應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程課程講授探索

劉仁彬

摘 要：本文基于本科應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程課程教學(xué)中授課教師講什么、如何講的問題，結(jié)合該課程的知識(shí)點(diǎn)和講授實(shí)踐，就本科應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程的授課問題進(jìn)行了深入的思考和探索。

關(guān)鍵詞：應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程 教學(xué)效果 講授內(nèi)容 講授方式

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2018）02（a）-0147-02

《應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程》是本科生學(xué)習(xí)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程后即將開設(shè)的一門后繼課程。它的基本知識(shí)和方法，不僅為數(shù)學(xué)、概率統(tǒng)計(jì)專業(yè)所必需，也為工程技術(shù)、電子信息及經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用與研究所需要。 因此，隨機(jī)過(guò)程的理論、方法和應(yīng)用越來(lái)越受到人們的重視，高等院校的學(xué)生、工程技術(shù)人員、金融工作者，更迫切地需要學(xué)習(xí)和掌握隨機(jī)過(guò)程的知識(shí)。

但是本科學(xué)生習(xí)慣了確定性現(xiàn)象的研究思維和研究方法，對(duì)以研究不確定現(xiàn)象為對(duì)象的應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程課程，感覺理論抽象、公式繁瑣，例題聯(lián)系廣泛，理解、接受和應(yīng)用起來(lái)難度很大。另一方面，大多數(shù)高校都把這門課程列為選修課，課時(shí)較短（我校統(tǒng)計(jì)專業(yè)是40學(xué)時(shí)，數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)是32學(xué)時(shí)，全校選修課是32學(xué)時(shí)）。面對(duì)這樣的局面，如何在有限的教學(xué)時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)理想的教學(xué)效果，讓學(xué)生理解抽象的概念、掌握定理結(jié)論并應(yīng)用到實(shí)際問題中去分析問題和解決問題，克服學(xué)生的恐懼畏難情緒，使學(xué)生的被動(dòng)學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃?dòng)學(xué)習(xí)，最終實(shí)現(xiàn)教學(xué)中學(xué)生為主體老師為主導(dǎo)，這不僅要求學(xué)生勤奮努力，更對(duì)授課教師提出了較高的要求。講什么？如何講？這是授課教師繞不開的一個(gè)主題。 作者結(jié)合講授應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程多年的實(shí)踐和體會(huì)，進(jìn)行了如下的思考和探索。

1 對(duì)一些概念，講清楚引入它們的原因或作用

在應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程的教學(xué)中，經(jīng)常出現(xiàn)的一種現(xiàn)象是，授課教師直接給出一些抽象的概念，隨后理論上證明一些定理結(jié)論，再講解一些例題。學(xué)生不理解引入這些概念有什么用，為什么需要這些概念，僅僅停留在被動(dòng)學(xué)習(xí)的不利地位，完全是因?yàn)榭荚嚩鴮W(xué)習(xí)。如果講清楚概念引入的原因或作用，將有利于學(xué)生加深對(duì)概念的理解和掌握。比如，引入事件域σ代數(shù)）這一概念時(shí)，可以實(shí)數(shù)集的運(yùn)算封閉性來(lái)談事件域引入的原因。因?yàn)閷?shí)數(shù)集具有良好的運(yùn)算封閉性，即實(shí)數(shù)的加、減少、乘、除、乘方、開方仍是實(shí)數(shù)，使得其上建立的函數(shù)具有良好的性質(zhì)。同樣地，為了更好地研究事件概率，需要在事件構(gòu)成的集合（集類）上定義一個(gè)具有良好性質(zhì)的函數(shù)（概率），這就要求這個(gè)事件構(gòu)成的集類對(duì)集合的運(yùn)算具有良好的封閉性，即這個(gè)集類的集合經(jīng)并、交、差、對(duì)立事件等運(yùn)算后仍屬于這個(gè)集合。這樣的集類稱為事件域，從而很自然地給出事件域概念，加深了學(xué)生的理解。由于事件域?qū)κ录\(yùn)算具有良好的封閉性，使得其上建立的函數(shù)（概率）具有良好的性質(zhì)，再講授概率的幾條性質(zhì)就很自然了；又比如，為了更好的表示事件，特別是表示一些復(fù)雜事件，概率論在樣本空間上定義一個(gè)函數(shù)，用它的函數(shù)值來(lái)表示事件，這個(gè)函數(shù)就是隨機(jī)變量，從而引出隨機(jī)變量的概念。再比如，對(duì)任意實(shí)數(shù)和樣本空間，由于，，所以要求隨機(jī)變量X取值表示的事件概率，只需對(duì)任意實(shí)數(shù)x，求事件的概率，而是x的函數(shù)，稱為X的分布函數(shù)，這樣就說(shuō)明了引入分布函數(shù)的原因。

2 對(duì)相關(guān)聯(lián)的隨機(jī)過(guò)程，講清楚它們的區(qū)別和聯(lián)系

在應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程課程中，有些隨機(jī)過(guò)程之間是相關(guān)聯(lián)的，講清楚它們之間的區(qū)別和聯(lián)系，可以讓學(xué)生理解更透徹。比如，對(duì)嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程和寬平穩(wěn)過(guò)程來(lái)說(shuō)，它們的均值函數(shù)和方差函數(shù)存在時(shí)均為常數(shù)，而自相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)均為時(shí)間間隔的一元函數(shù)。但嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程不一定是寬平穩(wěn)過(guò)程，反之一樣，也存在既不是嚴(yán)平穩(wěn)又不是寬平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程。具體例子如下：（1）對(duì)其密度函數(shù)為，則是嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程，但不存在，所以不是寬平穩(wěn)過(guò)程；（2）對(duì)，因?yàn)閷?duì)有，即該隨機(jī)過(guò)程的一維分布函數(shù)隨時(shí)間平移改變，所以該過(guò)程不是嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程。但由于均值函數(shù)，協(xié)方差函數(shù)只與時(shí)間差有關(guān)，

且二階矩，故該過(guò)程為寬平穩(wěn)過(guò)程。但對(duì)，因是t的函數(shù)，故該過(guò)程既不是嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程又不是寬平穩(wěn)過(guò)程。由上述關(guān)系可知，當(dāng)嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程也是二階矩過(guò)程時(shí)必為寬平穩(wěn)過(guò)程。另外，理論上可以證明，對(duì)正態(tài)過(guò)程（Gauss過(guò)程）而言，嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程等價(jià)于寬平穩(wěn)過(guò)程。

3 對(duì)具有多個(gè)定義的隨機(jī)過(guò)程，明確它們各自的使用范圍

對(duì)隨機(jī)過(guò)程的多個(gè)等價(jià)定義，講清楚它們各自的使用范圍，對(duì)它們的具體應(yīng)用是有益的。比如，泊松過(guò)程具有如下三個(gè)等價(jià)定義：

定義1稱計(jì)數(shù)過(guò)程N(yùn)（t）為參數(shù)為的泊松過(guò)程，如果（1）N（0）=0；（2）過(guò)程有獨(dú)立增量；（3）。

定義2 計(jì)數(shù)過(guò)程為參數(shù)為的泊松過(guò)程，如果（1）N（0）=0；（2）過(guò)程具有平穩(wěn)獨(dú)立增量性；（3）對(duì)充分小的正數(shù)；（4）對(duì)充分小的正數(shù)。

定義3 稱計(jì)數(shù)過(guò)程N(yùn)（t）為參數(shù)為的泊松過(guò)程，如果某事件A發(fā)生的間隔時(shí)間序列獨(dú)立均服從參數(shù)的指數(shù)分布。

一般，定義1和3常在理論計(jì)算和證明中使用，定義2通常在實(shí)際問題中用來(lái)判斷某個(gè)隨機(jī)過(guò)程是否可近似為泊松過(guò)程。

4 對(duì)實(shí)際工程中常用到的隨機(jī)過(guò)程，盡量多結(jié)合一些實(shí)際案列，突出它們的應(yīng)用價(jià)值

結(jié)合一些實(shí)際案例去理解抽象的隨機(jī)過(guò)程，對(duì)理論上理解和實(shí)際中運(yùn)用有很大的幫助。比如，一段時(shí)間內(nèi)，到某商場(chǎng)購(gòu)物的顧客數(shù)；經(jīng)過(guò)公路某路口的汽車數(shù)；保險(xiǎn)公司接到的索賠數(shù)；細(xì)胞中染色體的交換數(shù)；計(jì)數(shù)器上的粒子流和炮彈的彈著點(diǎn)等等，都可以近似看成泊松過(guò)程。又比如，一臺(tái)機(jī)器上某種型號(hào)的零件發(fā)生故障后立即換上同型號(hào)的新零件，則一段時(shí)間內(nèi)換下的零件近似為一個(gè)延遲更新過(guò)程；再比如，昆蟲沿著一個(gè)三角形三條邊在三個(gè)頂點(diǎn)間爬行，且以相同的概率爬向相鄰的頂點(diǎn)，則某時(shí)刻昆蟲所在的頂點(diǎn)位置是一個(gè)時(shí)齊鏈；還有上鞅、下鞅和鞅可以描述有利、不利和公平賭博等等例子。

5 對(duì)一些抽象難懂的隨機(jī)過(guò)程，運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示

有一些隨機(jī)過(guò)程教材上只給出了抽象的定義，如用傳統(tǒng)的講授方法，學(xué)生不易理解和接受，也無(wú)法明白其應(yīng)用價(jià)值。比如教材上理論推導(dǎo)了隨機(jī)游動(dòng)的極限過(guò)程就是布朗運(yùn)動(dòng)，用標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)定義了漂移布朗運(yùn)動(dòng)和布朗橋，比較抽象，學(xué)生也難于理解“漂移”和“橋”的特征，如果借助數(shù)學(xué)軟件編程在多媒體上進(jìn)行演示，則通過(guò)對(duì)時(shí)間的無(wú)限分割可以讓學(xué)生看到用隨機(jī)游動(dòng)逼近布朗運(yùn)動(dòng)的這個(gè)過(guò)程，相比傳統(tǒng)的講授更容易讓學(xué)生接受。通過(guò)對(duì)比讓學(xué)生對(duì)漂移布朗運(yùn)動(dòng)中“漂移”有更加形象直觀的認(rèn)識(shí)。通過(guò)圖像的實(shí)現(xiàn)可直觀地講解為什么這樣的過(guò)程稱為“橋”。對(duì)具體如何編程實(shí)現(xiàn)上述教學(xué)效果，可參考文獻(xiàn)。

隨機(jī)過(guò)程是一門高度抽象應(yīng)用廣泛的新學(xué)科，隨著各領(lǐng)域新問題的出現(xiàn)和新的數(shù)學(xué)知識(shí)的引入，其發(fā)展是與時(shí)俱進(jìn)的。在講授隨機(jī)過(guò)程課程時(shí)，既要通曉各領(lǐng)域相關(guān)的實(shí)際例子，又要深入淺出地講清楚抽象的理論知識(shí)，講什么？怎樣講？需要授課教師不斷實(shí)踐、探索和積累，只有這樣，才能實(shí)現(xiàn)該課程的應(yīng)用型人才培養(yǎng)目標(biāo)。

參考文獻(xiàn)

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