)響應(yīng)X（t）都是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，則其相關(guān)函數(shù)是時(shí)間延遲τ的與t無(wú)關(guān)的函數(shù)。

爆破震動(dòng)激勵(lì)f（t）的自相關(guān)函數(shù)定義為f（t）f（t+τ）的總體平均：

（6）

它是τ的實(shí)偶函數(shù)，，且在τ=0處有最大值。

激勵(lì)f（t）與X（t）的互相關(guān)函數(shù)定義為的總體平均：

（7）

且，它是τ的實(shí)值函數(shù)。

相關(guān)函數(shù)從時(shí)域內(nèi)描述了隨機(jī)信號(hào)的特性，但在很多情況下使用描述隨機(jī)信號(hào)頻域特性的功率譜密度函數(shù)將更加方便。

（1）功率譜密度函數(shù)定義為相關(guān)函數(shù)的傅氏變換。自相關(guān)函數(shù)的傅氏變換稱(chēng)之為自功率譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)自功率譜或自譜，表達(dá)式為：

（8）

互相關(guān)函數(shù)的傅氏變換稱(chēng)為互功率譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)為互功率譜或互譜，表達(dá)式為：

（9）

（2）在理論上看來(lái)，一個(gè)隨機(jī)樣本函數(shù)X（t）定義在t∈（-∞～∞）上，所以X（t）不能絕對(duì)的可積，也就是說(shuō)不能得到X（t）的傅氏變換。但是在實(shí)際當(dāng)中，所有的樣本函數(shù)都是有限長(zhǎng)的，其延續(xù)時(shí)間不會(huì)達(dá)到無(wú)窮，而是在一定的范圍以內(nèi)。因此可以計(jì)算樣本函數(shù)X（t）的有限傅氏變換：

（10）

這樣在有限傅氏變換下，就可以討論隨機(jī)過(guò)程樣本函數(shù)的傅氏譜，進(jìn)而得到有限傅氏變換表示的功率譜密度函數(shù)。設(shè)平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)與隨機(jī)樣本函數(shù)f（t）、X（t）的有限傅氏變換分別為FT（ω）、XT（ω），則針對(duì)這一樣本函數(shù)的自譜與互譜定義為：

（11）

通過(guò)對(duì)這兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程樣本函數(shù)的互譜和自譜的數(shù)學(xué)期望（統(tǒng)計(jì)平均），并令T→∞，可得到與式（4-8），（4-9）同樣精確的功率譜密度函數(shù)：

（12）

由上式可知功率譜密度函數(shù)具有下列性質(zhì)：

自譜為實(shí)偶函數(shù)，互譜為復(fù)函數(shù)。

（3）功率譜密度還可用帕賽瓦爾定理定義，帕賽瓦爾定理為：信號(hào)按時(shí)域計(jì)算的平均功率等于按頻域計(jì)算的平均功率。平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程中一個(gè)樣本函數(shù)x（t）的平均功率為：

（13）

此公式的意義為用Sxx（f，k）曲線與頻率軸之間的面積表示信號(hào)的平均功率。單位頻率上的平均功率即為功率譜密度函數(shù)Sxx（f，k），k代表樣本號(hào)。

同理，樣本函數(shù)x（t），f（t）的互功率譜由下式定義：

（14）

如果是各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程，上述Sxx（f，k）、Sfx（f，k）就是隨機(jī)過(guò)程的自譜與互譜。

如果是一般平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，則尚需對(duì)式（4-13），（4-14）做集合平均：

這種定義方式適用于模擬濾波器求功率譜密度函數(shù)，它與另外兩種方式不同。第一種定義給出了功率譜密度函數(shù)與相關(guān)函數(shù)的關(guān)系，二者可以通過(guò)傅氏變換互相求出，第二種定義是數(shù)值信號(hào)處理的重要基礎(chǔ)，在應(yīng)用中最為重要。

以上給出了功率譜密度函數(shù)的意義，下面就由功率譜密度函數(shù)來(lái)求頻響函數(shù)。設(shè)多自由度震動(dòng)系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)隨機(jī)激勵(lì)f（t）作用下的穩(wěn)態(tài)隨機(jī)響應(yīng)為x（t）均為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。對(duì)其樣本函數(shù)作有限傅氏變換，分別記為FT（ω）、XT（ω），

則由頻響函數(shù)定義有：

（15）

兩端均右乘，取時(shí)間平均及集合平均，又由于H（ω）與平均無(wú)關(guān)，則有：

（16）

即為：

（17）

（18）

由此便得到譜密度函數(shù)下結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)。

自此就求得了震動(dòng)系統(tǒng)在爆破震動(dòng)下的頻響函數(shù)，似乎就可以用來(lái)求結(jié)構(gòu)的響應(yīng)了，然而在實(shí)際工程當(dāng)中，由傅氏變換來(lái)求解系統(tǒng)頻響函數(shù)條件將高，因而人們采用了另一種變換方法一拉氏變換。

3.傳遞函數(shù)

在上面的計(jì)算當(dāng)中，對(duì)震動(dòng)激勵(lì)與結(jié)構(gòu)響應(yīng)信號(hào)都是采用傅氏變換來(lái)進(jìn)行的。而在實(shí)際工程運(yùn)用當(dāng)中，常用拉普拉斯變換來(lái)求系統(tǒng)的頻響函數(shù)，因?yàn)檎饎?dòng)激勵(lì)和系統(tǒng)響應(yīng)滿足拉氏變換的條件比傅氏變換的要低得多，并且當(dāng)t≥0時(shí)，在虛數(shù)軸（頻率軸）上的拉氏變換就是傅氏變換，具有單自由度的粘性阻尼系統(tǒng)的震動(dòng)微分方程：

（19）

如果初始條件為零，即對(duì)上述方程做拉氏變換，則有：

（20）

可寫(xiě)成： （21）

或者： （22）

式中： （23）

稱(chēng)為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

（24）

稱(chēng)為系統(tǒng)阻抗。

如果s=jω，上述過(guò)程將完全是傅氏變換過(guò)程，得到的傳遞函數(shù)即為頻響函數(shù)，即：

（25）

這就是傳遞函數(shù)與頻響函數(shù)的關(guān)系。

如果初始條件不為零，式（3.5-2）將包含初始條件，即X（s）中包含初始條件引起的自由響應(yīng)。但由于阻尼的存在，這一自由響應(yīng)將很快消失，X（s）將只剩下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，所要求的傳遞函數(shù)或頻響函數(shù)也是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)下的傳遞函數(shù)或頻響函數(shù)。故無(wú)論初始條件是否為零，傳遞函數(shù)或頻響函數(shù)的形式都如式（24）、（25），所示。

4.爆破震動(dòng)激勵(lì)下結(jié)構(gòu)的響應(yīng)

由頻響函數(shù)的定義可知，如果能求得系統(tǒng)的頻響函數(shù)和系統(tǒng)所受到的震動(dòng)激勵(lì)，那么就可以據(jù)此來(lái)求得震動(dòng)系統(tǒng)的響應(yīng)情況了。用頻響函數(shù)（傳遞函數(shù)）來(lái)計(jì)算結(jié)構(gòu)對(duì)爆破地震動(dòng)的響應(yīng)可用以下的步驟：

1）預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)所會(huì)受到的爆破震動(dòng)激勵(lì)大小，并對(duì)之作傅氏（拉氏）變換，得到震動(dòng)的頻譜特性；

2）將防震結(jié)構(gòu)離散，用有限元的方法計(jì)算出結(jié)構(gòu)的剛度、質(zhì)量及阻尼矩陣，得到結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)（傳遞函數(shù)）；

3）用頻響函數(shù)和震動(dòng)激勵(lì)得到整個(gè)結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。

在爆破震動(dòng)波可以經(jīng)過(guò)傅氏變換找出其頻率成份，對(duì)應(yīng)于每一諧分量，其對(duì)應(yīng)于結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)為，由前面的知識(shí)可得在其激勵(lì)之下結(jié)構(gòu)的響應(yīng)為：

（26）

其中Xi為系統(tǒng)在頻率為ωi的諧激勵(lì)下t時(shí)刻的位移響應(yīng)。則系統(tǒng)在t

時(shí)刻總的響應(yīng)為：

（27）

對(duì)于傳遞函數(shù)來(lái)說(shuō)，其計(jì)算方法大致相同。根據(jù)傳遞函數(shù)的定義，式（22）

給出了輸入激勵(lì)的拉氏變換、輸出響應(yīng)的拉氏變換與傳遞函數(shù)的關(guān)系。將式（22）展開(kāi)得：

（28）

則對(duì)于任意物理坐標(biāo)位移響應(yīng)xi（t）的拉氏變換均可表示為：

（29）

它表明，該系統(tǒng)第i個(gè)物理坐標(biāo)位移響應(yīng)的拉氏變換等于各作用力的拉氏變換與其對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)的代數(shù)和。由此就可以求得結(jié)構(gòu)各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的震動(dòng)響應(yīng)。

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