高等數(shù)學(xué)解題中線性代數(shù)方法的運(yùn)用

張憶偉　孫志田

摘要：在高校當(dāng)中，高等數(shù)學(xué)是一門十分重要的課程，線性代數(shù)是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，很多學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程當(dāng)中，將數(shù)學(xué)問題的學(xué)習(xí)方法轉(zhuǎn)化為高等數(shù)學(xué)或是線性數(shù)學(xué)，由此可見，高等數(shù)學(xué)與線性數(shù)學(xué)的解題方法對(duì)于學(xué)生的發(fā)展十分重要，但是在解題方法上，高等數(shù)學(xué)與線性數(shù)學(xué)有一定的差別，它們之間相互滲透，相互轉(zhuǎn)化，在進(jìn)行這兩門學(xué)科的學(xué)習(xí)時(shí)，必須掌握一定的學(xué)習(xí)方法，對(duì)兩種學(xué)科進(jìn)行專業(yè)的認(rèn)識(shí)與習(xí)題的歸類，本文根據(jù)線性代數(shù)與高等數(shù)學(xué)在解題過程中的補(bǔ)充方法以及應(yīng)用進(jìn)行了一定的總結(jié)。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù)方法 高等數(shù)學(xué) 解題 應(yīng)用

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一、線性代數(shù)被廣泛運(yùn)用的原因

隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，我們對(duì)量變的研究數(shù)量也逐步增加。生活中許多實(shí)際問題能夠用到線性化代數(shù)。比如：計(jì)算機(jī)的發(fā)展，線性化的問題就可以計(jì)算出來，因此線性代數(shù)成了解決這一問題的關(guān)鍵，從而線性代數(shù)得到了廣泛應(yīng)用。

在生活中，有很多自然現(xiàn)象是量變性的問題。例如：機(jī)械運(yùn)動(dòng)中的方程式運(yùn)用的是牛頓第二定律；電運(yùn)動(dòng)的方程式是麥克思韋方程組等等。

二、線性代數(shù)教學(xué)中教師需要注意的教學(xué)方法

線性代數(shù)是數(shù)學(xué)中的一部分，讓主要研究數(shù)學(xué)向量問題以及線性變化等。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，線性代數(shù)的應(yīng)用非常重要。教師在授課過程中，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生，提高學(xué)生學(xué)好線性代數(shù)的重要性，引導(dǎo)學(xué)生使用正確的學(xué)習(xí)方法，從而使線性數(shù)學(xué)在高等數(shù)學(xué)中能夠更好的得到應(yīng)用。

教師在教學(xué)的過程中，需要對(duì)線性代數(shù)的概念講解清楚，這樣學(xué)生能夠清楚的了解線性數(shù)學(xué)的概念，幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中更容易的理解。教師還可以列出關(guān)于線性代數(shù)的問題，并當(dāng)場(chǎng)解決或讓學(xué)生思考，從而加深學(xué)生印象。

線性代數(shù)在學(xué)習(xí)過程中，只是局限于書本上的內(nèi)容以及與考試有關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，并沒有將實(shí)際問題結(jié)合到生活當(dāng)中，導(dǎo)致教師在授課過程中太過于枯燥，學(xué)生對(duì)線性代數(shù)提不起學(xué)習(xí)興趣。因此教師應(yīng)該加強(qiáng)線性代數(shù)的趣味性，將生活中的問題引入到課堂中。例如：建筑工程中的數(shù)據(jù)需要線性方程式；天氣預(yù)報(bào)也會(huì)根據(jù)多種因素歸結(jié)為線性方程組等等。這需要數(shù)學(xué)教師將所有生活中的實(shí)際問題引入線性代數(shù)的課堂中，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，從而達(dá)到預(yù)期的教學(xué)目標(biāo)。教師還可以讓學(xué)生就實(shí)際生活提出與線性代數(shù)有關(guān)的問題，并分組討論解決。在學(xué)習(xí)線性數(shù)學(xué)之前，學(xué)生還應(yīng)該提前預(yù)習(xí)，加強(qiáng)概念的理解，試著解決線性代數(shù)中的問題，從而提高自己的運(yùn)算能力。

三、高校線性代數(shù)教學(xué)的現(xiàn)狀

（一）教學(xué)模式不夠完善

現(xiàn)階段，高校對(duì)線性代數(shù)的教學(xué)只是采用理論的教學(xué)模式，這種理論知識(shí)只是局限于書本內(nèi)容，不能解決生活中所面臨的線性代數(shù)問題，其知識(shí)點(diǎn)并不能吸引學(xué)生，因此造成學(xué)生學(xué)習(xí)狀態(tài)不佳，學(xué)習(xí)效率達(dá)不到最佳效果。

（二）學(xué)生對(duì)線性代數(shù)沒有學(xué)習(xí)興趣

教師在授課時(shí)，只是按照自己的教學(xué)計(jì)劃進(jìn)行授課，從而忽略了學(xué)生的感受。課堂上教師和學(xué)生之間缺乏互動(dòng)，對(duì)學(xué)生是否聽懂毫不關(guān)心，沒有活躍的上課氛圍，從而導(dǎo)致學(xué)生對(duì)線性代數(shù)這部分內(nèi)容沒有興趣，甚至產(chǎn)生討厭數(shù)學(xué)的心理。

（三）線性代數(shù)安排的課時(shí)數(shù)較少

高校教師在安排線性代數(shù)這部分內(nèi)容時(shí)，總是感覺有緊迫感。由于教學(xué)體制的不斷改革，學(xué)生的不斷增多，教師為了教學(xué)質(zhì)量，從而縮短了教學(xué)時(shí)間，對(duì)線性代數(shù)這部分內(nèi)容沒有做過多的準(zhǔn)備。教學(xué)過程中，重點(diǎn)的內(nèi)容占據(jù)了大量的課時(shí)，導(dǎo)致線性代數(shù)課程安排緊張，教師在傳授這部分重點(diǎn)知識(shí)的同時(shí)，忽略了學(xué)生是否可以解決線性代數(shù)的目標(biāo)，從而導(dǎo)致教學(xué)效率低。

四、線性代數(shù)方法要求學(xué)生所具備的能力

（一）抽象思維能力

由于數(shù)學(xué)學(xué)科本身就有很強(qiáng)的抽象性，所以要求學(xué)生必須具有足夠的抽象思維，對(duì)學(xué)科知識(shí)進(jìn)行想象，在學(xué)習(xí)過程當(dāng)中，對(duì)于一些向量、矩陣等內(nèi)容都需要進(jìn)行抽象想象，在線性代數(shù)的學(xué)習(xí)過程當(dāng)中，矩陣與線性方程組、矩陣與矩陣、矩陣與向量組、向量組與向量組等都需要在理論學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行一定的想象，以幫助學(xué)生更好的理解理論知識(shí)，并進(jìn)行應(yīng)用于與習(xí)，所以為了使學(xué)生理解它們之間的抽象關(guān)系，掌握其中的知識(shí)點(diǎn)，教師必須加強(qiáng)對(duì)其中的概念和內(nèi)容的解讀。

（二）邏輯推理能力

數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)需要具備足夠的邏輯推理能力，尤其是線性代數(shù)當(dāng)中，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的階段，從小學(xué)開，學(xué)生的邏輯推理能力便被不斷的培養(yǎng)，學(xué)生從開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，對(duì)于數(shù)的理解以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算，都是鍛煉學(xué)生邏輯推理能力的重要方式，在線性代數(shù)當(dāng)中，每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的邏輯關(guān)系聯(lián)系十分緊密。要求學(xué)生具有極強(qiáng)的邏輯思維能力，才能夠更好的進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，我們?cè)诤芏鄬W(xué)科學(xué)習(xí)當(dāng)中都有這種體會(huì)，知識(shí)點(diǎn)不是單獨(dú)存在的，教材在知識(shí)點(diǎn)的安排和布置上，會(huì)有意識(shí)的進(jìn)行分類規(guī)劃，對(duì)學(xué)生來說，便于學(xué)生的復(fù)習(xí)與研究，教師在講授的過程中也更加方便，這在一定程度上對(duì)于學(xué)生邏輯思維的能力形成也會(huì)產(chǎn)生影響，所以在線性代數(shù)學(xué)習(xí)的過程當(dāng)中，學(xué)生必須具備邏輯思維能力，對(duì)知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行上下的聯(lián)系，找出其中內(nèi)在的關(guān)聯(lián)性，將所關(guān)聯(lián)的知識(shí)點(diǎn)放在一起，形成知識(shí)系統(tǒng)。

五、線性代數(shù)核心方法

在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程當(dāng)中，尤其是線性數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)當(dāng)中，線性方程組作為一個(gè)重要的核心內(nèi)容，對(duì)于線性方程組在解題過程中的答題方法和答題理論需要進(jìn)行細(xì)致深入的研究，其主要方法是矩陣和矩陣的初等變換，有的解題方法在研究向量特征的時(shí)候，可以采用矩陣的初等變換這一階梯方法對(duì)于向量空間的維數(shù)和基和矩陣的逆矩陣研究，也可以采用矩陣的初等變換這一方法，所以在線性代數(shù)學(xué)習(xí)的過程當(dāng)中，各種學(xué)科解決問題的方法都是融會(huì)貫通的，教師在教學(xué)的過程當(dāng)中需要對(duì)方法進(jìn)行靈活的掌握，指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)隨機(jī)應(yīng)變，重視矩陣的初等變換這一關(guān)鍵內(nèi)容的學(xué)習(xí)，同時(shí)掌握矩陣這一重要的學(xué)習(xí)工具，在學(xué)習(xí)過程中做到游刃有余，尋找正確的解決思路，提高解決問題的效率，使學(xué)生實(shí)現(xiàn)綜合發(fā)展，提高學(xué)生對(duì)于高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性與主動(dòng)性，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，最終實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升，為我國高等數(shù)學(xué)的研究發(fā)展，培育更多的寶貴人才。

六、學(xué)生學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)

線性代數(shù)的學(xué)習(xí)需要學(xué)生具備抽象能力和邏輯思維能力，尤其是線性代數(shù)的核心在于行列式，行列式的學(xué)習(xí)需要學(xué)生具備足夠的抽象能力，才能夠更好的進(jìn)行學(xué)習(xí)，如果僅僅憑借著公式的死記硬背是不能夠解決問題的，所以需要雙腦并用，在學(xué)生進(jìn)行基礎(chǔ)概念的學(xué)習(xí)的過程當(dāng)中，教師要指導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行靈活的運(yùn)用，注意題目與理論的結(jié)合，在解題過程當(dāng)中更好的對(duì)知識(shí)進(jìn)行融會(huì)貫通，對(duì)所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行深入全面的了解，在線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)掌握的同時(shí)，必須做到以下幾點(diǎn)。

（一）加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)

只有學(xué)生做好理論基礎(chǔ)的學(xué)習(xí)，才能夠?qū)栴}進(jìn)行解決，由于線性代數(shù)是一門概念性非常強(qiáng)的學(xué)科，所以解題思路也比較復(fù)雜，為了將這門學(xué)科學(xué)好，必須先進(jìn)行概念的學(xué)習(xí)，如果概念不清楚，解題過程當(dāng)中就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤的思路，即使題做出來，也不會(huì)達(dá)到預(yù)期的效果，所以線性代數(shù)里面包含的概念必須進(jìn)行準(zhǔn)確的只記，雖然說概念比較容易，但學(xué)生搞清其中存在的關(guān)系和內(nèi)在的邏輯性是比較困難的，所以必須進(jìn)行循序漸進(jìn)的學(xué)習(xí)，對(duì)理論知識(shí)進(jìn)行更好的掌握，在掌握的過程當(dāng)中，對(duì)抽象的地方進(jìn)行理解與想象，實(shí)現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)的銜接。

（二）重視知識(shí)點(diǎn)的轉(zhuǎn)換與銜接

由于線性代數(shù)這門課程涉及的知識(shí)比較多，所以知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系比較緊密，為了更好的將這些知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系起來，必須進(jìn)行知識(shí)點(diǎn)的銜接與轉(zhuǎn)換，構(gòu)成一個(gè)知識(shí)體系，在知識(shí)點(diǎn)之間進(jìn)行統(tǒng)籌規(guī)劃，使綜合分析能力得到提高，進(jìn)而提高自己的解題能力，在學(xué)習(xí)過程當(dāng)中，要將前后的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行識(shí)記，同時(shí)在理解知識(shí)的過程當(dāng)中，進(jìn)行一些習(xí)題的練習(xí)，使知識(shí)點(diǎn)與習(xí)題進(jìn)行相互滲透，連接貫通，在解題的過程當(dāng)中，可以對(duì)理論知識(shí)進(jìn)行實(shí)踐，總結(jié)出多種做題方法，在學(xué)習(xí)的過程當(dāng)中，不能僅用一種方法進(jìn)行做題，應(yīng)當(dāng)將知識(shí)點(diǎn)的轉(zhuǎn)換與做題思路進(jìn)行靈活的掌握，提高做題速度，從而取得較好的成績。

（三）訓(xùn)練表達(dá)能力與邏輯思維能力

學(xué)生在進(jìn)行線性代數(shù)的學(xué)習(xí)時(shí)，往往會(huì)遇到很多證明題，這些證明題在證明的過程中需要進(jìn)行語言的表述和邏輯的推理語言的表述，著實(shí)考查了學(xué)生的表達(dá)能力與邏輯思維能力，首先要將解題的思路找出來，對(duì)怎樣論證進(jìn)行邏輯思維的考察，當(dāng)解題思路出來后，如何實(shí)現(xiàn)簡明語言的表達(dá)，便成為對(duì)學(xué)生考驗(yàn)的重要內(nèi)容之一，所以在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)時(shí)，學(xué)生需要足夠的表達(dá)能力與邏輯思維能力，在不斷的證明題之后，設(shè)計(jì)一些知識(shí)和概念，增加做題數(shù)量，來使自己做到游刃有余。

總之，高等數(shù)學(xué)在學(xué)習(xí)過程當(dāng)中并不是十分簡單的一門學(xué)科，其內(nèi)容也不是很好掌握，在錯(cuò)綜復(fù)雜的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生必須對(duì)內(nèi)容進(jìn)行合理的歸類總結(jié)，將線性代數(shù)引入到高等代數(shù)的學(xué)習(xí)當(dāng)中，以便更容易地解決一些問題，可以說線性代數(shù)為高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)提供了一個(gè)便捷的方法，所以一定要靈活運(yùn)用各種線性代數(shù)的解題方法，在解決題目當(dāng)中進(jìn)行解題方法的補(bǔ)充和總結(jié)，使學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中可以提高自己的學(xué)習(xí)效率和學(xué)習(xí)的熱情，更好的進(jìn)行高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。

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（作者單位：[1]張憶偉，河北建筑工程學(xué)院電氣工程學(xué)院；[2]孫志田，河北建筑工程學(xué)院數(shù)理系。）