基于抗差嶺估計的相機(jī)標(biāo)定方法

王俊威，西 勤，馮其強(qiáng)，郭迎剛，王永強(qiáng)

(1.信息工程大學(xué)，河南 鄭州 450001; 2.中測國檢(北京)測繪儀器檢測中心，北京 100039)

近年來，隨著數(shù)碼成像技術(shù)的快速發(fā)展，數(shù)碼相機(jī)得到廣泛應(yīng)用，很多數(shù)字工業(yè)攝影測量系統(tǒng)都以普通數(shù)碼相機(jī)作為影像傳感器來獲取數(shù)據(jù)。數(shù)碼相機(jī)雖然具有體積小、重量輕、使用方便等優(yōu)點，但也存在畸變差較大、內(nèi)方位元素不穩(wěn)定等缺陷，因此，數(shù)碼相機(jī)在被應(yīng)用于攝影測量前需要先對其進(jìn)行標(biāo)定[1]。

相機(jī)標(biāo)定的目的是為了恢復(fù)每張像片光束的正確形狀，以保證像點、投影中心和對應(yīng)的物方點在同一條直線上。標(biāo)定的實質(zhì)就是確定拍攝像片時相機(jī)的外方位元素和內(nèi)方位元素。十參數(shù)畸變模型能較好地補(bǔ)償各種可預(yù)見的畸變差，是目前數(shù)字工業(yè)攝影測量中應(yīng)用最廣泛的相機(jī)畸變模型[2]。但相機(jī)畸變模型中各畸變參數(shù)之間、畸變參數(shù)與攝站參數(shù)之間存在近似的線性關(guān)系，即過度參數(shù)化現(xiàn)象[3]。

針對相機(jī)參數(shù)間相關(guān)性問題，于英提出基于嶺估計的相機(jī)標(biāo)定方法[4]，提高相機(jī)參數(shù)求解精度。但此方法沒有抵抗粗差的效果，而攝影測量中粗差與偶然誤差、系統(tǒng)誤差是同時存在的[5]，粗差產(chǎn)生的原因主要有同名像點匹配出錯、超過隨機(jī)范圍的偶然誤差等?？共畹葍r權(quán)能通過逐次迭代平差結(jié)果來平衡觀測值之間的比重[6]，使含粗差的觀測值的權(quán)減小或降為零，進(jìn)而減弱粗差的影響或剔除粗差。結(jié)合抗差估計和嶺估計，本文提出基于抗差嶺估計的相機(jī)標(biāo)定方法，不僅可以有效地解決標(biāo)定模型結(jié)構(gòu)中的參數(shù)相關(guān)性問題，而且可以有效地抵制觀測粗差的影響，進(jìn)一步提高相機(jī)標(biāo)定結(jié)果。

1 相機(jī)標(biāo)定模型

1.1 十參數(shù)畸變模型

相機(jī)標(biāo)定的重點內(nèi)容是內(nèi)方位元素和畸變參數(shù)。內(nèi)方位元素是確定相機(jī)鏡頭中心相對于影像位置關(guān)系的參數(shù)，包括像主點相對于像片幾何位置(x0,y0)和相機(jī)主距f?；儏?shù)包括：徑向畸變、偏心畸變和像平面畸變。

十參數(shù)畸變模型表示為

.

(1)

1.2 相機(jī)標(biāo)定模型

利用十參數(shù)模型作為附加參數(shù)，則含畸變改正值的共線條件方程為

.

(2)

式中:(ai,bi,ci)(i=1,2,3)為由外方位角元素組成的旋轉(zhuǎn)矩陣各元素;(X,Y,Z)為物方點坐標(biāo);(XS,YS,ZS)為外方位元素的線元素。

線性化后的誤差方程可寫為

V=A1X1+A2X2+A3X3-L,P.

(3)

式中:X1,X2,X3分別為物方點坐標(biāo)、攝站參數(shù)和相機(jī)參數(shù)改正值;A1,A2,A3分別為誤差方程的系數(shù);L為常數(shù)向量;P為單位權(quán)矩陣。

2 抗差嶺估計

2.1 抗差嶺估計的基本原理

抗差嶺估計是抗差估計和嶺估計的組合[7]?？共罟烙?又稱穩(wěn)健估計)的基本思想是將最小二乘估計的權(quán)以等價權(quán)代替，使所估計的未知參數(shù)盡可能減免粗差的影響或抗拒異常值的干擾，從而獲得可靠有效的參數(shù)估值。嶺估計則是在最小二乘估計法方程系數(shù)陣的對角線上增加一個合適的正數(shù)，生成新的法方程系數(shù)陣，通過改善原來系數(shù)陣的相關(guān)程度來提高所求結(jié)果的精度和穩(wěn)定性[8]。

將誤差方程(3)改寫成

,P.

(4)

根據(jù)抗差嶺估計原理，參數(shù)的抗差嶺估計解為

.

(5)

(6)

(7)

式中：k0為保權(quán)臨界值，此處取k0=2[9]。

，i=0,1,…,n-1.

(8)

式中:vi為觀測值殘差；mvi為vi的中誤差。

mvi由式(9)計算為

.

(9)

式中：σ0為單位權(quán)中誤差；Ai為矩陣A的第i行，即第i個誤差方程的系數(shù)向量。

.

(10)

2.2 法方程病態(tài)的判斷

法方程是否病態(tài)一般根據(jù)其系數(shù)陣的條件數(shù)來判斷，法方程系數(shù)陣的條件數(shù)按式(11)計算,為

.

(11)

式中：N為法方程系數(shù)陣；λmax,λmin分別為N的最大、最小特征值。

一般認(rèn)為當(dāng)condN<100時，法方程病態(tài)程度很??；當(dāng)100≤condN≤1 000時，法方程中等程度病態(tài)；當(dāng)condN>1 000時，法方程嚴(yán)重病態(tài)[4]。

2.3 嶺參數(shù)的選擇

引進(jìn)嶺估計的目的是減小均方根誤差，而嶺參數(shù)k的確定方法有很多，常用的方法主要有嶺跡法和雙h公式法[11]。由于嶺跡法缺乏嚴(yán)格的理論依據(jù)，k值的確定具有主觀隨意性，本文選擇雙h公式法確定k值。其算式為

(12)

若取G=I，h1=t，h2=0，則式(13)變?yōu)?/p>

(13)

式中，t為未知參數(shù)的個數(shù)。

3 基于抗差嶺估計相機(jī)標(biāo)定的流程

抗差嶺估計需要待求未知參數(shù)的初始值來進(jìn)行迭代求解，內(nèi)方位元素的初始值除焦距f取21 mm外，其余都取為零。用MetronIn-DPM[12]軟件處理像片來獲得外方位元素的初值。在獲得內(nèi)、外方位元素的初始值后，計算法方程系數(shù)陣并判斷其是否為病態(tài)。如果是病態(tài)，則采用抗差嶺估計的方法；如果不是病態(tài)，則采用抗差估計的方法。相機(jī)標(biāo)定流程如圖1所示。

圖1 抗差嶺估計相機(jī)標(biāo)定流程

圖2 實驗器材

4 實驗及分析

4.1 相機(jī)標(biāo)定對比實驗

在尺寸為80 cm×70 cm的矩形木板平面上均勻布設(shè)30個直徑為6 mm的攝影測量回光反射標(biāo)志和9個編碼標(biāo)志，以此作為實驗標(biāo)定板，如圖2所示。用Nikon D810相機(jī)在距離標(biāo)定板約2 m處的不同位置對標(biāo)定板拍攝3張照片。再用美國GSI公司的量測型INCA3相機(jī)對標(biāo)定板拍攝， VSTARS攝影測量系統(tǒng)進(jìn)行處理。由于V-STARS系統(tǒng)配合INCA3的測量精度可達(dá)5 um+5 um/m[13]，即2 m范圍內(nèi)的測量精度達(dá)到0.015 mm，因此可以將V-STARS處理得到的標(biāo)志點坐標(biāo)作為真值。均勻選擇15個標(biāo)志點作為控制點，利用抗差嶺估計法對Nikon D810相機(jī)進(jìn)行標(biāo)定解算，剩余15個點用作檢驗。實驗中，計算的首次迭代時法方程系數(shù)陣的條件數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過1 000，故屬于嚴(yán)重病態(tài)。

分別采用最小二乘估計平差(LS)、嶺估計平差(RE)和抗差嶺估計平差(RR)計算Nikon D810相機(jī)的內(nèi)外方位元素。所得外方位元素結(jié)果如表1所示，內(nèi)方位元素結(jié)果如表2所示(經(jīng)計算3種方法求得各參數(shù)的答解精度為同一量級)。

分別采用上述3種標(biāo)定結(jié)果，對剩余的15個標(biāo)志點Zi(i=1,2,3…15)用空間前方交會求得其物方三維坐標(biāo)，并與VSTARS攝影測量系統(tǒng)測得的三維坐標(biāo)進(jìn)行公共點轉(zhuǎn)換，所得坐標(biāo)差值如表3所示。

從表3中的數(shù)據(jù)可以看出，基于嶺估計的相機(jī)標(biāo)定效果和基于抗差嶺估計的相機(jī)標(biāo)定效果明顯優(yōu)于基于最小二乘估計的相機(jī)標(biāo)定效果，說明嶺估計和抗差嶺估計均能改善法方程系數(shù)陣的病態(tài)問題?；诳共顜X估計的標(biāo)定效果略好于基于嶺估計的標(biāo)定效果，原因是抗差嶺估計可以抵制觀測值中粗差的影響，而嶺估計沒有抗差性。

表1 相機(jī)外方位元素標(biāo)定結(jié)果

表2 相機(jī)內(nèi)方位元素標(biāo)定結(jié)果

表3 公共點轉(zhuǎn)換坐標(biāo)差值 mm

4.2 模擬粗差實驗

為了進(jìn)一步檢驗相機(jī)標(biāo)定模型受到觀測異常時，基于抗差嶺估計的相機(jī)標(biāo)定的效果，在上述實驗中選取3個像點觀測值，分別加上5倍、10倍和15倍的單位權(quán)中誤差后，再分別用最小二乘平差(LS)、嶺估計平差(RE)和抗差嶺估計平差(RR)3種方法進(jìn)行標(biāo)定解算，重復(fù)上述實驗步驟，所得公共點轉(zhuǎn)換的結(jié)果如表4所示。

從表4中的數(shù)據(jù)可以看出，在觀測值中加入粗差后，用最小二乘平差和嶺估計平差相對于加粗差前的標(biāo)定效果明顯變差(0.234對比0.215，0.108對比0.090)，而用抗差嶺估計的標(biāo)定效果基本不變(0.080對比0.085)。實驗中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)增大加入的粗差后，最小二乘平差和嶺估計平差的標(biāo)定效果波動較大，說明受粗差影響較大；而抗差嶺估計的標(biāo)定效果基本穩(wěn)定不變，說明受粗差影響較小。

對MetronIn-DPM軟件處理得到的外方位元素初值進(jìn)行不同程度的加減，得到3組不同的外方位元素初值。采用本文提出的基于抗差嶺估計方法進(jìn)行相機(jī)標(biāo)定，均收斂到相同結(jié)果，說明本文提出的標(biāo)定方法對參數(shù)初始值不敏感。

表4 公共點轉(zhuǎn)換坐標(biāo)差值 mm

5 結(jié)束語

本文提出基于抗差嶺估計的相機(jī)標(biāo)定方法，通過與基于最小二乘的標(biāo)定方法和基于嶺估計的標(biāo)定方法的對比實驗表明：基于抗差嶺估計的相機(jī)標(biāo)定方法能有效解決相機(jī)標(biāo)定過程中的參數(shù)相關(guān)性問題，且有效抵制觀測粗差的影響，使解算的參數(shù)結(jié)果更優(yōu)。