含多間隙柔性可展帆板動(dòng)力學(xué)建模及仿真

邱雪松，任志博，桂 朋，魏亞坤

(燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，秦皇島 066004)

0 引 言

太陽(yáng)帆板作為月球車(chē)的重要部件[1]，其展開(kāi)過(guò)程動(dòng)態(tài)特性不僅影響帆板自身的展開(kāi)精度及可靠性，同時(shí)會(huì)對(duì)月球車(chē)本體上精密儀器的工作產(chǎn)生強(qiáng)烈干擾，直接影響月球車(chē)性能。而帆板結(jié)構(gòu)的柔性和各級(jí)帆板鉸鏈間隙則是導(dǎo)致帆板在展開(kāi)過(guò)程中呈現(xiàn)復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為的重要因素。目前，太陽(yáng)帆板逐漸向輕質(zhì)化和柔性化發(fā)展[2]，且含隙鉸對(duì)可展機(jī)構(gòu)的不利影響已在多種空間機(jī)構(gòu)中體現(xiàn)，影響系統(tǒng)的精確運(yùn)行。因此可展機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)建模必須考慮鉸間隙和柔性因素的影響。

目前，學(xué)者在建立各類(lèi)含間隙機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型時(shí)多考慮了結(jié)構(gòu)柔性的影響，并進(jìn)行了深入的研究[3]。Schwabeta等[4]研究了轉(zhuǎn)動(dòng)副間隙機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，分別建立了含剛性構(gòu)件、柔性構(gòu)件的模型，并介紹了一種估算間隙內(nèi)碰撞產(chǎn)生的最大接觸力的方法；Chunmeietal等[5]用統(tǒng)一的動(dòng)態(tài)模型分析含間隙柔性四連桿機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，并分析間隙和桿件彈性對(duì)機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性的影響；考慮關(guān)節(jié)處元件柔性、間隙、摩擦的影響，Shiau等[6]分析了考慮間隙和構(gòu)件柔性的并聯(lián)機(jī)構(gòu)的非線性動(dòng)態(tài)特性；Khemili和Romdhane[7]研究了含間隙柔性曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性，利用ADAMS進(jìn)行仿真分析，并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。結(jié)果表明：間隙對(duì)機(jī)構(gòu)的響應(yīng)有明顯影響，且桿件的柔性緩解了間隙產(chǎn)生的影響；Bauchau和Rodrigez[8]兩人研究了間隙和潤(rùn)滑對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)副和球副的影響，在能量守恒和衰減時(shí)間積分的基礎(chǔ)上構(gòu)建方程，通過(guò)數(shù)值實(shí)例校驗(yàn)了所用方法的有效性和準(zhǔn)確性；Liu等[9]提出了一種近似模型描述間隙圓柱副接觸性能。通過(guò)適當(dāng)假設(shè)，分析有限元結(jié)果中的接觸區(qū)域、壓力以及最大持續(xù)應(yīng)力，并將銷(xiāo)作為剛性楔體以及將彈性板作為簡(jiǎn)單的溫克勒彈性地基，最終建立了含間隙的圓柱副接觸問(wèn)題的近似模型；Erkaya和Uzmay[10]使用試驗(yàn)和理論的方法研究了間隙對(duì)機(jī)械振動(dòng)和噪聲的影響，結(jié)果表明含運(yùn)動(dòng)副間隙時(shí)的振動(dòng)和噪音均高于不含間隙時(shí)；Flores等[11]通過(guò)數(shù)值和實(shí)驗(yàn)方法對(duì)含間隙曲柄滑機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行研究；趙和白[12]研究了含間隙空間機(jī)械手的動(dòng)態(tài)特性，使用非線性等價(jià)彈簧阻尼模型建立了間隙接觸模型；在考慮摩擦的情況下，利用庫(kù)侖摩擦模型。Tian等[13]提出一種建立含圓柱副間隙的空間柔性多體系統(tǒng)模型的方法，即利用絕對(duì)坐標(biāo)法建立柔性部件模型，使用自然坐標(biāo)法建立剛性部分模型，研究圓柱鉸鏈間隙處的干摩擦和潤(rùn)滑對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力性能的影響，通過(guò)兩個(gè)例子校驗(yàn)了方法的正確性。郭軍等[14]基于柔性桿件的有限段模型，使用拉格朗日方程建立了含剛性支座的雙聯(lián)桿柔性機(jī)械臂的剛、柔混合多體動(dòng)力學(xué)模型。結(jié)果表明：該模型即可宏觀上模擬柔性桿件的大范圍剛體運(yùn)動(dòng)，又可以在微觀層次上模擬各柔性臂的彈性變形。Oskar等[15]學(xué)者以柔性帆板為研究對(duì)象，利用SIMPACK軟件分析了帆板柔性對(duì)可展機(jī)構(gòu)展開(kāi)過(guò)程的動(dòng)力學(xué)特性影響。谷勇霞等[16]利用ADMAS軟件建模分析了含柔性和間隙的二級(jí)太陽(yáng)帆板展開(kāi)過(guò)程的動(dòng)力學(xué)行為，得出間隙數(shù)目的增加會(huì)增加鉸鏈處碰撞的劇烈程度和頻率的結(jié)論。孫紅麗等[17]利用有限元方法對(duì)帆板進(jìn)行離散化，使用Kane方程建立了柔性展開(kāi)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型。史加貝等[18]基于共旋坐標(biāo)法和板殼理論，建立了大型太陽(yáng)電池陣展開(kāi)過(guò)程的動(dòng)力學(xué)模型。段柳成等[19]基于Jourdain速度變分原理和單向遞推組集方法，建立太陽(yáng)陣展開(kāi)與鎖定過(guò)程的剛?cè)狁詈隙囿w系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，預(yù)測(cè)了太陽(yáng)陣展開(kāi)歷程及航天器本體姿態(tài)擾動(dòng)情況。

上述以一般環(huán)境的活動(dòng)件或一次性空間可展機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象進(jìn)行的研究，為具有柔性特征的含間隙機(jī)構(gòu)的建模、仿真研究奠定了基礎(chǔ)。結(jié)合月球車(chē)兩級(jí)往復(fù)可展太陽(yáng)帆板(下文簡(jiǎn)稱(chēng)可展帆板)在低重力條件下重復(fù)折展的工作特點(diǎn)，采用L-N模型描述運(yùn)動(dòng)副間隙引發(fā)的接觸碰撞，使用修正庫(kù)倫模型描述鉸間隙的摩擦力，利用有限元法對(duì)帆板進(jìn)行柔性化[20]，建立多間隙-柔性耦合的動(dòng)力學(xué)模型，對(duì)其展開(kāi)過(guò)程進(jìn)行分析，為后續(xù)的非線性動(dòng)態(tài)特性的深入研究提供前提，為改善多級(jí)可展太陽(yáng)帆板性能、提高展開(kāi)精度及可靠性提供理論基礎(chǔ)。

1 可展帆板機(jī)構(gòu)及工作原理

可展帆板主要由基體、內(nèi)外帆板、同步傳動(dòng)機(jī)構(gòu)等組成，參見(jiàn)圖1。同步傳動(dòng)機(jī)構(gòu)將鋼絲繩內(nèi)錯(cuò)纏繞并固定在兩鋼絲繩輪，使用伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)兩級(jí)帆板同步異向展開(kāi)。同步傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的兩帶輪半徑相同以保證展開(kāi)角速度大小相同。該驅(qū)動(dòng)方式可控制帆板的展開(kāi)角度、展開(kāi)速度，實(shí)現(xiàn)帆板的重復(fù)折疊展開(kāi)，以適應(yīng)帆板月夜折疊、月晝展開(kāi)的功能需求。含間隙鉸鏈由滑動(dòng)軸承和銷(xiāo)軸組成，轉(zhuǎn)動(dòng)副的運(yùn)動(dòng)功能使得滑動(dòng)軸承與銷(xiāo)軸之間必然存在間隙。當(dāng)帆板展開(kāi)時(shí)，含隙鉸的軸承與銷(xiāo)軸因間隙而表現(xiàn)出偏心，從而引發(fā)二者間不斷的分離-接觸-碰撞沖擊，進(jìn)而影響系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性、帆板的展開(kāi)精度及穩(wěn)定性。由于可展帆板為平面機(jī)構(gòu)，因此在建立帆板鉸間隙模型時(shí)僅考慮徑向間隙變化。

2 柔性可展帆板含隙鉸模型

2.1 間隙描述

圖2表達(dá)了機(jī)構(gòu)運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，鉸間隙的一般狀態(tài)，即由于軸套與軸頸的偏心引起二者的偏心斜碰撞，并因碰撞而產(chǎn)生彈性變形。建立絕對(duì)坐標(biāo)系XOY，各矢量的位置見(jiàn)圖2。

間隙偏心矢量e：

e=rO1-rO2=[ex,ey]T

(1)

軸承與銷(xiāo)軸碰撞引起的碰撞變形即碰撞深度為：

(2)

式中：RO1,RO2分別為軸承與銷(xiāo)軸的半徑。

2.2 間隙鉸模型

如圖2所示，接觸點(diǎn)P和Q的絕對(duì)坐標(biāo)為：

(3)

則可得到法向速度和切向速度：

(4)

式中：n為偏心矢量的單位法向量，大小為

(5)

綜合考慮能量損失、碰撞體材料、彈性變形等因素，采用L-N模型描述法向力：

(6)

式中：ce為恢復(fù)系數(shù)。

(7)

式中：νi為泊松比；Ei為彈性模量；σi為中間量。

為防止切向相對(duì)速度vt為0時(shí)接觸力出現(xiàn)突變, 采用修正的Coulomb模型處理摩擦影響,切向摩擦力表達(dá)為：

(8)

式中：cf為靜摩擦系數(shù)；cd為動(dòng)摩擦系數(shù)：

(9)

式中：v0,v1為給定的速度極限值。

綜上，間隙處接觸碰撞力矢量Fp表達(dá)為：

Fp=(Fn+Ft)+

(10)

下標(biāo)“+”表示當(dāng)δ≥0表示軸套與軸頸發(fā)生接觸碰撞，此時(shí)間隙處產(chǎn)生接觸碰撞力；當(dāng)δ<0表示間隙運(yùn)動(dòng)副元素間沒(méi)有發(fā)生碰撞，此時(shí)間隙處沒(méi)有產(chǎn)生接觸碰撞力，即Fp= 0。

3 柔性可展帆板含間隙動(dòng)力學(xué)模型

柔性可展帆板動(dòng)力學(xué)模型是基于剛性可展帆板模型，采用有限元法對(duì)帆板進(jìn)行柔性處理后建立，基本方法如下：

(1) 基于理想剛體，分析可展帆板運(yùn)動(dòng)特性。

(2) 基于剛性可展帆板運(yùn)動(dòng)分析，解析系統(tǒng)慣性力及瞬時(shí)外力。將帆板瞬時(shí)固定，施加慣性力及此瞬時(shí)外力，分析帆板瞬時(shí)的彈性變形運(yùn)動(dòng)。

(3) 將剛性可展帆板運(yùn)動(dòng)與可展帆板的瞬時(shí)彈性運(yùn)動(dòng)相互疊加，建立柔性可展帆板動(dòng)力學(xué)模型。

3.1 剛性可展帆板含間隙動(dòng)力學(xué)模型

由于二級(jí)帆板機(jī)構(gòu)展開(kāi)過(guò)程是平面運(yùn)動(dòng)，故將其簡(jiǎn)化為平面連桿機(jī)構(gòu)。帆板等效處理后，受力如圖3所示。

基于牛頓-歐拉法，建立可展帆板1，2的剛體動(dòng)力學(xué)方程，分別如下:

(11)

式中：Rj2為銷(xiāo)軸半徑，j=A,B；Jm為繞m點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，m=O2,O4；li為帆板i的長(zhǎng)度；Gi為帆板i所受的重力；lsi為帆板i質(zhì)心與鉸鏈中心距離；θi為帆板i位姿角；φi為接觸角；axi,ayi為帆板i質(zhì)心沿X,Y方向的加速度；Ti為作用在帆板i上的轉(zhuǎn)矩，i=1,2；F31x,F31y,F21x,F21y,F12x,F12y為間隙碰撞力。

3.2 可展帆板柔性化

假定桿單元的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為δ1,δ2,δ3,δ4,δ5,δ6，如圖4所示。其上任一點(diǎn)H距節(jié)點(diǎn)1的距離為x，變形為u,w，寫(xiě)成矩陣形式為m=[uw]T,u,w分別為點(diǎn)H沿桿長(zhǎng)方向以及垂直桿方向的變形。

基于上述假設(shè)，建立帆板1變形函數(shù)：

(12)

則可得到帆板1單元廣義力：

(13)

式中：P1，P2分別為帆板1在X,Y方向上的慣性力，P3為繞帆板質(zhì)心的慣性力矩。

則可建立帆板1的單元廣義力矢量：

Q1=[Q1Q2Q3Q4Q5Q6]T

(14)

同理，可得到帆板2的單元廣義力矢量Q2=[Q7Q8Q9]T，則可得到系統(tǒng)的單元廣義力矩陣：

Q=[Q1Q2]T

(15)

根據(jù)形函數(shù)可以得到桿的彈性應(yīng)變能U，動(dòng)能T：

(16)

式中，E為帆板的彈性模量，A為帆板橫截面積，I為截面慣性矩，ρ為單位長(zhǎng)度的質(zhì)量。

式(17)拉格朗日方程：

(17)

式中，Qn為節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)δn下的單元廣義力。

將式(16)帶入式(17)，可得到展開(kāi)機(jī)構(gòu)展開(kāi)過(guò)程中的質(zhì)量矩陣M，剛度矩陣K。

3.3 含雙間隙柔性可展帆板動(dòng)力學(xué)模型

基于剛性及彈性運(yùn)動(dòng)的等效運(yùn)動(dòng)疊加，建立含間隙柔性可展帆板動(dòng)力學(xué)模型：

(18)

4 數(shù)值求解和結(jié)果分析

給定兩級(jí)帆板展開(kāi)運(yùn)動(dòng)規(guī)律：帆板1的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為θ1=-0.25πcos(0.2πt)+0.25π，帆板2的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為θ2=0.25πcos(0.2 πt)-0.25π。給定初始間隙值c=0.05 mm，摩擦系數(shù)cf= 0.01，帆板運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)為5 s。其他相關(guān)參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 可展帆板幾何與慣性參數(shù)Tabble 1 Geometrical and inertial parameters of plane

含間隙可展帆板間隙處的碰撞一般為低速、頻繁碰撞，可根據(jù)前后碰撞體穿透深度來(lái)判別碰撞。設(shè)δ(t)、δ(t+Δt)分別為t時(shí)刻和t+Δt時(shí)刻鉸鏈間隙處碰撞體穿透深度，當(dāng)δ(t+Δt)·δ(t)≤0成立時(shí)，可判定在時(shí)間Δt內(nèi)間隙處運(yùn)動(dòng)副元素之間至少發(fā)生一次碰撞。利用MATLAB軟件進(jìn)行數(shù)值求解[21],數(shù)值求解過(guò)程如圖6。

4.1 帆板柔性對(duì)帆板展開(kāi)過(guò)程的影響

保持帆板展開(kāi)規(guī)律不變，數(shù)值仿真分析帆板柔性變形對(duì)帆板展開(kāi)過(guò)程的影響，參見(jiàn)圖7和圖8。圖7表示帆板展開(kāi)過(guò)程中柔性對(duì)帆板質(zhì)心加速度的影響。結(jié)合圖(a)、(b)分析可知，含間隙柔性可展帆板的質(zhì)心加速度的上下波動(dòng)，是由帆板彈性變形和鉸鏈處間隙共同作用引起的。在帆板展開(kāi)初始時(shí)期，對(duì)帆板質(zhì)心加速度產(chǎn)生影響的因素中，間隙起主要作用；隨著時(shí)間變化，間隙影響迅速減小，此時(shí)帆板彈性變形起主要作用。

圖8為柔性引入對(duì)帆板間隙處碰撞力的影響。由圖8(a)和(b)比較分析可知，帆板柔性會(huì)減弱間隙處碰撞的劇烈程度，減小碰撞力幅值，但帆板機(jī)構(gòu)趨于平穩(wěn)運(yùn)行狀態(tài)的時(shí)間明顯延長(zhǎng)，且達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài)的過(guò)程中碰撞力變化是相對(duì)連續(xù)的。這是因?yàn)榉迦嵝詫?duì)碰撞有緩沖作用，減小了碰撞能量和能量損失速度，使碰撞-分離-碰撞的次數(shù)變多。

4.2 雙間隙對(duì)帆板展開(kāi)動(dòng)態(tài)特性影響

保持展開(kāi)規(guī)律不變，數(shù)值仿真分析單、雙間隙對(duì)柔性帆板展開(kāi)的影響。圖 9顯示銷(xiāo)軸中心軌跡。比較圖9(a)和(c)可知，機(jī)構(gòu)中多間隙的存在，使鉸鏈間隙縮小碰撞范圍：比較圖9(a)和(b)可知，間隙鉸鏈相對(duì)于機(jī)架的位置直接影響鉸鏈間隙碰撞的幅度及范圍；且間隙的影響可疊加耦合至機(jī)架處鉸鏈，引起其碰撞幅度及范圍的減小。因此，多間隙的存在，引起鉸鏈間隙動(dòng)態(tài)特性耦合和遠(yuǎn)端間隙碰撞能量消耗，間接減小了機(jī)架處鉸鏈間隙碰撞的范圍。

圖10顯示帆板間隙處碰撞力的變化情況。比較圖10(a)和(c)可知，多間隙的存在，增加了碰撞力峰值和碰撞頻率，并使趨于穩(wěn)定狀態(tài)的時(shí)間縮短，但最終碰撞力的大小都穩(wěn)定在200 N左右；比較圖10(a)，(b)，(c)可知，間隙鉸鏈相對(duì)于機(jī)架的位置直接影響鉸鏈間隙處的碰撞力，且遠(yuǎn)端鉸鏈間隙的影響可疊加耦合至機(jī)架處鉸鏈間隙。因此，多間隙的存在可引起動(dòng)態(tài)特性的耦合，增大鉸鏈間隙的接觸碰撞力。

5 結(jié) 論

(1)用修正的庫(kù)倫模型和L-N接觸碰撞力模型描述間隙，利用有限元法對(duì)帆板柔性處理，是對(duì)含間隙機(jī)構(gòu)進(jìn)行柔性動(dòng)力學(xué)研究的有效方法。應(yīng)用該方法描述可重復(fù)折展太陽(yáng)帆板展開(kāi)過(guò)程，可方便分析帆板柔性、間隙對(duì)可展帆板動(dòng)態(tài)性能的影響。

(2)在不影響展開(kāi)機(jī)構(gòu)剛度的前提下，帆板柔性可補(bǔ)償因鉸間隙引起的加速度波動(dòng)，進(jìn)而改善帆板展開(kāi)機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性。

(3)帆板展開(kāi)過(guò)程中間隙鉸運(yùn)動(dòng)副元素間的碰撞力將加速鉸鏈的疲勞破壞，對(duì)展開(kāi)機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性產(chǎn)生不良影響。通過(guò)分析碰撞力響應(yīng)可知，帆板柔性特性會(huì)減弱間隙處碰撞的劇烈程度，減小碰撞力幅值，但帆板機(jī)構(gòu)趨于平穩(wěn)運(yùn)行狀態(tài)的時(shí)間明顯滯后。

(4)鉸鏈間隙數(shù)目的增加，碰撞力峰值和頻率也隨之變大。間隙鉸鏈相對(duì)于機(jī)架的位置則影響鉸鏈間隙處的接觸-碰撞狀態(tài)，且遠(yuǎn)端鉸鏈間隙的影響可疊加耦合至機(jī)架處鉸鏈間隙。