思維可視化：學(xué)生數(shù)學(xué)思維生長的助推器

馬花

【摘要】發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，是數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)。借助加工素材、問題驅(qū)動和深度對話，可以喚醒教材的思維可能，激活思維的內(nèi)在動力和引領(lǐng)思維的縱深發(fā)展，讓思維真正生成。教師可以讓學(xué)生通過畫下來、動手做、說出來等方式，讓思維可視化成為學(xué)生思維生長的助推器，促進學(xué)生思維有條理、更靈活和系統(tǒng)化。

【關(guān)鍵詞】思維可視化；畫圖；操作；表達

古人云：“人過留名，雁過留聲?！痹跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，教師能否讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維“思過留痕”呢？即學(xué)生在課堂上對數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)及對數(shù)學(xué)問題解決方法進行有效表達，可以文字表達（數(shù)學(xué)情境描述）、圖示表達（思維圖示或數(shù)學(xué)圖形）、式子表達（公式、算式、方程式、函數(shù)式等），這樣就可以留下思考的痕跡。這樣既利于學(xué)生自我反思、自我評價、自我改進和自我提升，也利于學(xué)生與其他同學(xué)的交流共享和思維碰撞，更利于教師及時采取有效措施進行有針對性的教學(xué)。實踐證明，“思維可視化”是可以提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的有效策略，也是教師進行因材施教的有效方法。

一、讓思維真正生成——思維可視化的基本前提

如果沒有思維的生成，何談思維的可視化？數(shù)學(xué)是思維的體操，也是思維的產(chǎn)物，但數(shù)學(xué)一旦以思維產(chǎn)物的形式固化下來，成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的對象時，它的存在，卻未必一定能引發(fā)學(xué)生的思維。傳統(tǒng)的填鴨式教學(xué)模式和機械訓(xùn)練模式急功近利，直奔結(jié)果而忽略過程，教師傳輸知識的過程就是生塞硬灌，學(xué)生學(xué)習(xí)的過程中就是生吞硬咽，這樣不但違背了大腦的認知規(guī)律，而且還使學(xué)生產(chǎn)生了強烈的厭學(xué)情緒。

1.加工素材，喚醒教材的思維可能

我們都知道好的數(shù)學(xué)素材一定具有引發(fā)思維的可能性。那如何將可能性轉(zhuǎn)換為現(xiàn)實，從而引發(fā)學(xué)生的有效思維呢？我們需要對素材進行精準加工，以適應(yīng)兒童心理規(guī)律與年齡特點。

例如，蘇教版三下《年、月、日》一課中，平年、閏年的知識是本節(jié)課教學(xué)的一個難點，如果教師僅僅出示幾個年份，讓學(xué)生算一算，然后告知平年和閏年的概念，從而視為數(shù)學(xué)上的一種認為規(guī)定，那么，其所內(nèi)涵的思維空間便會被壓縮。稍作調(diào)整，我們不妨給學(xué)生呈現(xiàn)如下學(xué)習(xí)素材：電腦軟件“萬年歷”的演示，直觀、形象令學(xué)生信服；課后閱讀“小知識”作為補充，讓學(xué)生明白為什么會出現(xiàn)每4年里有3個平年，1個閏年。這樣一方面可以開拓學(xué)生的眼界，激發(fā)學(xué)生課下進一步探究的欲望，另一方面也喚醒了素材的思維可能，讓素材真正成為思維的引擎。

2.問題驅(qū)動，激活思維的內(nèi)在動力

好的數(shù)學(xué)問題能引發(fā)學(xué)生的思維。這些問題應(yīng)具有更大的思維空間，能引發(fā)學(xué)生的思維沖突，激活思維的內(nèi)在動力。

例如，蘇教版教材二下《三位數(shù)加法》之后，特地安排了“加法估算”這一內(nèi)容。在教學(xué)中，教師不應(yīng)把估算方法直接告訴學(xué)生，而應(yīng)利用學(xué)生已有知識，提出新的問題：“估計一下，買一部電話機和一個電飯煲，大約需要多少元？”“任意選購兩件商品，估計大約需要多少元？”等實際問題。此時，倘若教師能夠引導(dǎo)學(xué)生邊思考、邊體會，他們或許會在解題過程中自覺地想到估算。

又如，蘇教版教材三上《整十、整百數(shù)乘一位數(shù)的口算和估算》教學(xué)中，教師創(chuàng)設(shè)了小猴兄弟倆買水果的情境。

師：從這幅圖中你知道了哪些信息？

生：西瓜每箱48元，哈密瓜每箱62元，它倆帶了200元。

師：200元買4箱西瓜夠不夠呢？你需要先知道什么？

生：我需要知道4箱西瓜多少元？列式是48×4。

師：你能不計算出48×4的準確結(jié)果就解決這個問題嗎？

生：是不是可以用估算的辦法？（眾生思考）

師：可以試試看呀，把你準備怎么估算的思考過程寫在作業(yè)紙上……

估算是解決實際問題的常用算法。為凸顯它的應(yīng)用價值，教師創(chuàng)設(shè)了一個可以估算的購物情境，在“帶200元買4箱西瓜夠不夠”問題的引領(lǐng)下，學(xué)生依據(jù)之前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗進行思考，卻發(fā)現(xiàn)還不會筆算“48×4”，只會口算“50×4”。在這樣的認知沖突之下，教師不失時機地提出“你能不算出準確結(jié)果就能解決問題嗎”的目標驅(qū)動，由此，學(xué)生產(chǎn)生估算需要，順理成章地進入到估算情境中，這樣思維也在問題驅(qū)動下得以充分激發(fā)與展開。

3.深度對話，引領(lǐng)思維的縱深發(fā)展

沒有思維的碰撞就沒有思維的迸射，沒有對話就沒有思維的砥礪。讓學(xué)生由自己獨立思考，形成自己的見解后，如何引導(dǎo)學(xué)生在分享與交流中建構(gòu)意義，是推動學(xué)生思維向縱深發(fā)展的重要路徑。

生3：我舉個例子，8個人里的3個人，加上8個人里的2個人，得到8個人里的5個人。

……

此時，教師不必急于出面，而應(yīng)將問題重新拋給學(xué)生——“剛才幾位同學(xué)的發(fā)言，你印象最深的是什么？”引導(dǎo)學(xué)生展開對話，或在比較中發(fā)現(xiàn)差異，或在協(xié)商中尋求共識。其實，真正的思維正是在這樣有深度、開放的對話過程中得以展開和深化的。

二、創(chuàng)新教學(xué)路徑——讓數(shù)學(xué)思維看得見

在教學(xué)中讓學(xué)生思維能夠看得見，就是支持學(xué)生實現(xiàn)自主探究式學(xué)習(xí)的一種非常有效的學(xué)習(xí)策略，運用這種策略就可以幫助學(xué)生在完成知識建構(gòu)的過程中發(fā)展學(xué)生的心智水平，即實現(xiàn)核心素養(yǎng)的發(fā)展。我們需要調(diào)動學(xué)生的多重感官，參與到思維的產(chǎn)出、發(fā)展與表達過程中來。在運用思維可視化建構(gòu)知識的過程中，用直觀的圖形、符號展現(xiàn)思維的條理性，在動手實踐中展現(xiàn)思維的靈活性，在語言表達中展現(xiàn)思維的系統(tǒng)性。

1.畫下來，讓思維條理性展現(xiàn)

思維是人腦對客觀事物的本質(zhì)屬性和內(nèi)在規(guī)律間接的、概括的反映。它是人類所具有的高級認識活動，是對新輸入信息與腦內(nèi)儲存知識經(jīng)驗進行一系列復(fù)雜的心智操作過程。實踐證明，化抽象為直觀，即把直觀的數(shù)學(xué)畫出可視化的直觀圖，為學(xué)生的思維提供一個形象化的支撐，將內(nèi)隱的難以言傳的數(shù)學(xué)思維過程和方法個性化地呈現(xiàn)出來。

例如，蘇教版四下《解決問題的策略》，有這樣的一題：一個長方形菜地長40米，寬 25米，現(xiàn)因擴建，長和寬同時增加5米，增加的面積是多少平方米？教師引導(dǎo)學(xué)生用直觀圖把題意畫出來。

有了直觀圖的依托，學(xué)生很容易想到用大面積減去小面積的方法求出增加的面積這種常規(guī)解法——[40+5×（25+5）] -40×25。如果教學(xué)到此結(jié)束，顯然是不夠的，習(xí)題的作用并沒有得到充分開發(fā)。這時教師可以拋出一個問題，從而轉(zhuǎn)化學(xué)生的思維路徑：這道題除了用大面積減去小面積的方法解決，還可以用怎樣的方法呢？能不能想辦法直接求出增加的面積呢？于是就有了以下不同的方法：

生1：把增加部分的面積分成了①、②、③三塊，如下圖：

生2：把增加部分的面積分成了①、②兩塊，如下圖：

生3受直觀圖的啟發(fā)，直接把分成的①、②兩塊拼成了一個長方形，如下圖：

小小的示意圖為學(xué)生的思維打開了一條綠色通道，一方面外化并反映出學(xué)生不同的思維方法、路徑和水平，另一方面給教師了解學(xué)生現(xiàn)狀，進而改進教學(xué)方式做出有針對性的引導(dǎo)提供了可靠的技術(shù)保障。

2.動手“做”，讓思維靈活展現(xiàn)

數(shù)學(xué)思維不是孤立的，它往往伴隨著具體的數(shù)學(xué)活動展開。由于小學(xué)生的思維水平正處在具體運算階段，所以在教學(xué)時，教師可以通過引導(dǎo)學(xué)生動手“做”數(shù)學(xué)，在操作、演示、實踐過程中，“觀察”學(xué)生的思維路徑與現(xiàn)狀，靈活調(diào)整自己的教學(xué)，從而更好地培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

在教學(xué)蘇教版一下《100以內(nèi)數(shù)的加法》時，我給學(xué)生準備了15根小棒，要求學(xué)生用小棒表示出35。很顯然，這個操作具有一定的難度，學(xué)生的第一個反應(yīng)就是小棒不夠，怎么能擺呢？但很快就有一些反應(yīng)較快的學(xué)生想出了辦法：

生1：可以將幾個人的小棒放在一起擺出3個一捆的是30，5個一根的是5，加起來就是35。

生2：可以將一支鉛筆當(dāng)作10，只需要擺3根鉛筆，然后再拿5根小棒，就擺出了35。

接下來便有更多的想法呈現(xiàn)出來。此時他們的思維顯然已經(jīng)超越了一年級學(xué)生的應(yīng)有水平，學(xué)生不知不覺學(xué)會了替換思維，這樸素的方法蘊含著對應(yīng)和假設(shè)的思維萌芽，教師順勢可以組織學(xué)生進行比較，在溝通、對比中尋找最好的表達方式，并在互相學(xué)習(xí)的過程中提升自己的理解、認識與思維水平，為下一步數(shù)學(xué)探究打開了廣闊的空間。

3.說出來——讓思維系統(tǒng)化展現(xiàn)

語言是思維的外殼，借助語言我們可以讓思維展現(xiàn)出來。但在教學(xué)中，教師應(yīng)該要克制自己說的欲望，盡可能給學(xué)生創(chuàng)設(shè)更多表達的機會，這樣學(xué)生能夠在對話、溝通、質(zhì)疑和討論中展現(xiàn)、發(fā)展和提升思維。

在蘇教版二下中，學(xué)生認識鐘面的時間是一個難點，很容易認錯。尤其是接近整時或者超過整時一點的，錯誤率極高。如寫出下圖鐘面上的時間，學(xué)生就會出現(xiàn)如下錯誤結(jié)果：10：11、9：11、10：55、11：10、11：55。分析原因，11：10、11：55是沒分清時針和分針導(dǎo)致的錯誤，而10：11、9：11、10：55則是沒弄懂時針和分針行走的規(guī)律導(dǎo)致的錯誤。仔細分析這些錯誤，讓學(xué)生說說相應(yīng)的思考過程：先找鐘面上較短的時針，時針走過幾，就是幾時多；再找鐘面上較長的分針，指向幾，走了幾×5分鐘，因此，鐘面上的時間是幾時幾分。上面的鐘面比較特殊，時針不容易判斷時，我們就先觀察分針有沒有走過12。沒有走過，那說明時針還沒有到整時；如果走過了12，那說明時針走過了整時。

學(xué)生像這樣進行數(shù)學(xué)思維，并經(jīng)常說一說主要思維過程，就會發(fā)現(xiàn)和避免以上出現(xiàn)的各種錯誤。透過學(xué)生的語言表達，我們不難發(fā)現(xiàn)，每一種表達的背后，都隱含著某一種思路。這些，都給教師觸摸學(xué)生的思維軌跡創(chuàng)造了極佳的條件。

由此可見，思維可視化作為學(xué)生數(shù)學(xué)思維生長的助推器和重要學(xué)習(xí)策略，可以有效促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維的條理性、靈活性和系統(tǒng)化，不斷提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，避免和減少各種數(shù)學(xué)作業(yè)錯誤，提高數(shù)學(xué)成績。思維可視化作為教師了解學(xué)生、讀懂學(xué)生和研究學(xué)生并進行因材施教的重要教學(xué)策略，具有豐富的教育意蘊和實踐價值，值得一線數(shù)學(xué)教師深入探討和研究。

【參考文獻】

[1]教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）解讀[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]張齊華. “思維可視化”視域下小學(xué)數(shù)學(xué)課堂之重建[J]. 江蘇教育：小學(xué)教學(xué)，2017（04）：48-50.

[3]劉麗娟. 讓兒童的思維看得見[J]. 人民教育，2014（23）：40-42.

[4]夏忠. 畫數(shù)學(xué)，為學(xué)生提供可視化的思維路徑[J].教學(xué)與管理，2017（04）：47-49.