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    穩(wěn)健估計(jì)在豐都河北大橋變形監(jiān)測(cè)中的應(yīng)用

    2018-08-08 01:53:44徐金鴻孫迅文
    測(cè)繪工程 2018年9期
    關(guān)鍵詞:平差等價(jià)殘差

    徐金鴻,孫迅文

    (1.重慶交通大學(xué) 土木工程學(xué)院,重慶 400074;2.重慶交通大學(xué) 研究生院,重慶 400074)

    測(cè)量過程中存在粗差,若采用最小二乘估計(jì)極有可能使得估計(jì)值偏離真值,而在變形監(jiān)測(cè)過程中,控制網(wǎng)的精度要求較高,因此,在控制網(wǎng)的平差過程中采用穩(wěn)健估計(jì)可將粗差剔除,從而使得控制網(wǎng)的可靠性提高,更能滿足變形監(jiān)測(cè)的需求。豐都河北大橋唯一進(jìn)城通道,車流量大,在回填過程中回填拆除會(huì)對(duì)橋體造成影響,易使橋體垮塌,需對(duì)該橋進(jìn)行變形監(jiān)測(cè)??紤]到監(jiān)測(cè)過程中的靈敏性,對(duì)控制網(wǎng)的要求較高,采用穩(wěn)健估計(jì)對(duì)控制網(wǎng)及布設(shè)的監(jiān)測(cè)點(diǎn)進(jìn)行平差。

    1 穩(wěn)健估計(jì)

    1.1 概 述

    穩(wěn)健估計(jì)是在粗差不可避免的情況下,選擇適當(dāng)?shù)墓烙?jì)方法,使參數(shù)的估值盡可能的避免粗差的影響,得到正常模式下的最佳估值[1]。從數(shù)理統(tǒng)計(jì)角度來說,當(dāng)要計(jì)算某個(gè)或某些統(tǒng)計(jì)量T的值時(shí),其值是由樣本X1,X2,…,Xn所決定的。

    由于在獲得觀測(cè)樣本X1,X2,…,Xn過程中,可能由于儀器故障或者觀測(cè)疏忽及記錄錯(cuò)誤等使得X1,X2,…,Xn中的一個(gè)或幾個(gè)包含了較大的誤差,稱為過失誤差或粗差。一兩個(gè)數(shù)據(jù)的錯(cuò)誤可能導(dǎo)致整個(gè)統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果完全改觀。因此,可把具有這種性質(zhì)的統(tǒng)計(jì)量T或者統(tǒng)計(jì)方法稱為穩(wěn)健性。傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)方法:樣本均值、樣本方差、最小二乘估計(jì)等往往是不具穩(wěn)健性的,因而在實(shí)際應(yīng)用中也是具有潛在不安全因素的。

    穩(wěn)健估計(jì)基本可分為3大類,即M估計(jì),也稱為極大似然估計(jì);L估計(jì),也稱為排序線性組合估計(jì);R估計(jì),也稱為秩估計(jì)。但在測(cè)量平差中主要采用的估計(jì)準(zhǔn)則為M估計(jì)。

    設(shè)p(x)為一個(gè)定義在(-∞,+∞)上函數(shù),使(-∞,b]非增,在[b,+∞]非降。若統(tǒng)計(jì)量Tn=Tn(X1,X2,…,Xn)滿足條件[2]

    .

    (1)

    則稱Tn為位置的一個(gè)M估計(jì)。滿足上式的Tn可能不唯一,但當(dāng)p在(-∞,+∞)上處處連續(xù),則Tn必存在。當(dāng)p′=φ存在時(shí),改寫為

    φ(Xi-Tn)=0.

    (2)

    只有當(dāng)p為凸函數(shù)且p在(-∞,+∞)上處處存在時(shí),式(1)和式(2)等價(jià)。

    在以M估計(jì)為準(zhǔn)則下計(jì)算簡單,公式簡明,且易于編程實(shí)現(xiàn)的選權(quán)迭代法在測(cè)量平差中廣為應(yīng)用。故在豐都河北大橋變形監(jiān)測(cè)控制網(wǎng)平差中采用的是選權(quán)迭代法。

    1.2 選權(quán)迭代法

    (3)

    按穩(wěn)健最小二乘估計(jì)原理,參數(shù)的解向量為

    (4)

    (5)

    (6)

    其中,取k0=1.5,k1=2.5。

    由于vi是參數(shù)X的函數(shù),只能在X計(jì)算后才能獲得,故抗差估計(jì)只能以迭代形式完成。設(shè)X0為參數(shù)估值迭代解的初始值,則有

    (7)

    ε.

    (8)

    時(shí),停止迭代即得到參數(shù)的估值。其中ε為設(shè)定的收斂條件。

    且參數(shù)的權(quán)逆陣為

    (9)

    單位權(quán)中誤差為

    (10)

    式中:n0為權(quán)重為零的觀測(cè)值個(gè)數(shù)。

    2 算例及分析

    2.1 基準(zhǔn)網(wǎng)概況

    該基準(zhǔn)網(wǎng)為包含3個(gè)控制點(diǎn)的單三角網(wǎng),點(diǎn)位均遠(yuǎn)離變形監(jiān)測(cè)區(qū)域,如圖1所示。

    圖1 基準(zhǔn)網(wǎng)形

    反映橋軸線方向的位移變化,以橋軸線為X方向建立測(cè)量坐標(biāo)系,C點(diǎn)為已知點(diǎn)其坐標(biāo)為(1 000,1 000),且AC邊方位角為(124°22′46.13″),并以此為基準(zhǔn)建立該橋平面獨(dú)立監(jiān)測(cè)坐標(biāo)系。

    采用徠卡TS30對(duì)基準(zhǔn)網(wǎng)進(jìn)行測(cè)邊測(cè)角,儀器測(cè)角精度為0.5″,測(cè)距精度為1 mm+1 ppm,共計(jì)9個(gè)測(cè)回。其中,每測(cè)回均進(jìn)行限差檢核,半測(cè)回歸零差及測(cè)回互差均為6″。整理后的每測(cè)回觀測(cè)數(shù)據(jù)如表1和表2所示?;鶞?zhǔn)網(wǎng)采用間接平差方式對(duì)每個(gè)觀測(cè)值列立誤差方程式進(jìn)行整體平差,以下為詳細(xì)平差結(jié)果及分析。

    分析穩(wěn)健估計(jì)在平差處理過程中的實(shí)現(xiàn)機(jī)制,并驗(yàn)證其在工程實(shí)踐應(yīng)用中是否有效,分別按最小二乘法和穩(wěn)健估計(jì)兩種平差方法進(jìn)行平差,表3為平差結(jié)果,其中μ為單位權(quán)中誤差,x,y分別表示平差后橫、縱坐標(biāo),而dx為坐標(biāo)平差值中誤差。

    從表3中可明顯看出兩種平差方法所得單位權(quán)中誤差、平差坐標(biāo)及平差值中誤差的結(jié)果完全一致。分析產(chǎn)生該結(jié)果的主要原因?yàn)橛^測(cè)值數(shù)據(jù)質(zhì)量較好,并不存在觀測(cè)粗差。從數(shù)學(xué)原理來說,在無粗差情況下,兩種方法本無本質(zhì)區(qū)別,因?yàn)閮烧呔窃谧钚《藴?zhǔn)則下進(jìn)行的平差,故可斷言在無粗差情況下,兩種方法將獲得一致性平差結(jié)果。

    表1 方向觀測(cè)值

    表2 邊長觀刪值 m

    表3 平差結(jié)果 m

    2.2 監(jiān)測(cè)網(wǎng)概況

    監(jiān)測(cè)橋位移變化,在拱圈布設(shè)了8個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn),并與基準(zhǔn)網(wǎng)點(diǎn)共同構(gòu)成參考網(wǎng)。采用方向觀測(cè)法進(jìn)行角度、距離測(cè)量,共計(jì)6個(gè)測(cè)回,每測(cè)回均進(jìn)行限差檢核,半測(cè)回歸零差及測(cè)回互差均為6″,如表4所示為部分整理后的每測(cè)回觀測(cè)數(shù)據(jù)。

    通過每測(cè)回觀測(cè)數(shù)據(jù),對(duì)參考網(wǎng)進(jìn)行坐標(biāo)平差得到每期監(jiān)測(cè)點(diǎn)位的坐標(biāo)平差值,即可用于該橋的變形分析。

    2.2.1 監(jiān)測(cè)網(wǎng)平差結(jié)果

    同樣,對(duì)每個(gè)觀測(cè)值列立誤差方程式,仍按穩(wěn)健估計(jì)和最小二乘估計(jì)對(duì)監(jiān)測(cè)網(wǎng)進(jìn)行整體坐標(biāo)平差處理,平差結(jié)果如表5所示。

    從表5可清晰看出,最小二乘估計(jì)下的單位權(quán)中誤差遠(yuǎn)大于穩(wěn)健估計(jì)下的單位權(quán)中誤差,且其值遠(yuǎn)超出合理范圍,再從平差值中誤差來看,也表現(xiàn)出了異常性,因此可判斷某些觀測(cè)值存在粗差。最小二乘估計(jì)不具穩(wěn)健性,在有粗差的情況下,所得單位權(quán)中誤差過大,坐標(biāo)平差值中誤差反常,均呈異常狀態(tài),因此在該種情況下所得平差結(jié)果是不可靠的,嚴(yán)重偏離了參數(shù)真實(shí)估值的。反之,在穩(wěn)健估計(jì)準(zhǔn)則下,盡管觀測(cè)值存在粗差,但通過對(duì)其進(jìn)行屏蔽或者部分信息使用,依然能夠獲得較為可靠的平差結(jié)果。證實(shí)了在粗差存在情況下,穩(wěn)健估計(jì)的確是一種優(yōu)于最小二乘估計(jì)的方法,因此將穩(wěn)健估計(jì)應(yīng)用到實(shí)際的工程平差處理中,是一種能提高平差結(jié)果可靠性的有效手段。接下來,為探究穩(wěn)健估計(jì)對(duì)觀測(cè)值的處理情況,現(xiàn)對(duì)觀測(cè)值殘差及等價(jià)權(quán)因子進(jìn)行分析。

    表4 水平角及邊長觀測(cè)值(方向觀測(cè)法)測(cè)站A

    覘點(diǎn)第一測(cè)回第二測(cè)回角度/(° ' ″)邊長/m角度/(° ' ″)邊長/mC0°00'00″238.824 40°00'00″238.824 9114°13'34.4″190.253 514°13'35.0″190.253 6218°40'40.8″185.533 418°40'41.2″185.534 4319°38'05.1″184.701 719°38'06.0″184.701 7430°29'19.6″179.063 230°29'20.1″179.063 9531°52'40.1″178.891 031°52'40.2″178.891 5632°09'03.5″178.901 832°09'04.3″178.902 5733°29'19.6″178.732 733°29'19.8″178.732 9833°46'04.5″178.828 033°46'05.2″178.828 5

    表5 監(jiān)測(cè)點(diǎn)平差結(jié)果 m

    2.2.2 觀測(cè)值殘差分析

    如圖2所示,其中黑色曲線表示最小二乘平差后的觀測(cè)值殘差,紅色表示穩(wěn)健估計(jì)平差后的觀測(cè)值殘差,橫坐標(biāo)表示按順序?qū)τ^測(cè)值依次編號(hào)。從圖可清晰看出兩種方法下所得殘差基本一致,且在16、28號(hào)方向觀測(cè)值及10號(hào)邊長觀測(cè)觀測(cè)值均出現(xiàn)了較大殘差異常。這表明在這幾個(gè)觀測(cè)中出現(xiàn)了較大粗差,但因最小二乘估計(jì)不具有穩(wěn)健性,即不對(duì)殘差異常值進(jìn)行任何處理,這勢(shì)必將粗差引入到參數(shù)估值中,導(dǎo)致結(jié)果嚴(yán)重偏離真值,而穩(wěn)健估計(jì)對(duì)粗差具有抵抗性,因此對(duì)具有粗差的觀測(cè)值進(jìn)行棄用或者部分信息的使用。

    圖2 觀測(cè)值殘差

    2.2.3 等價(jià)權(quán)因子分析

    穩(wěn)健估計(jì)中,等價(jià)權(quán)因子的大小直接反應(yīng)了對(duì)觀測(cè)值的使用情況,即等于零的等價(jià)權(quán)因子所代表的觀測(cè)值存在粗差,該觀測(cè)值不參與平差,大于0小于1代表部分利用觀測(cè)值信息,等于1則表示無粗差。按穩(wěn)健估計(jì)進(jìn)行平差,如圖3所示為各觀測(cè)值等價(jià)權(quán)因子情況。

    圖3 等價(jià)權(quán)因子

    從圖3上可清晰反映出16、21、28、30號(hào)方向觀測(cè)值及10號(hào)邊長觀測(cè)值權(quán)重均為零(圖中紅色標(biāo)記),即這幾個(gè)觀測(cè)值并不參與平差,而是通過調(diào)整權(quán)重方式被棄用,也即達(dá)到了抵抗粗差的目的。但也看到一些權(quán)因子的范圍在(0 ,1)之間,這說明了在粗差存在情況下,是有可能存在損失一些效率的風(fēng)險(xiǎn)的,盡管如此,抗差估計(jì)有效地規(guī)避了粗差的有害影響,獲得了較為可靠的參數(shù)估值。

    3 結(jié) 論

    1)從兩種方法的平差結(jié)果來看,若觀測(cè)數(shù)據(jù)不存在粗差,則最小二乘估計(jì)和穩(wěn)健估計(jì)在平差結(jié)果上將完全一致。

    2)若觀測(cè)值含有粗差,按最小二乘平差法必將導(dǎo)致粗差被引入,使得平差結(jié)果不能反映真實(shí)值情況,相反,若按穩(wěn)健估計(jì)進(jìn)行平差,則可有效地抵御粗差影響,將粗差進(jìn)行限制,合理利用有效信息,屏蔽無效信息,得到較為可靠的、平差結(jié)果。

    因此,從該工程實(shí)踐來看,將穩(wěn)健估計(jì)應(yīng)用到平差處理中,提高平差結(jié)果的可靠性,避免粗差影響準(zhǔn)確。為變形監(jiān)測(cè)提供了可靠的基準(zhǔn)及監(jiān)測(cè)成果。因此,穩(wěn)健估計(jì)是一種能夠有效抑制粗差,可提供可靠的平差結(jié)果的方法,無論粗差是否存在,

    均可獲得最優(yōu)無偏估值。考慮到粗差的存在具有不可預(yù)知性,故在大量的觀測(cè)值中若采用最小二乘法進(jìn)行平差,將導(dǎo)致平差結(jié)果失真的可能性變大。

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