整體思想在高中數(shù)學中的應用

歐陽昱燾

【摘 要】在高中數(shù)學學習過程中，做到提高解題效率，確保解題準確性是每個學生應該追求的目標。整體思想是諸多高中數(shù)學解題方法中的重要組成部分，深入領略整體思想的內(nèi)涵，并將整體思想巧用于高中數(shù)學解題過程中，是每個高中生的必備技能。本文首先闡述了整體思想的內(nèi)涵及重要性，其次列舉了整體思想在高中數(shù)學解題過程中的具體應用，以此優(yōu)化解題策略。

【關鍵詞】整體思想;高中數(shù)學;解題效率;方法

高中數(shù)學集抽象性、邏輯性、復雜性于一體，是一門上手難度較大的學科，同時又是很多學科的基礎。在解題過程中，如果學生不能掌握好精準有效的解題方法，那么，就會降低解題效率。提高解題準確性，增加解題難度，進而降低了對高中數(shù)學的學習興趣和自信心。整體思想作為諸多高中數(shù)學解題方法中的重要組成部分，常常被運用在解題過程中，它能夠降低解題難度，幫助學生提高解題效率和解題準確性，達到提高數(shù)學成績的目的。

一、整體思想的內(nèi)涵和重要性

所謂整體思想，就是指在解題過程中，通過對題目條件的解讀和分析，發(fā)掘題中各個條件之間的相互聯(lián)系，再將其中某一部分看作一個整體，利用整體換元、整體代入等方式，通過整體變形、整體構造等手段，將一個看似復雜的題目簡單化、抽象的條件具體化，在做題上有一種煥然一新的感覺。整體思想作為一種基礎的解題思想，它的運用有利于鍛煉學生對條件的整合能力、邏輯分析能力，同時，還可培養(yǎng)學生舉一反三的解題思想，從而提高他們的解題效率及準確性，最終達到提高數(shù)學成績的目的。

二、整體思想在高中數(shù)學解題中的具體實踐和應用

1.整體思想在復數(shù)計算中的應用

例題1：虛數(shù)z滿足z=8，求z-3z-6z-11=0的值。

分析：很多同學在解答此類型題目時的第一念頭就是直接求解虛數(shù)z，然后再代入原等式。那么，這樣的解題過程將會十分復雜，另外題中并沒有直接代入的條件和關系式。如果一昧糾結在這種解題思想中，難免會陷入解題誤區(qū)，或者說是解題黑洞，進入命題人的圈套。因此，倘若將整體思想恰當?shù)剡\用到解題過程中，先運用公式轉化條件，再整體代入原等式，那么，思路立馬變得暢通，具體如下：

解：∵z=8∴z-2=0∴（z-2）·（z+2z+4）=0

∵虛數(shù)z≠2∴z+2z+4=0恒成立∴z+2z=-4

∴原式=z-3（z+2z）-11=8-3×（-4）-11=9

2.整體思想在三角函數(shù)計算中的應用

例題2：求H=sin13+cos14+sin13cos14的值。

分析：此類計算題看似只是一個簡單的三角函數(shù)求值問題，但動筆計算即可發(fā)現(xiàn)sin13和cos14并不在特殊的三角函數(shù)集范圍內(nèi)。同時，如果使用配方法或三角函數(shù)萬能公式解法對原式中各函數(shù)逐一進行分解，不可避免需要大量的計算，這樣一來就會提高計算過程中的出錯率。而此時，若將整體思想運用其中，將不標準的三角函數(shù)式化為常見的經(jīng)典的三角函數(shù)標準式，則可大大簡化計算過程，進而提高計算效率及準確率，具體如下：

解：假設H=sin13+cos14+sin13cos14

Q=cos13+sin14+cos13sin14

那么可得：H+Q=2+sin27H-Q=-0.5-sin27

兩式相加得：H=0.75即所求。

（可見，sin27并非常見的三角函數(shù)，但是前面的一正一負在兩式相加后正好可以抵消，這道題恰恰體現(xiàn)了整體思想運用過程中化繁為簡的作用，是一道經(jīng)典的例題。）

3.整體思想在幾何問題中的應用

例題3：已知某個長方形，周長為30，面積為16，求這個長方形對角線的長度。

分析：不少學生初次解答這類問題時，腦海中第一種解題思路便是先求出長方形兩邊的長度，進而代入對角線計算式中求出對角線的長度。

計算過程如下：設長方形兩邊分別為a和b，a≦b，由題意可得2（a+b）=30，ab=16，整理可得一個二元一次方程：a-15a+16=0。

不難看出，以上二元一次方程式的解并非整數(shù)，求解起來思路單一，而且在求a值過程中可能會出錯，降低解題效率。

不如我們換一種解法，從條件中找出長方形周長、面積、對角線長度三者關系，可化簡為以下式子：

對角線長度c====

4.整體思想在求解方程中的應用

例題4：解方程（x+1）/（x+1）+6·（x+1）/（x+1）=5

分析：許多學生在解答此題時，沒有注意到等式左邊的兩項存在互為倒數(shù)的關系，因此，直接在左右兩項同時乘以（x+1）·（x+1），則x最高次數(shù)為3，增加了求解計算時的難度，不但麻煩，而且容易出錯。因此，我們可以引入整體換元思想，用m來代替（x+1）/（x+1），于是，原方程可以化簡為：m+6/m=

5，求出m=2或m=3，從而求出未知數(shù)x的值。

5.整體思想在函數(shù)求值中的應用

例題5：已知函數(shù)f（x）=x/（1+x），求H=f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（1/2）+f（1/3）+f（1/4）的值.

分析：這道題主要考察學生的整體觀察能力，f（x）的具體形式已經(jīng)給出，若只是將1;2;3;4;1/2;1/3;1/4分別都代入到f（x）=x/（1+x）中，那么，就會陷入出題人的圈套。解答本題的關鍵在于學會分析條件，并從條件中找到規(guī)律。例如：f（2）與f（1/2）中，x的取值互為相反數(shù)，那么，我們可以嘗試通過f（x）=x/（1+x）推導出f（1/x）的具體展開形式。沿著這個思路不難發(fā)現(xiàn)，f（x）+f（1/x）=1這個非常重要的規(guī)律，然后將其作為一個整體代入到H中，可快速得出答案H=3.5。

例題6：已知（2+x）=a+ax+ax+ax+ax，

求（a+a+a）-（a+a）的值。

分析：這道題是1999年的高考題，命題人著重考察的是整體思想在解題過程中的運用。不少考生直接將（a+a+a）-（a+a）展開，而展開后又沒了頭緒。利用整體思想，不妨先將該式因式分解，得到（a+a+a）-（a+a）=（a+a+a+a+a）·（a+a+a-a-a），然后將（a+a+a+a+a）與（a+a+a-a-a）看作一個整體，分別將x=1和x=-1代入，則（2+）=a+a+a+a+a;（2-）=a-a+a-a+a，易得到結果為1。

三、總結

綜上所述，以上各道例題都體現(xiàn)了整體思想在高中數(shù)學中多個方面的應用，主要包括在復數(shù)計算中的應用、三角函數(shù)化簡中的應用、幾何問題中的應用、方程求解過程中的應用，以及在函數(shù)求值過程中的應用等。另外，整體思想還能運用于數(shù)列求和、函數(shù)極值等問題的求簡。通過上述例題的分析過程，不難看出，高中數(shù)學知識所涵蓋的內(nèi)容多、范圍廣，對邏輯思考能力及動手計算能力準確性的要求高。而整體思想具有極高的應用價值，它能夠幫助學生擅于從題目的已知條件中挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，掃除解題過程中不必要的障礙，找準突破口，進而達到提高解題效率及準確度的目的。

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