基于Hartley變換的地磁場(chǎng)延拓技術(shù)

武立華,劉志海，孟 霆，黃 玉

(哈爾濱工程大學(xué) 理學(xué)院,黑龍江 哈爾濱 150001)

1 磁異常數(shù)據(jù)的Hartley變換

Hartley變換是一種類(lèi)似于傅里葉變換的實(shí)數(shù)域積分變換方法， Hartley變換在圖像處理、模式識(shí)別等許多領(lǐng)域內(nèi)已被廣泛利用[1-5]，但很少用于位場(chǎng)延拓處理中. 本文將Hartley變換應(yīng)用到磁異常延拓積分迭代法中來(lái)提高運(yùn)算效率.

設(shè)磁場(chǎng)場(chǎng)源位于平面z=0之下，z軸正向豎直向下，z<0空間中的磁異常分布f(x,y,z)是調(diào)和函數(shù)，z=0平面上的磁異常分布為已知觀測(cè)數(shù)據(jù)，求解z<0空間中的磁異常分布函數(shù)f(x,y,z). 根據(jù)狄利克雷邊值問(wèn)題進(jìn)行求解，得到磁異常延拓積分表達(dá)式為

(1)

令

將(1)式轉(zhuǎn)化為卷積形式：

f(x,y,z)=f(ξ,η,0)*φ(ξ,η).

(2)

由文獻(xiàn)[6]可得φ(ξ,η)的Hartley變換結(jié)果為

(3)

根據(jù)Hartley變換的卷積性質(zhì)可以得到對(duì)應(yīng)的Hartley變換形式：

H(u,v,z)=H(u,v,0)·φH(u,v),

(4)

式中，H(u,v,z)表示所求解f(x,y,z)的Hartley變換形式，H(u,v,0)表示已知磁異常分布數(shù)據(jù)f(x,y,0)的Hartley變換形式. 對(duì)(4)式進(jìn)行Hartley逆變換可以得到所求平面的磁異常分布：

φH(u,v)cas (ux)cas (vy)dudv.

(5)

2 模型數(shù)據(jù)仿真

使用球形磁體模型計(jì)算得到z=195 m平面上的磁異常理論值,如圖1所示.

分別通過(guò)傳統(tǒng)的波數(shù)域迭代法和Hartley變換迭代法將z=0平面上的磁異常數(shù)據(jù)向下延拓至z=195 m平面. 圖2即為2種方法所得到的延拓結(jié)果的磁異常分布等值線圖.

(a)利用Hartley變換的迭代法

(b)傳統(tǒng)快速傅里葉變換迭代法圖2 利用2種迭代法向下延拓195 m后的磁異常分布

從圖2可以看出，經(jīng)過(guò)2種迭代法處理后所得數(shù)據(jù)分布幾乎完全相同，這是由于在數(shù)據(jù)處理方面，Hartley變換和傅里葉變換的作用是一致的. 為了體現(xiàn)這種相似性，也為了更好地描述向下延拓的穩(wěn)定性，在此引入3種誤差指標(biāo)：絕對(duì)平均誤差、平均相對(duì)誤差和均方根誤差. 對(duì)圖2中的2種延拓結(jié)果分別進(jìn)行誤差計(jì)算，2種迭代法的誤差相同：絕對(duì)平均誤差為0.31 nT，平均相對(duì)誤差為0.45%，均方根誤差為2.5 nT，但Hartley變換迭代法用時(shí)2.035 4 s，傅里葉變換法用時(shí)3.254 6 s，因此Hartley變換迭代法效率更高.

3 實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)

文中所用真實(shí)數(shù)據(jù)下載自美國(guó)國(guó)家地球物理數(shù)據(jù)中心(NGDC)，其原始數(shù)據(jù)為一定范圍平面內(nèi)的磁異常數(shù)據(jù). 設(shè)其原始平面為z=0平面，其磁異常數(shù)據(jù)等值線圖如圖3所示. 設(shè)定網(wǎng)格間距為100 m，計(jì)算網(wǎng)格為512×512. 為了進(jìn)行向下延拓算法測(cè)試，首先利用向上延拓算法將原始數(shù)據(jù)平面向上延拓1 000 m，得到z=-1 000 m平面的磁異常分布數(shù)據(jù)如圖4所示.

圖3 z=0觀測(cè)平面理論磁異常分布

圖4 向上延拓得到的z=-1 000 m平面磁異常分布

接下來(lái)進(jìn)行s=1，n=100的迭代運(yùn)算，分別使用Hartley變換迭代法和傳統(tǒng)迭代法將z=-1 000 m平面的磁異常數(shù)據(jù)向下延拓1 000 m，得到如圖5所示的z=0平面上的延拓?cái)?shù)據(jù)，將其和觀測(cè)平面理論數(shù)據(jù)(即原始平面數(shù)據(jù))進(jìn)行對(duì)比并計(jì)算誤差，同時(shí)對(duì)運(yùn)算時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，2種迭代法的誤差相同：絕對(duì)平均誤差為7.2 nT，平均相對(duì)誤差為0.25%，均方根誤差為17.1 nT，Hartley變換迭代法用時(shí)4.286 3 s，傅里葉變換法用時(shí)10.255 6 s.

由圖5可知，通過(guò)2種方法進(jìn)行向下延拓后的結(jié)果與原始數(shù)據(jù)基本一致. 此外3種誤差的值都很小，在實(shí)際需求可接受的范圍內(nèi)，但相比理論實(shí)驗(yàn)誤差有所增大，這是由于真實(shí)數(shù)據(jù)中存在噪聲而產(chǎn)生的，但2種方法對(duì)噪聲還是有一定的抗干擾能力的. 對(duì)比2種方法的運(yùn)算時(shí)間可以發(fā)現(xiàn)，基于Hartley變換的迭代法效率要高出很多，因此優(yōu)于傳統(tǒng)迭代法.

(a)Hartley變換迭代法延拓結(jié)果

(b)傳統(tǒng)迭代法延拓結(jié)果圖5 利用2種迭代法向下延拓1 000 m后得到的磁異常分布

4 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)理論模型和真實(shí)數(shù)據(jù)的仿真測(cè)試對(duì)Hartley變換算法進(jìn)行檢驗(yàn)，并利用絕對(duì)平均誤差、平均相對(duì)誤差和均方根誤差3種誤差統(tǒng)計(jì)指標(biāo)對(duì)算法的誤差進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，從而對(duì)Hartley變換的迭代法和傳統(tǒng)快速傅里葉變換迭代法進(jìn)行了比較，證明利用Hartley變換的磁異常向下延拓迭代法的可行性和高效性.