單頂點多折痕折紙形式啟發(fā)的空間折展機構(gòu)

廣晨漢，劉 迎，楊 洋

(北京航空航天大學(xué)機械設(shè)計及自動化系，北京 100191)

0 引 言

受運載火箭整流罩尺寸的限制，衛(wèi)星的一些功能部件(如：天線等)需在衛(wèi)星發(fā)射時折疊收納待衛(wèi)星入軌后展開。折疊收納及展開的動作主要依靠折展機構(gòu)實現(xiàn)?，F(xiàn)階段對折展機構(gòu)的研究主要集中在大口徑空間構(gòu)架式可展天線機構(gòu)上[1-5]，其主要思路是通過對已有的平面或空間機構(gòu)單元進行組合而構(gòu)成大型可展機構(gòu)，展開金屬網(wǎng)面天線。而近年來，適用于小衛(wèi)星的固體反射面天線機構(gòu)的研究則較少[5-6]。

折紙是一種將二維平面折成三維結(jié)構(gòu)的藝術(shù)形式，折紙的變形特征對折展機構(gòu)的研究提供了一種新的思路。已有的基于折紙的空間折展機構(gòu)的研究主要集中在空間可展天線及空間可展太陽能電池板上。文獻[7-8]介紹了一種基于flasher折紙形式的可展太陽能陣列。文獻[9]介紹了一種將flasher折紙形式剪切后衍生出的，可用作可展太陽能電池板的可展陣列。文獻[10]展示了一種通過去除flasher折紙形式中的一組或兩組中心對稱單元，使其在處于展開狀態(tài)時形成近似拋物面的可展拋物面天線。基于flasher折紙形式，文獻[11]展示了一種利用折疊時儲存的材料變形能進行展開的薄殼可展天線。

上述文獻介紹的折展機構(gòu)幾乎都需要借助額外的單自由度機構(gòu)輔助展開，這對于較大的空間設(shè)備是可以接受的。但是對于結(jié)構(gòu)需要精簡的小衛(wèi)星，需要避免添加額外機構(gòu)。

文獻[12-13]介紹了一種由Flasher折紙形式啟發(fā)的多瓣式可展固體反射面天線。其不需要額外的驅(qū)動機構(gòu)，但所需的驅(qū)動器數(shù)量較多，且結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，故不適用于小衛(wèi)星。文獻[14]展示了一種單頂點多折痕折紙形式啟發(fā)的可將平面結(jié)構(gòu)折疊的空間折展機構(gòu)，可用于可展太陽能電池板。此機構(gòu)結(jié)構(gòu)及構(gòu)型簡單，只需一個驅(qū)動器就可完成自身展開，因此非常適用于小衛(wèi)星。

進一步研究發(fā)現(xiàn)，文獻[14]中論述的機構(gòu)，不僅能將平面結(jié)構(gòu)折疊，還能將可包絡(luò)回轉(zhuǎn)曲面的錐形結(jié)構(gòu)折疊。但是，文獻[14]中僅介紹了可將平面結(jié)構(gòu)折疊的可展機構(gòu)扇頁部分在折疊與展開狀態(tài)下的幾何設(shè)計模型，并未提出可將錐形結(jié)構(gòu)進行折疊的可展機構(gòu)扇頁部分在折疊與展開狀態(tài)下的幾何設(shè)計模型。

針對上述問題，對受單頂點多折痕折紙形式啟發(fā)的空間折展機構(gòu)的構(gòu)型進行介紹，并展示了此類機構(gòu)也可將包絡(luò)回轉(zhuǎn)曲面的錐形結(jié)構(gòu)進行折展。然后，本文提出了可將錐形結(jié)構(gòu)進行折疊的可展機構(gòu)扇頁部分在折疊與展開狀態(tài)下的幾何設(shè)計模型。最后，對此幾何設(shè)計模型及平面折疊幾何設(shè)計模型進行了近似簡化，使其可以便捷地驗證機構(gòu)的幾何設(shè)計是否滿足約束條件，并通過算例計算進行了驗證。

1 機構(gòu)構(gòu)型

單頂點多折痕折紙形式是一種常見的折紙形式，如圖1所示。圖1中實線折痕為峰折痕，虛線折痕代表谷折痕，兩種折痕代表著不同(相反)的折疊方向。

若將圖1中的每相鄰兩條折痕所夾的紙認為剛體，將折痕認為轉(zhuǎn)動副，則圖中的機構(gòu)本質(zhì)上為球面機構(gòu)，自由度并不為1。同時，圖1中紙的厚度被認為是0，但在實際中，并不存在厚度為0的物體。

因此，對紙增添厚度并對機構(gòu)進行調(diào)整，得到了如圖2的折展機構(gòu)。此機構(gòu)的自由度為1。文獻[14]運用旋量的方法[15-16]對此機構(gòu)的單自由度特性進行了證明。

每個機構(gòu)單元由5個構(gòu)件組成，如圖2所示。構(gòu)件1及構(gòu)件2為圓心角(圓心角α=π/n)相等的兩片扇頁，這兩個構(gòu)件鉸接。構(gòu)件1與構(gòu)件3之間通過圓柱副連接，構(gòu)件2與構(gòu)件4之間亦通過圓柱副連接。每個扇頁上的鉸鏈軸線與圓柱副軸線間的關(guān)系為空間互異。構(gòu)件3與構(gòu)件4都鉸接在構(gòu)件5(基座)上。此機構(gòu)單元的自由度為1，因此此機構(gòu)單元圓周陣列構(gòu)成的整個機構(gòu)(共有2n片扇頁)的自由度亦為1。

如圖3所示，若保證一份扇頁上的圓柱副的軸線與鉸鏈的軸線成異面直線的關(guān)系，將平面扇頁(完整圓平板的1/2n等份)替換為圓錐扇頁(完整圓錐板的1/2n等份)，甚至將圓錐板的上表面加工為回轉(zhuǎn)曲面(例如可展天線中常用的拋物面)，都能按照此機構(gòu)的方式展開，如圖4所示。圖4中，機構(gòu)扇頁的上表面都被處理為拋物面，展開后可用作小衛(wèi)星的折展天線。

2 幾何模型

機構(gòu)處于折疊狀態(tài)與展開狀態(tài)的幾何模型是判斷機構(gòu)能否滿足設(shè)計要求的依據(jù)，同時也是計算折展比的基礎(chǔ)。為此對機構(gòu)處于折疊狀態(tài)與展開狀態(tài)的幾何模型進行建模。為快速、便捷地判斷設(shè)計是否滿足約束條件，將幾何模型進行近似簡化。

本文中只考慮扇頁部分在折疊時與未折疊時的幾何模型。其他構(gòu)件的幾何設(shè)計可在扇頁部分幾何模型確定后進行。

2.1 無錐度模型

折展機構(gòu)展開狀態(tài)的折展機構(gòu)的大徑為2R，小徑為2r，展開狀態(tài)的高度與扇頁的厚度相等，即Hunfold=h。以n=10為例，如圖5。

折疊后，內(nèi)孔為截面為正n邊形的棱柱，如圖6。正n邊形的邊長為l=2h。

折疊后的機構(gòu)的中心孔內(nèi)切圓半徑為：

(1)

機構(gòu)外接圓半徑為：

(2)

機構(gòu)的整體高度為：

Hfold=R-cosα

(3)

將式(2)對n求導(dǎo)數(shù)，可得：

(4)

式(4)的形式較為復(fù)雜，故對其進行近似簡化。在實際設(shè)計時，一般R>>h，即：

rout=rin+Rsinα

(5)

將式(5)對n求導(dǎo)數(shù)，可得：

(6)

2.2 有錐度模型

展開狀態(tài)的折展機構(gòu)的大徑為2R，小徑為2r，展開狀態(tài)的高度為Hunfold，板的厚度為h，錐角為π-2β。以此為例，各塊之間鉸接，組成一個封閉環(huán)，如圖7。

如圖8所示γ為機構(gòu)展開時其中一份的面ABCD(面2)與側(cè)面CDFE(面3)所夾的二面角。

可求得：

(7)

其中，面ABCD(面2)與機構(gòu)俯視平面xOz(面1)所夾的二面角為θ，即：

(8)

折疊后，內(nèi)孔截面為2n邊形的棱柱，如圖9。2n邊形的邊長為h。

折疊后的機構(gòu)的中心孔內(nèi)切圓半徑為：

(9)

所以，折疊后的機構(gòu)的中心孔內(nèi)切圓半徑可近似為：

(10)

機構(gòu)外接圓直徑為：

(11)

或

(12)

機構(gòu)的整體高度為：

(13)

實際設(shè)計中，一般R>>h、τ≈α且γ≈90°，則有：

(14)

(15)

Hfold=secβ(R-rcosα)

(16)

將式(15)對n求導(dǎo)數(shù)，可得：

(17)

2.3 近似幾何模型

比較式(17)與式(6)，發(fā)現(xiàn)只相差secβ。當(dāng)β=0°時，secβ=1，可將式(6)與式(17)統(tǒng)一為：

(18)

(19)

可求得在一定條件下使rout最小的n。而n為不小于3的整數(shù)，故需求得n(在實際設(shè)計時，機構(gòu)的扇頁數(shù)盡量少)。這樣使機構(gòu)外接圓直徑rout最小的nmin為：

nmin=n

(20)

同時發(fā)現(xiàn)，式(16)與式(3)，式(15)與(5)也只相差secβ，這樣無錐度與有錐度的折展機構(gòu)的設(shè)計方法可統(tǒng)一，結(jié)果見表1。

表1 近似幾何模型Table 1 Approximate geometry model

3 算例與誤差校驗

本章中列出一組設(shè)計尺寸，如表2所示，以展示rout、rin及Hout的隨n的變化趨勢，以及近似模型與解析模型的誤差。

表2 設(shè)計尺寸Table 2 Designing dimensions

3.1 無錐度模型的尺寸變化趨勢及誤差

將表2中的數(shù)據(jù)帶入式(1)、式(5)及式(3)中，并通過式(18)求得nmin，結(jié)果如圖10及圖11。

將式(2)與式(5)作差，并取絕對值，繪制出近似后的折疊狀態(tài)外接圓半徑rout與理論的折疊狀態(tài)外接圓半徑rout的誤差變化曲線，如圖12?？梢园l(fā)現(xiàn)，在近似條件下，誤差很小，可以忽略。

從圖10可以看出rout的變化曲線實際上是內(nèi)凹的，存在使rout最小的點。同時，在接近最小值點的曲線段上的斜率值較小且變化平緩，在實際設(shè)計時，在rout滿足要求的情況下，可以盡量選更小的n值，使扇頁數(shù)盡量少。

圖11展示出與直觀理解不同的現(xiàn)象，rin不是固定的，會隨著n的增大而增大。這意味著折疊后的機構(gòu)的中心孔可以被利用，容納某些功能結(jié)構(gòu)，如：空間可展天線的次鏡等。

在Rh(約R>10h)時，如圖12所示，近似模型對rout引入的誤差相對于rout非常小，可以忽略不計。所以在實際設(shè)計時，可以直接采用近似模型來進行設(shè)計。

3.2 有錐度模型的尺寸變化趨勢及誤差

將表2中的數(shù)據(jù)代入式(10)、式(12)及式(13)中，并通過式(18)求得nmin，結(jié)果如圖13及圖14。

如圖13所示，有錐度模型的rout的變化趨勢一致，存在使rout最小的點。在實際設(shè)計時，選取n的思路與無錐度模型的一致。

如圖14所示有錐度模型的rin的變化趨勢與無錐度模型的一致。

將式(10)與式(14)作差，式(12)與式(15)作差，式(13)與式(16)作差并取絕對值，繪制出近似后的rout與理論rout的誤差變化曲線，近似后的rin與理論的rin的誤差變化曲線，近似后的Hfold與理論的Hfold的誤差變化曲線，如圖15?？梢园l(fā)現(xiàn)，在近似條件下，rout誤差及的rin誤差很小，可以忽略。而rout的誤差在n=18時大約為6.7%，并且近似值大于非近似模型值。意味著在Rh(約R>10h)時，近似幾何模型可以快速判斷機構(gòu)的幾何尺寸是否滿足設(shè)計要求。

3.3 折展比

折展比是反映機構(gòu)折展能力的重要參數(shù)。折展比又分為徑向折展比和軸向折展比。徑向折展比定義為：

(21)

軸向折展比定義為

(22)

對無錐度展開模型的算例，如圖10所示，其nmin=17。此時，rout=887 mm,Hfold=2107 mm，將其帶入式(21)及式(22)分別計算出徑向折展比λr=0.355及軸向折展比λa=0.421。

對有無錐度展開模型的算例，如圖13所示，其nmin=18。此時，rout=955 mm,Hfold=2432 mm，將其代入式(21)及式(22)分別計算出徑向折展比λr=0.382及軸向折展比λa=0.486。

文獻[5]中介紹的可展固體反射面天線的徑向折展比在0.36～0.44之間，軸向折展比在0.37～0.54之間。本文所介紹的折展機構(gòu)的折展比在算例幾何尺寸條件下持平于現(xiàn)有的可展天線的折展比，當(dāng)h/R更小時，機構(gòu)的折展比會優(yōu)于現(xiàn)有可展天線的折展比，說明此機構(gòu)在可展天線方面有一定的應(yīng)用潛力。

4 結(jié) 論

單頂點多折痕折紙形式啟發(fā)的空間折展機構(gòu)構(gòu)型不僅可將平面結(jié)構(gòu)進行折展，也能將可包絡(luò)回轉(zhuǎn)曲面的錐形結(jié)構(gòu)進行折展。

介紹了此類機構(gòu)處于展開狀態(tài)及折疊狀態(tài)的幾何設(shè)計模型，并在工程應(yīng)用所允許的范圍內(nèi)對其進行了近似簡化，可以快速判斷設(shè)計是否滿足尺寸約束條件。

通過算例發(fā)現(xiàn)有錐度的模型與無錐度模型都具有使折疊狀態(tài)下機構(gòu)外接圓半徑值最小的最小值點(nmin)。同時，機構(gòu)的折展比與現(xiàn)有的空間可展固體反射面天線的折展比相當(dāng)，甚至更優(yōu)。