在探究發(fā)現(xiàn)中學(xué)習(xí)拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)性質(zhì)的案例

文/中山紀(jì)念中學(xué) 王明山

本節(jié)探究課是前面學(xué)習(xí)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的延伸，也是在學(xué)習(xí) 《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué) （選修2-1）》 （人教版）第二章圓錐曲線中橢圓和雙曲線有關(guān)知識(shí)基礎(chǔ)上的拓展。美籍?dāng)?shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家波利亞在其名著 《怎樣解題》中指出：在解題過程中要加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)能力的培養(yǎng)，教會(huì)學(xué)生思考和培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神。因此本節(jié)課的重點(diǎn)不在于推出多少性質(zhì)，記住多少結(jié)論，而是用已學(xué)過的知識(shí)為載體，引導(dǎo)學(xué)生如何抓住這類問題的本質(zhì)（拋物線的焦點(diǎn)的直線方程），啟發(fā)學(xué)生思考，在探究活動(dòng)中積累基本的運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，提高分析問題和解決問題的能力。

1．課前準(zhǔn)備，知識(shí)鏈接

上網(wǎng)搜集有關(guān) “拋物線的光學(xué)性質(zhì)及截面為部分拋物線的物體”的資料，并與同學(xué)交流。

2．問題引出本節(jié)內(nèi)容

師：投影演示學(xué)生作業(yè) （即課本第73第5題的解答過程）。

【題】如圖，M是拋物線y2=4x上一點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，以為Fx始邊，為FM終邊的角∠xFM=60°，求│FM│。

（此時(shí)學(xué)生全神貫注地看著投影，同自己的解答過程作比較）

師：請(qǐng)同學(xué)們分析此題解答是否正確，有無(wú)其他解法？

生1：方程③使用韋達(dá)定理無(wú)法求出│MF│的大小，只能先求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后用兩點(diǎn)間距離求出│MF│。

生2：因?yàn)椹M│=x2+p，所以│FM│=3+1=4。

（其余同學(xué)都基本贊同兩位同學(xué)的分析）

生3：化簡(jiǎn)方程組時(shí)常不知道消去x還是消去y，而且也容易出錯(cuò)。

師：大家能否從直線FM的方程入手尋求該問題的突破口呢？

【設(shè)計(jì)意圖】通過一個(gè)共性的作業(yè)問題引出本節(jié)課的重點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生探究知識(shí)的欲望。

3.提出問題、討論、探究、交流分享

問題1：

師：如右圖所示，拋物線方程為：y2=2px（p＞0）， 焦點(diǎn)

通常情況下如何根據(jù)已知條件設(shè)直線方程？

生：一般用點(diǎn)斜式來(lái)設(shè)直線方程。

師：用點(diǎn)斜式來(lái)設(shè)直線方程要討論直線的斜率是否存在，有沒有不討論直線斜率的存在性而設(shè)直線方程呢？請(qǐng)同桌兩位同學(xué)相互討論、補(bǔ)充。

【討論過程】同桌兩位同學(xué)相互討論，老師回答學(xué)生的疑問。

師：過拋物線焦點(diǎn)的直線方程到目前為止通常有幾種表示形式？

師：請(qǐng)同學(xué)們分析上述三個(gè)方程的優(yōu)缺點(diǎn)。

【發(fā)現(xiàn)結(jié)論、交流分享】

方程①是斜率存在的前提下得到，對(duì)于斜率不存在需要單獨(dú)討論。

方程②包含直線斜率不存在的情況，但對(duì)斜率k=0的情況需加以特別說明。

【設(shè)計(jì)意圖】在合作學(xué)習(xí)中，分享彼此的方法和經(jīng)驗(yàn)，這是擬定解題方案的關(guān)鍵一環(huán)。

問題2：

師：有了對(duì)直線方程的上述討論，那么如何分別化簡(jiǎn)下列兩個(gè)方程組？

【討論過程】對(duì)于方程組 （1） （2）的化簡(jiǎn)，同桌兩個(gè)同學(xué)分工，一個(gè)同學(xué)用消去x的方法化簡(jiǎn)方程組，另一個(gè)同學(xué)用消去y的方法化簡(jiǎn)方程組，然后交換化簡(jiǎn)結(jié)果，相互交流。

投影演示某組同學(xué)化簡(jiǎn)結(jié)果：

（a）把①式代入②消去y有：k2x2-(k2+2)px+（定值）。

（b）把②式代入①消去 x有 ky2-2py-p2=0，則

（a）把③式代入④消去x有：y2-2mpy-p2=0，則y1+y2=2mp， y1y2=-p2（定值）。

【發(fā)現(xiàn)結(jié)論、交流分享】請(qǐng)同學(xué)們觀察、分析上述方程組的化簡(jiǎn)過程，思考在什么條件下設(shè)哪種直線方程以及在化簡(jiǎn)方程組時(shí)如何消元？

生1：如果定點(diǎn)P=(a，0)(a≠0)為x軸上的點(diǎn)，則設(shè)直線方程為x=my+a，再與拋物線方程聯(lián)列，消去x，化簡(jiǎn)方程組較簡(jiǎn)單。

生2：如果定點(diǎn)P=(0，b)(b≠0)為y軸上的點(diǎn)，則設(shè)直線方程為y=ky+b，再與拋物線方程聯(lián)列，消去y，化簡(jiǎn)方程組較簡(jiǎn)單。

【探究一】有了上面的化簡(jiǎn)結(jié)果，如何根據(jù)方程組的化簡(jiǎn)結(jié)果來(lái)探究拋物線焦點(diǎn)弦的一些常見性質(zhì)？

學(xué)生討論、交流、分享探究結(jié)論：

①x1x2=

②│AB│=x1+x2+p。

③設(shè)A，B分別為MN，M1N1的中點(diǎn)，AB與拋物線交于Q，則Q是AB的中點(diǎn)。

……

【探究二】 如果用tanθ代替 （1）（2） 方程組中的k，會(huì)出現(xiàn)什么結(jié)論？

學(xué)生獨(dú)立思考、交流、分享探究結(jié)論：

【回顧、檢查、總結(jié)】

（1）不論從拋物線的定義、例題，還是習(xí)題都可以發(fā)現(xiàn)： “過拋物線的焦點(diǎn)的直線是研究直線與拋物線位置關(guān)系中非?；疽彩欠浅Ｖ匾囊粭l直線”，對(duì)這條直線的研究不但可以挖掘出與此相關(guān)的很多性質(zhì)，而且也可以起到觸類旁通的效果，對(duì)解析幾何問題的理解和解答起到很好的示范作用。

（2）針對(duì)學(xué)生的困惑筆者認(rèn)為一方面是沒有針對(duì)具體問題進(jìn)行深入的數(shù)學(xué)閱讀，設(shè)計(jì)好解題方案，另一方面則是運(yùn)算能力不過關(guān)，在方程 （方程組）化簡(jiǎn)過程中無(wú)法完整執(zhí)行解題方案。

3.課后思考、探究、發(fā)現(xiàn)

（1）在問題1中如果直線過定點(diǎn)P(a，b)且a≠0，b≠0，又如何設(shè)直線過程？（2）在投影演示課本第73第5題的解答過程中，我們可以確定點(diǎn)的M坐標(biāo)是那么另一個(gè)坐標(biāo)的意義是什么？請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立思考課本第70例5，并嘗試可以發(fā)現(xiàn)哪些類似結(jié)論？體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想？

（3）解答課本第81，并了解關(guān)于反射式 （也叫牛頓式）天文望遠(yuǎn)鏡的制造原理。

依據(jù)波利亞在 《怎樣解題》中提出的四個(gè)解題步驟，從實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)的問題出發(fā)，在教與學(xué)的師生互動(dòng)中，既體現(xiàn)了學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位，也體現(xiàn)出教師的引領(lǐng)、啟發(fā)作用，而且?guī)熒g交流分享彼此的經(jīng)驗(yàn)、思路，使得學(xué)生進(jìn)一步加深了數(shù)形結(jié)合思想的理解，培養(yǎng)了學(xué)生的理性思維，學(xué)生通過直觀想象和代數(shù)運(yùn)算得到結(jié)果，并給出幾何解釋，在探究中解決了學(xué)習(xí)的困惑。