三維測(cè)量系統(tǒng)中基于圓錐擬合的旋轉(zhuǎn)臺(tái)軸線標(biāo)定新方法

傅屈晨，謝 核，賀崢嶸，彭 真，王國(guó)林，李文龍

（1.華中科技大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院，湖北 武漢430012；2.中國(guó)航發(fā)南方工業(yè)有限公司，湖南 株洲410000）

航空葉片作為工況惡劣的關(guān)鍵性零部件，表面精度和尺寸精度對(duì)其服役性能有著巨大影響，因而對(duì)其進(jìn)行精確測(cè)量與質(zhì)量檢測(cè)顯得尤為關(guān)鍵。傳統(tǒng)的三坐標(biāo)測(cè)量法可以一次裝夾完成測(cè)量，不涉及標(biāo)定問(wèn)題。然而其作為接觸式測(cè)量方法，存在測(cè)量速度慢等問(wèn)題。目前主流的非接觸式測(cè)量方法有基于相機(jī)光學(xué)、結(jié)構(gòu)光、激光等，這些方法都具有較高的效率，但是因?yàn)橐淮沃荒軓膯蝹€(gè)方向測(cè)量零件，需要對(duì)多視角數(shù)據(jù)進(jìn)行拼接。常用的拼接方法有兩類：（1）附加標(biāo)記物，在被測(cè)物體上粘貼標(biāo)記或固定定位球，利用物體幾何特征進(jìn)行匹配[1]；（2）對(duì)固定零件的工作臺(tái)進(jìn)行標(biāo)定。由于第一種方法基于測(cè)量數(shù)據(jù)的重合部分進(jìn)行拼接，零件本身的特征對(duì)測(cè)量結(jié)果影響較大[2]。所以為了準(zhǔn)確測(cè)量葉片，對(duì)旋轉(zhuǎn)臺(tái)的精確標(biāo)定是十分必要的。徐永安[1]等人在轉(zhuǎn)臺(tái)上固定一個(gè)標(biāo)定球，測(cè)量已知旋轉(zhuǎn)度數(shù)的三個(gè)位置的球，通過(guò)球心擬合的圓心估算出轉(zhuǎn)軸位置，其利用精度為0.050 mm的測(cè)量機(jī)得到了0.070 mm的標(biāo)定精度。解則曉[3]等人則選擇將旋轉(zhuǎn)次數(shù)設(shè)置為六次，進(jìn)一步提高了標(biāo)定精度。Meiling Da[2]和胡民政[4]等人利用雙球標(biāo)的方式得到了轉(zhuǎn)臺(tái)的軸線方向，他們對(duì)標(biāo)定的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了簡(jiǎn)化，假設(shè)轉(zhuǎn)臺(tái)軸線方向與水平面垂直。Jingbo Zhou[5]等人在轉(zhuǎn)臺(tái)旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，對(duì)固定在其上的材料進(jìn)行銑削，通過(guò)對(duì)所得圓柱的測(cè)量得到軸線。Bin Sun[6]和Bing Li[6]在航空葉片測(cè)量中考慮了探頭的傾斜并建立了誤差模型。Meiling Da[2]等人則認(rèn)為相比系統(tǒng)總誤差，對(duì)旋轉(zhuǎn)臺(tái)軸線誤差進(jìn)行分析的意義更為重大[2]。

本文考慮轉(zhuǎn)臺(tái)軸線與水平面不垂直的情況，提出了一種基于圓錐擬合的旋轉(zhuǎn)臺(tái)軸線高精度標(biāo)定新方法，將標(biāo)準(zhǔn)陶瓷圓柱固定在轉(zhuǎn)臺(tái)上，每次轉(zhuǎn)動(dòng)△θ角，對(duì)不同位置的圓柱進(jìn)行測(cè)量，并獲得軸線。將軸線擬合成虛擬圓錐，圓錐的軸線即為轉(zhuǎn)臺(tái)軸線。該方法存在以下兩個(gè)亮點(diǎn)。第一，傳統(tǒng)圓球標(biāo)定物只存在圓心一個(gè)特征點(diǎn)，而本文采用的圓柱標(biāo)定物能獲得更多軸線方向的信息，可有效提高標(biāo)定數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性；第二，圓錐擬合既標(biāo)定了旋轉(zhuǎn)臺(tái)原點(diǎn)位置又標(biāo)定了其軸線方向，將傳統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)臺(tái)標(biāo)定的3個(gè)位置參數(shù)改進(jìn)為6個(gè)位姿參數(shù)，修正了轉(zhuǎn)臺(tái)軸線誤差，進(jìn)一步提高了標(biāo)定精度。

1 旋轉(zhuǎn)臺(tái)標(biāo)定數(shù)學(xué)模型

1.1 坐標(biāo)系的建立

如圖1所示，該三維測(cè)量系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)由三軸平移臺(tái)和旋轉(zhuǎn)臺(tái)構(gòu)成。以機(jī)器零點(diǎn)OW為原點(diǎn)建立世界坐標(biāo)系{W}，以大理石平面為xW-yW平面（通過(guò)水平儀調(diào)節(jié)大理石平面與水平面平行）。在轉(zhuǎn)臺(tái)初始位置建立與轉(zhuǎn)臺(tái)固接的坐標(biāo)系{R0}，轉(zhuǎn)臺(tái)軸線與轉(zhuǎn)臺(tái)平面的交點(diǎn)OR在世界坐標(biāo)系W中的坐標(biāo)為OR（x0R，y0R，z0R），轉(zhuǎn)臺(tái)軸線單位方向向量為 s（u，v，w）。在轉(zhuǎn)動(dòng) θ角度之后坐標(biāo)系變?yōu)閧Rθ}。根據(jù)從世界坐標(biāo)系{W}到轉(zhuǎn)臺(tái)坐標(biāo)系{Rθ}的齊次變換[9]，三維測(cè)點(diǎn)p滿足：

式中 sθ＝ sinθ，c=cosθ，此時(shí)只需標(biāo)定 OR（x0R，y0R，z0R）三個(gè)參數(shù)。若軸線不垂直于水平面xW-yW，則

其中Versθ＝1-cosθ，此時(shí)還需標(biāo)定軸線方向s（u，v，w）。因此為準(zhǔn)確得到測(cè)點(diǎn)，需要轉(zhuǎn)臺(tái)標(biāo)定 s（u，v，w）和OR（x0R，y0R，z0R）六個(gè)參數(shù)。

1.2 基于圓錐擬合的轉(zhuǎn)臺(tái)標(biāo)定

首先將標(biāo)定圓柱固定在轉(zhuǎn)臺(tái)上，轉(zhuǎn)臺(tái)每轉(zhuǎn)過(guò)△θ度時(shí)，在坐標(biāo)系{W}中測(cè)量標(biāo)定圓柱，通過(guò)圓柱擬合得到其軸線，轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)一周，可得n=360/△θ個(gè)位置的圓柱軸線（如圖2），為獲取轉(zhuǎn)臺(tái)軸線基點(diǎn)OR和方向s（如圖3）的具體數(shù)值，需先對(duì)所有軸線進(jìn)行圓錐擬合。設(shè)圓錐頂點(diǎn)坐標(biāo)（xM，yM，zM），母線與軸線 s夾角γ，則圓錐上一點(diǎn)（xi，yi，zi）滿足方程：

將公式（4）化為二次曲面通式并加入殘差項(xiàng)E得誤差方程式（5）：

通過(guò)對(duì)誤差E進(jìn)行最小二乘法可求解二次曲面通式（5）中的參數(shù) A-J：

t=cosγ2；A ＝ μ2-t；B ＝ v2-t

圖3 圓錐擬合示意圖

圖2 圓柱軸線提取示意圖

雖然此方法對(duì)多數(shù)情況下圓錐擬合效果較好，但在轉(zhuǎn)臺(tái)標(biāo)定中因?yàn)閳A錐半頂角γ過(guò)小，且軸線與zw軸近乎平行，方程系數(shù)之間巨大差異會(huì)導(dǎo)致求解出現(xiàn)病態(tài)情況，此方法將不適用。需將二次方程標(biāo)準(zhǔn)化[7]（如圖4）。

圖4 圓錐標(biāo)準(zhǔn)化示意圖

其中，X ＝ [xi，yi，zi]T，由公式（7）構(gòu)造出轉(zhuǎn)移矩陣K，對(duì)其進(jìn)行奇異值分解：

其中 L 表示為可 diag（λ1，λ2，λ3），定義矩陣 R 的第三列為R3，則標(biāo)定參數(shù)表示為：

2 仿真測(cè)試

2.1 完整圓錐擬合

根據(jù)轉(zhuǎn)臺(tái)直徑，擬合出直徑為160 mm的部分圓錐面，將曲面離散化生成10萬(wàn)點(diǎn)云數(shù)據(jù)（如圖5）。轉(zhuǎn)臺(tái)平面zw坐標(biāo)為-2.663 mm.圓錐擬合得到轉(zhuǎn)臺(tái)軸線方向誤差為0 rad，位置誤差為0 mm，均優(yōu)于圓柱擬合（如圖6）。由表1可知當(dāng)圓錐點(diǎn)云完整時(shí)，圓錐擬合與圓柱擬合方法誤差均較小。

圖5 圓錐點(diǎn)云

圖6 圓錐擬合

表1 擬合誤差分析統(tǒng)計(jì)表I

2.2 不完整圓錐擬合

由于實(shí)際用來(lái)擬合圓錐的是不同位置圓柱的軸線，取八段對(duì)稱位置的點(diǎn)云模仿實(shí)際數(shù)據(jù)（如圖7），但沒(méi)有引入任何噪音。由表可以看出圓錐出現(xiàn)了較小的位置誤差，但由于點(diǎn)云保持對(duì)稱性，方向誤差仍然為0 rad，優(yōu)于圓柱擬合效果（如圖8）。由表2可知當(dāng)圓錐點(diǎn)云不完整時(shí)，圓錐擬合與圓柱擬合方法誤差均增大。

圖7 不完整點(diǎn)云

圖8 圓錐擬合

表2 擬合誤差分析統(tǒng)計(jì)表II

2.3 加入高斯噪音

在擬合實(shí)際數(shù)據(jù)時(shí)，噪音是無(wú)法避免的，噪音的引入會(huì)導(dǎo)致較大的形狀誤差，從而導(dǎo)致較大的標(biāo)定誤差。為了進(jìn)一步模擬實(shí)際測(cè)得數(shù)據(jù)，分別給完整點(diǎn)云和不完整點(diǎn)云加入標(biāo)準(zhǔn)差為0.001 mm～0.02 mm的高斯噪音，如表3所示?？梢?jiàn)隨著噪音的增大圓柱擬合圓錐擬合的精度都隨之下降，但圓錐擬合誤差在位置和方向始終比圓柱擬合低一個(gè)數(shù)量級(jí)以上。

表3 擬合誤差分析統(tǒng)計(jì)表III

3 實(shí)驗(yàn)

3.1 旋轉(zhuǎn)臺(tái)標(biāo)定實(shí)驗(yàn)

三維測(cè)量系統(tǒng)由三維移動(dòng)平臺(tái)，轉(zhuǎn)臺(tái)和點(diǎn)激光測(cè)頭組成。測(cè)頭精度為0.010 mm，最大測(cè)量角度170°，測(cè)量頻率1 000 Hz.移動(dòng)平臺(tái)x軸重復(fù)定位精度為0.012 mm，y軸0.010 mm，z軸0.018 mm.行程由光電限位開關(guān)決定（287.00 mm，287.00 mm，437.00 mm）。通過(guò)對(duì)八個(gè)位置圓柱的測(cè)量并對(duì)其軸線進(jìn)行圓錐擬合（如圖9），標(biāo)定獲得轉(zhuǎn)臺(tái)軸線方向?yàn)?s（0.000 1，-0.001 1，1），基點(diǎn)為 O（R126.453 9 mm，254.054 6 mm，0 mm）（如圖 10）。圓柱擬合所得參數(shù)為 s（0，0，1），OR（126.583 5 mm，254.019 8 mm，0 mm）。

圖9 陶瓷圓柱測(cè)量

圖10 軸線標(biāo)定

3.2 測(cè)量實(shí)驗(yàn)

為了評(píng)估測(cè)量效果，本文采用華中科技大學(xué)數(shù)字制造裝備與技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室自主開發(fā)的i－Cloud3D三維檢測(cè)軟件，該軟件具備點(diǎn)云精簡(jiǎn)、光順、匹配與誤差三維誤差分析等功能。

如圖11為待測(cè)圓柱面的模型點(diǎn)云圖。對(duì)圓柱面進(jìn)行測(cè)量時(shí)，轉(zhuǎn)臺(tái)的單次旋轉(zhuǎn)角為45°，將葉片點(diǎn)云通過(guò)標(biāo)定參數(shù)進(jìn)行拼接，標(biāo)準(zhǔn)偏差為0.032 mm（如圖12）。圓柱的擬合標(biāo)準(zhǔn)偏差為0.042 mm（如圖13），局部放大后可見(jiàn)待擬合的圓柱點(diǎn)云出現(xiàn)明顯分層現(xiàn)象（如圖 14）。

圖11 圓柱點(diǎn)云

圖12 圓錐擬合標(biāo)定

圖13 圓柱擬合標(biāo)定

圖14 點(diǎn)云分層

對(duì)兩種型號(hào)的葉片模型進(jìn)行測(cè)量。葉片1長(zhǎng)寬高為（1 190 mm×580 mm×1 940 mm），點(diǎn)云數(shù)量為298 179（如圖15）；葉片2長(zhǎng)寬高為（1 064 mm × 630 mm × 1 900 mm），點(diǎn)云數(shù)量為 228 533（如圖 16）。為減小測(cè)量誤差，實(shí)際測(cè)量時(shí)要盡量將被測(cè)物體置于轉(zhuǎn)臺(tái)中心，從而旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的偏差會(huì)減小[1]（如圖17）。

圖15 葉片1點(diǎn)云

圖16 葉片2點(diǎn)云

圖17 葉片測(cè)量

轉(zhuǎn)臺(tái)的單次旋轉(zhuǎn)角取180°.將葉片點(diǎn)云通過(guò)標(biāo)定參數(shù)拼接，可得葉片模型標(biāo)準(zhǔn)偏差分別為0.082 mm（如圖 18）和 0.087 mm（如圖 19）。經(jīng)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，圓柱擬合的標(biāo)定誤差明顯大于圓錐擬合。同時(shí)因?yàn)閳A錐錐度過(guò)小，頂點(diǎn)往往離底面基點(diǎn)距離極遠(yuǎn)，需要迭代算法來(lái)確定最佳擬合。

圖18 葉片1擬合誤差圖

圖19 葉片2擬合誤差圖

4 結(jié)束語(yǔ)

本文考慮旋轉(zhuǎn)臺(tái)軸線方向不與水平面垂直的情況，提出了一種基于圓錐擬合的轉(zhuǎn)臺(tái)標(biāo)定新方法。使用標(biāo)準(zhǔn)陶瓷圓柱對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)軸線進(jìn)行了精確標(biāo)定。利用三軸重復(fù)定位精度為0.024 mm的三維點(diǎn)坐標(biāo)測(cè)量系統(tǒng)獲得了轉(zhuǎn)臺(tái)軸線基點(diǎn)位置標(biāo)準(zhǔn)偏差為0.032 mm的標(biāo)定結(jié)果。標(biāo)定與測(cè)量實(shí)驗(yàn)表明，與圓柱擬合相比，該標(biāo)定方法精度更高。