阻尼諧振子在非對易空間中的Wigner函數(shù)

王亞輝，任亞杰

( 陜西理工大學 物理與電信工程學院，陜西 漢中 723001 )

0 引言

Wigner函數(shù)在描述量子計算、核物理、量子光學等方面有非常重要的作用[1]，它是一個很好的半經(jīng)典近似.1975年，Moyal從量子力學的內(nèi)部邏輯出發(fā)，發(fā)現(xiàn)Wigner函數(shù)和已有的量子化方法(Schrodinger、Feymen路徑積分量子化)是等價的，它的基本方程是Moyal星本征值方程.此刻Wigner函數(shù)才引起人們更大的關(guān)注，在這種邏輯完整而且獨立的量子化方法中，不需要選定一個特定的表象空間.在這種MOYAl量子化方法提出不久，超弦理論的工作者提出了弦尺度下的非對易幾何的概念[2].超弦/M理論中出現(xiàn)的非交換幾何，使得人們不僅能運用非交換幾何的概念和定理來有效地分析對偶性、BPS態(tài)以及D-膜動力學等，而且引起了人們對整個物理學理論基礎(chǔ)的理解及更深刻的認識變革.文獻[3-6]對諧振子的量子力學問題進行了研究，文獻[7-9]研究了非對易空間的量子力學模型，文獻[10-14]研究了非對易空間物理模型的Wigner 函數(shù)，人們對Wigner 函數(shù)在非對易空間的應(yīng)用引起了極大的關(guān)注.這種非對易量子效應(yīng)可以與Moyal的量子化方法表述為相同的形式.

在經(jīng)典力學中，一個粒子的運動狀態(tài)，用它在每一時刻的坐標和動量，即相空間中的一個點來描述，在量子力學中，由于波動-粒子兩象性，一個體系的量子態(tài)，如選用一個連續(xù)表象，則量子態(tài)表示成一個波函數(shù)(復)，其包含了體系的全部信息[15].用量子力學的思維來處理經(jīng)典物理模型.本文利用Wigner函數(shù)的基本性質(zhì)和空間變量的對易關(guān)系中包含的坐標-坐標的非對易性, 用量子力學來處理阻尼系統(tǒng)，得到了阻尼諧振子在非對易空間中的Wigner函數(shù).

1 量子系統(tǒng)的Wigner函數(shù)

1.1 對易空間中Wigner函數(shù)

在對易空間中，定態(tài) Schrodinger方程常被寫成Hψn(x)=Enψn(x)，那么Wigner函數(shù)的標準形式就可寫為[4]

(1)

由文獻[5]可知:

H*Wn=Wn*H=EnWn.

(2)

在二維情況下， *被定義為[5]

(3)

1.2 非對易空間中Wigner函數(shù)

由文獻[5]可知，在非對易空間中，當*在二維情況下被重新定義為:

(4)

時，式(2)依然成立，變?yōu)?/p>

(5)

2 二維阻尼諧振子的Wigner函數(shù)

2.1 阻尼諧振子的量子力學處理

設(shè)二維阻尼諧振子的運動方程為:

(6)

取廣義坐標X1=x1eγt/2m,X2=x2eγt/2m，由文獻[3,6]可得廣義動量為:

(7)

可以證明廣義坐標和廣義動量的對易關(guān)系為：

[X1,P1]=i?,[X2,P2]=i?，

故系統(tǒng)的Hamiltonian算符為：

P1X1+X2P2+P2X2)+

(8)

令

式(8)化簡為

(9)

將式(9)代入方程H*Wn=Wn*H=EnWn可得：

H*W=W*H=EW.

(10)

2.2 對易空間中二維阻尼諧振子的Wigner函數(shù)

將式(3)、(9)代入式(10)得:

(11)

(12)

由式(11)等于式(12)得:

(13)

(14)

再令:

(15)

將式(15)代入式(13)得：

E1]W1(ξ)=0.

(16)

化簡式(16)得：

(17)

定義

(18)

式(17)化簡為

(19)

其中L(ξ)表示拉蓋爾多項式 ,

(20)

所得Wigner函數(shù)為：

W1(ξ)=W1(X′1,P′1)=

(21)

同理計算式(14)可得:

(22)

Wn,m=W1(ξ)W2(η)=

(23)

2.3 非對易空間中二維阻尼諧振子的Wigner函數(shù)

(24)

其中：

(25)

(26)

*被重新定義，將式(4)和式(25)代入式(5)，考慮到θ是個小量，忽略θ2及更高次項可得：

(27)

(28)

由式(27)等于式(28)得:

E1}W1=0.

(29)

令:

(30)

其中

將式(30)代入式(29)得：

E1]W1(ξ′)=0.

(31)

利用與式(17)-(21)相似過程得Wigner函數(shù)為：

(32)

同理計算式 (26)可得:

(33)

所以對易空間中二維阻尼諧振子的Wigner函數(shù)為：

W1(ξ′)W2(η′)=

(34)

3 結(jié)論

Wigner函數(shù)是相空間中的準分布函數(shù),是一個實函數(shù)且滿足邊緣條件，在現(xiàn)代量子測量中具有重要的意義.文章簡單介紹和討論了哈密頓函數(shù)在對易空間和非對易空間Wigner函數(shù)的性質(zhì)，得到的非對易空間中阻尼諧振子的Wigner函數(shù)形式與對易空間一致.并且與利用原始定義積分得到的結(jié)果完全一致.阻尼諧振子是許多復雜模型的基礎(chǔ)，可用來討論許多的實際問題，為進一步研究物理模型在非對易空間和非對易相空間的Wigner函數(shù)奠定了基礎(chǔ).更重要的是提供了一種用量子力學方法來處理經(jīng)典物理問題的方式.