混頻誤差修正模型的有效性探討

孫 毅，秦 夢

（青島大學 經(jīng)濟學院，山東青島266071）

0 引言

宏觀經(jīng)濟的預測對制定宏觀經(jīng)濟政策來說尤為重要，諸多指標可反映宏觀經(jīng)濟的運行狀況和未來走勢，然而這些指標與用于預測這些指標的數(shù)據(jù)頻率往往有所差異，因此在建立傳統(tǒng)模型前必須對混頻數(shù)據(jù)進行處理，進而轉(zhuǎn)化為同頻數(shù)據(jù)，但這將造成信息的損失或虛增，不利于模型的預測效果。為克服這一缺陷，Ghysels E等[1]提出MIDAS混頻模型，可以將不同頻率的數(shù)據(jù)構(gòu)建在同一模型中，而不需要對原始數(shù)據(jù)進行處理。

MIDAS混頻模型可充分利用混頻數(shù)據(jù)信息，能夠提高預測精度，基于此，學者們對該模型進行了深入研究，MIDAS混頻模型也得到進一步發(fā)展。Clements M P等[2]提出帶有自回歸項的MIDAS混頻模型，用于解決例如GDP這樣存在自相關(guān)性的時間序列，并證明其優(yōu)于同頻自回歸模型。Foroni C等[3]提出無約束的MIDAS模型，并不是說它一定優(yōu)于有約束的MIDAS模型，而是兩者可以相互補充，針對不同情況選取最優(yōu)模型。G?tz T B等[4]提出的ECM-MIDAS模型和Miller J I[5]提出的CoMIDAS模型，都是對具有協(xié)整關(guān)系的不平穩(wěn)的時間序列在構(gòu)建混頻模型時，加入誤差修正項，避免不平穩(wěn)的混頻時間序列出現(xiàn)“偽回歸”，同時避免對不平穩(wěn)的時間序列差分后建立混頻模型，造成信息損失，以提高模型的預測精度。在本文中，ECM-MIDAS模型和CoMIDAS模型均可稱之為混頻誤差修正模型，但兩者的建模方法有所區(qū)別。

國內(nèi)學者基于以上兩種混頻誤差修正模型均有研究，李會會[6]基于ECM-MIDAS模型對通貨膨脹率進行預測研究，并得出ECM-MIDAS模型的預測效果優(yōu)于MIDAS模型和同頻模型的結(jié)論。劉漢[7]基于M1，運用CoMIDAS模型對GDP進行預測，證明該模型比AR模型的預測更準確，但并未證明其預測效果優(yōu)于無誤差修正項的混頻模型。由此可見，這兩種混頻誤差修正模型具有一定的合理性，可以處理非平穩(wěn)但具有協(xié)整關(guān)系的混頻數(shù)據(jù)。

然而，國內(nèi)外學者并沒有對上述兩種模型的預測效果進行比較，因此，為比較兩種混頻誤差修正模型的有效性，本文首先對兩種形式的混頻誤差修正模型進行推導，而后基于此以M2和GDP作為樣本數(shù)據(jù)構(gòu)建模型進行實證分析，最后與同頻誤差修正模型和無誤差修正項的同頻、混頻模型的預測效果相比較，證明了混頻誤差修正模型的有效性，且在此例中，ECM-MIDAS模型的預測效果要優(yōu)于CoMIDAS模型，但并非指ECM-MIDAS模型有絕對的優(yōu)勢，在進行實證分析時仍須具體問題具體分析，選擇最優(yōu)模型進行估計和預測，但實際上由于二者預測誤差相差不大，模型的選擇不會對結(jié)果有太大的影響。

1 MIDAS模型簡介

根據(jù)MIDAS模型是否設(shè)定滯后權(quán)重多項式，即是否對高頻解釋變量的滯后多項式參數(shù)施加約束條件，可將MIDAS模型分為有約束和無約束兩類。

1.1 有約束的MIDAS模型

所謂約束，就是指對高頻解釋變量的滯后多項式參數(shù)施加了某個或某些約束條件，如對滯后多項式設(shè)定權(quán)重，按照所設(shè)定的權(quán)重進行線性回歸或非線性回歸，而后求得其參數(shù)。有約束的MIDAS模型可寫為如下形式：

在式（1）中，Yt為被解釋變量（即低頻數(shù)據(jù)）；Yt-j為被解釋變量的滯后項；p為低頻被解釋變量的最高滯后階數(shù)；為解釋變量（即高頻數(shù)據(jù)）；m表示被解釋變量與解釋變量之間的頻率倍差，在本文中設(shè)定為月度數(shù)據(jù)，Yt為季度數(shù)據(jù)，則m的值為3；權(quán)重函數(shù)與滯后算子結(jié)合有；滯后算子有，其中k∈[1,K]；K+h-1為高頻解釋變量的最高滯后階數(shù)（以高頻頻率計算，下同）；h為向前預測的步數(shù)。

若Yt為季度數(shù)據(jù)序列，為月度數(shù)據(jù)序列，設(shè)Yt為2015年第四季度的數(shù)據(jù)，那么即為2015年12月的數(shù)據(jù)，為2015年11月的數(shù)據(jù)，為2015年10月的數(shù)據(jù)（也可寫為）為2015年9月的數(shù)據(jù)，以此類推。例如，設(shè)K=6，當h=0時（即沒有向前預測），MIDAS混頻模型可表示為：

當h=1時（即向前一步預測），MIDAS混頻模型可表示為：

式（2）與式（3）所使用的高頻解釋變量的個數(shù)相同，但滯后階數(shù)有所差異。

由于數(shù)據(jù)公布具有時滯性，例如季度GDP一般會在下個季度第一個月的中下旬公布，因此引入h步向前預測的MIDAS模型可以充分利用已公布的高頻數(shù)據(jù)信息對低頻數(shù)據(jù)進行預測。式（2）是根據(jù)所公布的當季第三月的高頻數(shù)據(jù)信息對本季低頻數(shù)據(jù)進行預測，兩者公布的時間相差不大，并未解決時滯性問題。而式（3）是根據(jù)所公布的當季第二月的高頻數(shù)據(jù)信息對本季低頻數(shù)據(jù)進行預測，兩者公布的時間相差40天左右，可解決時滯性問題，并可據(jù)此制定宏觀經(jīng)濟政策。

本文選用beta函數(shù)作為有約束的MIDAS混頻數(shù)據(jù)模型的權(quán)重函數(shù)，其權(quán)重函數(shù)形式可表示為：

其中：

1.2 無約束的MIDAS模型（U-MIDAS模型）

所謂無約束是相對于有約束而言的，由于有時約束的設(shè)定往往是主觀的，可能導致估計或預測的結(jié)果出現(xiàn)偏差。而由Foroni C等[3]提出的無約束的MIDAS模型，也可稱為U-MIDAS模型，則不需要對滯后多項式施加約束條件，可直接用最小二乘法進行回歸。無約束的MIDAS模型形式如下：

在式（5）中各變量的含義與式（1）相同，其最高滯后階數(shù)為K+h-1。無約束的MIDAS模型在使用上有一定的局限性，一般來說，當?shù)皖l變量與高頻變量之間的頻率倍差較小時（即m較小時），無約束的MIDAS模型較為有效，例如用季度數(shù)據(jù)與月度數(shù)據(jù)構(gòu)建U-MIDAS混頻模型。

2 誤差修正模型簡介

2.1 同頻誤差修正模型

由于本文僅使用兩個變量構(gòu)建混頻模型，因此有關(guān)誤差修正模型的討論，也是基于兩個變量進行分析，設(shè)被解釋變量為Yt，解釋變量為Xt。

由于經(jīng)濟中的時間序列往往是非平穩(wěn)的，為避免“偽回歸”，首先應(yīng)對時間序列進行平穩(wěn)性檢驗，若兩個時間序列具有相同的單整階數(shù)，那么可對這兩個時間序列進行協(xié)整檢驗，若存在協(xié)整關(guān)系，則兩變量間存在長期穩(wěn)定的關(guān)系。而如果將具有長期關(guān)系的不平穩(wěn)時間序列差分后變?yōu)槠椒€(wěn)序列，再進行回歸，將會損失重要信息。根據(jù)Granger定理，非平穩(wěn)的變量間若存在協(xié)整關(guān)系，那么必然可以建立誤差修正模型來描述變量間的短期動態(tài)關(guān)系[8]。誤差修正模型的建立主要有兩種方法，這兩種方法的前提都是假設(shè)存在協(xié)整關(guān)系。

第一種方法是進行協(xié)整回歸，得到殘差項，將殘差項作為誤差修正項，記為ecmt-1=Yt-1---1。則誤差修正模型可表示為：

再對式（6）進行最小二乘估計，求出其參數(shù)。這種方法的誤差修正項可在估計誤差修正模型前求出，僅須對誤差修正項的系數(shù)進行估計，此時長期關(guān)系與短期關(guān)系是分兩步獲得的。這種方法在實證分析中應(yīng)用得較為廣泛。

第 二 種 方 法 是 直 接 將 ΔYt=β1ΔXt-χ(Yt-1-α0-α1Xt-1)+μt的括號去掉，有：

然后對式（7）進行最小二乘估計，求出其參數(shù)。這種方法不僅要估計誤差修正項的系數(shù)，并且還要對誤差修正項進行估計，此時長期關(guān)系與短期關(guān)系是一并獲得的。

在式（6）和式（7）中，χ體現(xiàn)了誤差修正的速度，一般情況下0＜χ＜1,且ecmt-1前系數(shù)為負數(shù)，即當Yt-1大于長期均衡解α0+α1Xt-1時，ecmt-1＞0，而-χecmt-1＜0，使ΔYt減?。环粗嗳?。式（6）和式（7）是Xt、Yt均為滯后一期時所建立的誤差修正模型，對于滯后多期同理可得。

2.2 混頻誤差修正模型

2.2.1 ECM-MIDAS模型

ECM-MIDAS模型的構(gòu)建，G?tz T B等[4]提出了兩種方法，一種是基于同頻協(xié)整，另一種是基于混頻協(xié)整，在這里用U-MIDAS模型分別進行說明，并令h=1（h等于其他值時同理可得）。

（1）基于同頻協(xié)整構(gòu)建ECM-MIDAS模型

同頻協(xié)整的方法意味著從高頻數(shù)據(jù)中選取某一時期的數(shù)據(jù)，將高頻數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為低頻數(shù)據(jù)，然后構(gòu)建誤差修正項。與同頻誤差修正模型的建模方法類似，也存在兩種方法。

第一種方法，從高頻數(shù)據(jù)中選取某個時期，將其轉(zhuǎn)化為低頻數(shù)據(jù)，即使用與Yt進行協(xié)整回歸，其中i的取值范圍是[0,m-1]。將回歸殘差項作為誤差修正項，記為，則誤差修正模型可表示為：

在式（8）中，Δ1/m是指高頻解釋變量的差分是按高頻頻率計算的，在本文中，即用本月值減去上月值得到差分項；與式（5）相對應(yīng)，p-1為低頻被解釋變量差分項的最高滯后階數(shù)，K+h-2為高頻解釋變量差分項的最高滯后階數(shù)；χ與式（6）中χ的含義相同。而后對式（8）進行最小二乘估計，此時有無常數(shù)項β0均可，一般而言估計時會引入常數(shù)項，用此方法長期關(guān)系和短期關(guān)系是分兩步得到的。

第二種方法，直接進行估計。

當K＞i+m（即K+h-1＞i+m）時，

由式（5）、式（9）、式（10）整理可得誤差修正模型：

當K=i+m（即K+h-1=i+m）時，誤差修正模型可表示為：

當K＜i+m（即K+h-1＜i+m）時，誤差修正模型可表示為：

由上述兩種方法所構(gòu)建的ECM-MIDAS模型，長期關(guān)系中僅包含某一時期的高頻數(shù)據(jù)，即誤差修正項是同頻形式，而短期關(guān)系中包含高頻數(shù)據(jù)按高頻頻率計算而得的差分項。在實際應(yīng)用中i的取值沒有太大的影響，因為高頻數(shù)據(jù)具有很強的相關(guān)性，例如在一個季度中的各個月份的經(jīng)濟數(shù)據(jù)，除特殊情況外不會有太大的波動。

（2）基于混頻協(xié)整構(gòu)建ECM-MIDAS模型

上述同頻協(xié)整，高頻變量僅選取某一時期，本文中即選取每個季度中第一月、第二月或第三月的數(shù)據(jù)，而混頻協(xié)整可以選取更多的高頻數(shù)據(jù)構(gòu)造誤差修正項。將式（5）進行轉(zhuǎn)換可得：

誤差修正項，此時長期關(guān)系中包含多個時期的高頻數(shù)據(jù)，即誤差修正項是混頻形式，而短期關(guān)系中僅包含高頻數(shù)據(jù)按低頻頻率計算而得的差分項，在本文中，即用本季某月的高頻數(shù)據(jù)減去上季此月的高頻數(shù)據(jù)得到差分項。

然而對于協(xié)整檢驗來說，一般都是針對同頻數(shù)據(jù)，其檢驗方法更為成熟，因此相較于混頻數(shù)據(jù)來說，基于同頻數(shù)據(jù)進行協(xié)整回歸，得到的長期關(guān)系更可靠；再者，式（14）的短期關(guān)系中并未包含高頻數(shù)據(jù)以高頻頻率計算所得的差分項，因此基于同頻協(xié)整構(gòu)建ECM-MIDAS模型更具有準確性。為簡化估計和預測的過程，本文選取式（8）作為ECM-MIDAS模型，這也是G?tz T B等[4]和李會會[6]在實證分析中所運用的方法。

2.2.2 CoMIDAS模型

對于CoMIDAS模型的構(gòu)建①Miller J I[5]在構(gòu)建CoMIDAS模型時，令K=m_1，此時若m_=3則K=2，不能充分利用高頻數(shù)據(jù)信息，因此在本文中取消K=m_1這一限制，以期選取預測效果最優(yōu)的高頻解釋變量的滯后階數(shù)。，在這里仍用U-MIDAS模型進行說明，并仍令h=1（h等于其他值時同理可得）。

差修正項，CoMIDAS模型的方法也可看作是同頻協(xié)整構(gòu)建混頻誤差修正模型。其與基于同頻協(xié)整的ECM-MIDAS模型的區(qū)別在于，ECM-MIDAS模型中長期關(guān)系的高頻變量與低頻變量所處時期相同，如低頻變量為第一季度，則高頻變量為第一季度某月；而CoMIDAS模型中二者所處的時期不同，如低頻變量為第一季度，而高頻變量為第二季度第二月。此時，長期關(guān)系與短期關(guān)系也可一并求出。

與ECM-MIDAS模型相一致，本文所采用的CoMIDAS模型也是分兩步求出長期關(guān)系與短期關(guān)系，其公式是將式（8）中的誤差修正項替換為另外，本文令h=1，p=2（即ΔYt滯后一期）②由于預測結(jié)果較多，本文僅列出h=1和p=2時的預測結(jié)果，取其他值時同理可證。，則式（8）可寫為：

若式（16）為 ECM-MIDAS模型，則ecmt-1=Yt-1-，i是根據(jù)預測效果進行選?。蝗魹镃oMIDAS模型，則對于有約束的MIDAS模型，其混頻誤差修正模型的構(gòu)建同理可得。

3 基于混頻誤差修正模型的實證

3.1 數(shù)據(jù)選取

針對我國貨幣與產(chǎn)出的關(guān)系，眾多學者證實M2與GDP存在長期穩(wěn)定的協(xié)整關(guān)系，并且M2是GDP變化的重要原因[9-11]，因此本文選取了廣義貨幣M2和國內(nèi)生產(chǎn)總值GDP作為樣本數(shù)據(jù)進行實證分析。其中，M2為月度數(shù)據(jù)（2003年1月到2017年3月）來源于《中國人民銀行金融統(tǒng)計數(shù)據(jù)報告》，GDP為季度數(shù)據(jù)（2003年第一季度到2017年第一季度）來源于中華人民共和國國家統(tǒng)計局。本文將季節(jié)調(diào)整后（消除季節(jié)性及不規(guī)則性，下同）的季度GDP取對數(shù)后乘以100記為gdp，季節(jié)調(diào)整后的月度M2取對數(shù)后

乘以100記為m2，m0為每季第三月的m2，m1為每季第二月的m2，m2為每季第一月的m2。gdp、m2、m0、m1、m2的一階差分記為Δgdp、Δm2、Δm0、Δm1、Δm2。之所以對數(shù)據(jù)取對數(shù)后乘以100是因為它們在差分后，近似于增長率，具有一定的經(jīng)濟意義。

本文選用2003年2月到2014年3月的Δm2和2003年第二季度到2014年第一季度的Δgdp作為樣本內(nèi)數(shù)據(jù)建立混頻模型，用于預測2014年第二季度到2017年第一季度的Δgdp，本文使用預測的均方根誤差（即RMSE）來衡量預測效果，其計算公式為：

在式（17）中，i為對Δgdp預測的期數(shù)，其取值范圍是[1,T]；T為最高預測期數(shù)，在本文中T=12，且當i=1時是指對2014年第二季度的Δgdp進行預測，以此類推；Δgdpi為第i時期的真實值為第i時期的預測值。

3.2 單位根檢驗

首先對時間序列進行單位根檢驗，本文所采用的檢驗方法是ADF檢驗，其檢驗結(jié)果如表1所示：

表1 各變量ADF單位根檢驗結(jié)果

由表1可知，gdp、m2、m0、m1、m2均不能拒絕有單位根的原假設(shè)，即時間序列均不平穩(wěn)；其一階差分Δgdp、Δm2、Δm0、Δm1、Δm2在0.01的顯著性水平下均不存在單位根，即時間序列的一階差分均為平穩(wěn)序列。

3.3 協(xié)整檢驗

由于gdp、m0、m1、m2為一階單整序列，因此可檢驗gdp與m0、gdp與m1、gdp與m2、gdp的滯后一期與m1是否存在協(xié)整關(guān)系。由于僅含有兩個變量，因此可用E-G兩步法進行協(xié)整檢驗。首先進行協(xié)整回歸，求出其回歸殘差，分別記為e0、e1、e2、e3，而后對回歸殘差進行ADF單位根檢驗，若平穩(wěn)則存在協(xié)整關(guān)系。其殘差檢驗結(jié)果如表2所示：

表2 殘差的ADF單位根檢驗結(jié)果

由表2可知，e0、e1、e2在0.01的顯著性水平下不存在單位根，e3在0.05的顯著性水平下不存在單位根，而統(tǒng)計上習慣將顯著性水平定于0.05[12]，因此可得：e0、e1、e2、e3均為平穩(wěn)序列，即gdp與m0、gdp與m1、gdp與m2、gdp的滯后一期與m1存在協(xié)整關(guān)系，且均為（1,1）階協(xié)整。

3.4 混頻誤差修正模型的有效性研究

對于ECM-MIDAS模型，其誤差修正項可分別表示為：

對于CoMIDAS模型，其誤差修正項可表示為：

將上述四個誤差修正項分別帶入式（16）中，得到無約束的混頻誤差修正模型，其模型可表示為：若無ecm項，該模型就是將不平穩(wěn)的時間序列差分后變?yōu)槠椒€(wěn)序列構(gòu)建混頻模型。同理可得到有約束（本文中即權(quán)重函數(shù)為beta函數(shù)）的混頻誤差修正模型。對于不同的K，各個模型的RMSE如表3所示：

表3 各模型不同K值的RMSE

結(jié)合各模型的預測效果可得：

第一，U-MIDAS模型在滯后階數(shù)較小的情況下，其預測效果要優(yōu)于有約束的MIDAS模型，如表3中K=3、K=4時，這是由于U-MIDAS模型取消了滯后多項式的限制，避免了主觀權(quán)重的約束；然而隨著滯后階數(shù)的增加，其預測效果不如有約束的MIDAS模型，如表3中K＞4時，這是由于當滯后階數(shù)較高時，U-MIDAS模型需要估計的參數(shù)增多，使得模型估計能力下降，從而預測效果變差。

第二，在表3中，除了K=3時的有約束MIDAS模型外，其余模型，無論是使用ECM-MIDAS模型還是CoMIDAS模型的建模方法，在加入誤差修正項后均比之前的RMSE要小，這是由于未加入誤差修正項時，為進行平穩(wěn)建模，取其差分項進行回歸，這會損失原始數(shù)據(jù)的部分重要信息，導致預測效果不佳；而加入誤差修正項后，則充分利用數(shù)據(jù)信息，根據(jù)長期關(guān)系對其進行調(diào)整，使得預測效果更優(yōu)。

第三，在時間范圍一致的前提下，根據(jù)AIC、BIC準則及預測精度等指標選取相較而言最優(yōu)的同頻自回歸分布滯后（ARDL）模型求得帶誤差修正項和不帶誤差修正項的RMSE，其結(jié)果分別為：0.4056，0.6400，與混頻模型相一致，在加入誤差修正項后的預測效果更優(yōu)。由表3，除U-MIDAS模型滯后階數(shù)較高的情況外，混頻模型的預測效果始終優(yōu)于同頻模型，這是由于混頻模型可以充分利用各個月度數(shù)據(jù)的信息，提高了預測的準確性。

第四，當ECM-MIDAS模型的誤差修正項為式（18）、式（19）、式（20）時RMSE相差不大，相較之下在有約束時式（19）的RMSE較小，而無約束時式（18）的RMSE較小。對于ECM-MIDAS模型和CoMIDAS模型的RMSE，在有約束時，ECM-MIDAS模型優(yōu)于CoMIDAS模型的預測效果，而無約束時，當K=3、K=4時，ECM-MIDAS模型的RMSE較小，而K＞4時CoMIDAS模型的RMSE較小，之前討論過當K＞4時，U-MIDAS模型待估參數(shù)增多使得穩(wěn)定性下降，因此可以認為在此例中，ECM-MIDAS模型的預測效果更好。

4 結(jié)論

本文對混頻誤差修正模型的有效性進行實證研究，并得出了如下結(jié)論：首先，無約束的MIDAS模型適用于混頻數(shù)據(jù)的頻率倍差較小且滯后期較短，此時的預測效果優(yōu)于有約束的MIDAS模型，反之則反；其次，混頻模型比同頻模型的預測更準確；再者，無論是混頻模型還是同頻模型，加入誤差修正項后的預測精度明顯提高；最后，ECM-MIDAS模型和CoMIDAS模型作為混頻誤差修正模型均有效，在本文的實證分析中，ECM-MIDAS模型的預測效果更好，并不是說ECM-MIDAS模型可完全替代CoMIDAS模型，而是二者可以相互補充，在不同實證分析中選取最優(yōu)模型進行研究。