非平行板電容器測(cè)量楊氏模量的改進(jìn)

唐子彥，冷文秀

(中國(guó)石油大學(xué)(北京) a.地球物理與信息工程學(xué)院；b.理學(xué)院，北京 102249)

楊氏模量是描述固體材料抵抗形變能力的物理量，有著重要的意義. 在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課中有靜力拉伸法測(cè)量楊氏模量的實(shí)驗(yàn). 使用非平行板電容器測(cè)量楊氏模量的方法大致分為2種：傳統(tǒng)式結(jié)構(gòu)[1]和差動(dòng)式結(jié)構(gòu)[2]. 但這2種方法因裝置結(jié)構(gòu)的限制，在可操作性、系統(tǒng)誤差、靈敏度上都有改進(jìn)的空間. 本文提出的中心軸差動(dòng)式結(jié)構(gòu),對(duì)上述問(wèn)題進(jìn)行改進(jìn).

1 基本原理

1.1 理論計(jì)算

C2=C2′,

(1)

圖1 非平行板電容器

所以偏轉(zhuǎn)前的電容器的總電容為

C總′=C1′+C2′,

(2)

偏轉(zhuǎn)后的電容器的總電容為

C總=C1+C2.

(3)

由文獻(xiàn)[6]知,在忽略邊緣效應(yīng)的情況下電容器的電容為

(4)

將(4)式作泰勒展開(kāi)得：

(5)

當(dāng)θ足夠小時(shí)，sinθ≈θ，故(5)可近似變?yōu)?/p>

(6)

令

則

C1=α0+α1θ+α2θ2+α3θ3+α4θ4+…

(7)

由(3)式可知偏轉(zhuǎn)后的電容器總電容為

C總=C2+α0+α1θ+α2θ2+α3θ3+α4θ4+…

(8)

由(2)式可知偏轉(zhuǎn)前(θ=0)的電容器的值為

C總′=C2′+α0,

(9)

式(8)與式(9)做差，由(1)式得

|ΔC|=|C總-C總′|=α1θ+α2θ2+α3θ3+α4θ4+…

(10)

若略去θ的二次項(xiàng)及以上的高次小項(xiàng)，得

|ΔC|=|α1θ|,

(11)

將α1代入式(11)，得

(12)

結(jié)果與文獻(xiàn)[1-2]中電容改變量完全一致.

最后利用電橋法測(cè)出偏轉(zhuǎn)前后電容器的改變量|ΔC|，由(12)式求出θ，通過(guò)測(cè)量鋼絲的直徑，計(jì)算出橫截面積S，鋼絲原長(zhǎng)L，電容器轉(zhuǎn)動(dòng)軸到鋼絲的距離D,再由楊氏模量的定義式及文獻(xiàn)[1]可以求出楊氏模量為

(13)

1.2 中心軸差動(dòng)式結(jié)構(gòu)電容的分析

如圖2所示，該結(jié)構(gòu)的電容器由3部分組成. 圖2中上、中、下的白色部分為長(zhǎng)寬為a的矩形金屬板，而圖中的陰影部分為剛性強(qiáng)度較大的絕緣材料，其長(zhǎng)度相對(duì)于a可忽略不計(jì)，即遠(yuǎn)小于a. 將上中下3個(gè)極板間的電容分別視作C11，C12，C21，C22，若只考慮常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)，由(7)式得：

圖2 中心軸差動(dòng)式結(jié)構(gòu)電容器

C11=C22=α0+α1θ,

(14)

C12=C21=α0-α1θ.

(15)

令ΔCⅠ=ΔC11+ΔC22，ΔCⅡ=ΔC12+ΔC21，則由式(11)得：

ΔCⅠ=2|α1||θ|,

(16)

ΔCⅡ=-2|α1||θ|.

(17)

式(16)與式(17)相減得：

|ΔCⅠ-ΔCⅡ|=4|α1|θ.

(18)

使用電橋法測(cè)量出式|ΔCⅠ-ΔCⅡ|，即可計(jì)算出θ，再將θ代入式(13)可算出楊氏彈性模量E.

2 改進(jìn)后的實(shí)驗(yàn)裝置及其可操作性

2.1 實(shí)驗(yàn)裝置簡(jiǎn)介

如圖3所示，改進(jìn)的主要方案是將文獻(xiàn)[2]裝置位于中間極板邊緣的轉(zhuǎn)動(dòng)軸移至中心軸處，以組成中心軸差動(dòng)式結(jié)構(gòu).

圖3 實(shí)驗(yàn)裝置圖

本文所提出的的測(cè)量方案與文獻(xiàn)[2]類(lèi)似：先使用長(zhǎng)寬均為2a的矩形金屬板作為該電容器的上、中、下極板，并將螺旋測(cè)微計(jì)的測(cè)微螺桿的端面與電容器上下極板連接，然后將上下極板固定在絕緣支架上；中間極板的陰影部分與同為剛性強(qiáng)度較大的絕緣材料制成的轉(zhuǎn)動(dòng)軸相連，并使轉(zhuǎn)動(dòng)軸的位置固定.

實(shí)驗(yàn)時(shí)，為使鋼絲保持拉直，首先在鋼絲下的砝碼盤(pán)上放上砝碼，然后把鋼絲與中極板靠近鋼絲的一端用絕緣剛性材料連接，松開(kāi)固定上、下兩極板的固定旋鈕，使該電容器的3個(gè)極板完全重合后再通過(guò)調(diào)節(jié)螺旋測(cè)微計(jì)使極板間距變?yōu)閐且保持中間極板平行，通過(guò)電橋測(cè)出電容，從而得出電容的改變量.

2.2 可操作性

2.2.1 可操作性及系統(tǒng)誤差

原有的2個(gè)實(shí)驗(yàn)裝置在理論上都提出了測(cè)量楊氏模量的裝置，但是由于裝置結(jié)構(gòu)的限制在可操作性上都存在問(wèn)題，如在將鋼絲與轉(zhuǎn)動(dòng)極板相連前，由于極板的轉(zhuǎn)軸位于其末端，極板會(huì)因?yàn)樽陨碇亓亢娃D(zhuǎn)軸摩擦不能平衡而發(fā)生一定程度的偏轉(zhuǎn)，會(huì)影響鋼絲發(fā)生形變時(shí)的伸長(zhǎng)長(zhǎng)度，或者理解為極板發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)的角并不完全因?yàn)殇摻z形變而產(chǎn)生，一部分轉(zhuǎn)動(dòng)是由于極板自身重量而產(chǎn)生. 針對(duì)上述2種裝置可操作性存在的問(wèn)題，本文提出的裝置結(jié)構(gòu)將轉(zhuǎn)軸的位置放置于極板中間使得極板可通過(guò)自身重量保持平衡在實(shí)驗(yàn)開(kāi)始前并不發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，讓角的改變盡可能通過(guò)鋼絲形變產(chǎn)生，使實(shí)驗(yàn)的可操作性提高的同時(shí)大大降低系統(tǒng)誤差.

2.2.2 另一種實(shí)驗(yàn)方式

當(dāng)被測(cè)物體為柱狀時(shí)可以使用圖4所示的實(shí)驗(yàn)裝置進(jìn)行測(cè)量，電容器部分的結(jié)構(gòu)與圖3一致，因被測(cè)物為柱狀物體，所以可以用已知質(zhì)量的重物或者已知大小的壓力作用在物體的頂端，即可更準(zhǔn)確、誤差更小地測(cè)量出楊氏彈性模量.

圖4 實(shí)驗(yàn)裝置圖

3 靈敏度、誤差分析及測(cè)試結(jié)果

3.1 電容器的靈敏度

用電容的響應(yīng)量(即電容的改變量)ΔC和初始時(shí)的電容C0之比來(lái)表示靈敏度[7]，記作s，不考慮邊緣效應(yīng)和分布電容的影響，可得

(19)

如圖1所示，文獻(xiàn)[1]中電容器的改變量ΔC1為

ΔC1=α1θ,

(20)

由式(19)及式(20)得文獻(xiàn)[1]中裝置靈敏度s1為

(21)

由文獻(xiàn)[2]知：

ΔC2=2α1θ,

(22)

所以文獻(xiàn)[2]中實(shí)驗(yàn)裝置的靈敏度s2為

(23)

中心軸差動(dòng)式結(jié)構(gòu)的靈敏度記作s3，由式(18)知：

ΔC3=|ΔC1-ΔCΠ|=4|α1|θ,

(24)

由此得

(25)

通過(guò)對(duì)比式(23)及式(25)可得

s3=2s2=4s1.

(26)

可以得出結(jié)論：在電容器的靈敏度方面，本文中的中心軸差動(dòng)式結(jié)構(gòu)有了很大的提高，分別是文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[2]裝置靈敏度的2倍和4倍.

3.2 相對(duì)非線性誤差

文獻(xiàn)[2]中已詳細(xì)給出相對(duì)非線性誤差的計(jì)算過(guò)程，中心軸差動(dòng)式結(jié)構(gòu)在相對(duì)非線性誤差上與文獻(xiàn)[2]相同，也就證明了相對(duì)非線性誤差遠(yuǎn)小于文獻(xiàn)[1]，使相對(duì)非線性誤差大大降低.

3.3 測(cè)試結(jié)果

利用本裝置測(cè)得的鋼絲的楊氏彈性模量E=(1.98±0.43)×1011N/m2. 由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以得出：在理論和實(shí)踐中，使用本裝置進(jìn)行楊氏彈性模量的測(cè)定都符合實(shí)際要求.

4 結(jié)束語(yǔ)

基于非平行板電容器的楊氏模量測(cè)量裝置，采用中心軸差動(dòng)式結(jié)構(gòu). 轉(zhuǎn)軸設(shè)置于中極板的中心處，邊緣效應(yīng)和測(cè)量系統(tǒng)的分布電容對(duì)實(shí)驗(yàn)的影響被基本消除，在中極板與鋼絲連接之前，中極板可通過(guò)自身重力保持平衡，以免在實(shí)驗(yàn)開(kāi)始之前中極板發(fā)生偏轉(zhuǎn)，使實(shí)驗(yàn)過(guò)程中得到的中極板的轉(zhuǎn)動(dòng)角度更加精確. 測(cè)試結(jié)果表明本裝置能有效地提高電容器測(cè)法測(cè)量楊氏彈性模量的精確度和靈敏度，降低系統(tǒng)誤差.