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    例談高中解析幾何常考的幾種問題

    2018-08-02 11:31:14盧桂英
    關(guān)鍵詞:斜率最值題意

    ◎盧桂英

    一、解析幾何??嫉膸追N問題以及應(yīng)對方法

    1.求參數(shù)的值的問題 求參數(shù)值的問題一直是高考中最重要的考點(diǎn)之一,常常會以選擇題的形式出現(xiàn)在試卷之中。求參數(shù)值問題主要考察我們對曲線的性質(zhì)的認(rèn)識能力,應(yīng)對這種問題,我們應(yīng)當(dāng)從曲線的性質(zhì)入手,根據(jù)他們的變量關(guān)系構(gòu)造方程[1]。

    【2016年2卷4題】圓x2+y2-2x-8y+13=0的圓心到直線ax+y-1=0的距離為1,則a=

    【解析】圓x2+y2-2x-8y+13=0化為標(biāo)準(zhǔn)化方程為(x-1)2+(y-4)2=4,所以圓心為(1,4),,由此我們可解得a

    2.存在性問題 存在性問題是解析幾何中考察考生對曲線性質(zhì)以及平面坐標(biāo)系的認(rèn)識深度的重要題型,學(xué)生們需要根據(jù)平時所學(xué)的知識并運(yùn)用幾何思想來分析問題。存在性問題多以是否存在這樣的常數(shù)作為問題的核心探索思路,例如是否存在這樣的常數(shù),這樣的點(diǎn)這樣的直線或者這樣的圓。我們只要根據(jù)掌握的圓錐曲線的基本性質(zhì),轉(zhuǎn)化條件,優(yōu)選解題方法,這類問題自然就迎刃而解了[2]。

    (I)當(dāng)K=0時,分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程;

    (II)y軸上是否存在點(diǎn)P,使得當(dāng) K變動時,總有∠OPM=∠OPN?說明理由。

    【解析】針對于(II)的問題,我們可以先做出簡單判斷,然后利用設(shè)而不求的思想將點(diǎn)代入曲線C的方程,將其轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的一元二次方程,化幾何問題為代數(shù)問題,設(shè)出M,N的坐標(biāo)和P點(diǎn)坐標(biāo),將直線PM,PN的斜率和用a表示出來,直線PM和PN斜率為0,即可求出a,b關(guān)系,從而找出合適條件的P點(diǎn)坐標(biāo)。

    存在符合題意的點(diǎn),證明如下:

    設(shè) P(0,b)為符合題意的點(diǎn),M(x1,y1),N(x2,y2),直線PM,PN的斜率分別為 k1,k2,

    將y=kx+a代入C的方程整理得x2-4kx-4a=0。

    x1+x2=4k,x1x2=-4a

    當(dāng)b=-a時,有k1+k2=0,則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補(bǔ)

    所以∠OPM=∠OPN,所以 P(0,-a)符合題意。

    3.考察圓錐曲線的基本概念和性質(zhì) 圓錐曲線的基本概念和性質(zhì)是整個解析幾何的基礎(chǔ),隨著近幾年高考題目的不斷改革,高考中解析幾何的問題也隨之從探索性問題轉(zhuǎn)變到考察學(xué)生的基礎(chǔ)性問題上來,考察圓錐曲線的基本概念和性質(zhì)的相關(guān)問題逐年增多??忌鷤兂3H菀讓㈦p曲線與橢圓和圓的相關(guān)公式混淆,造成失分。

    【解析】這是一道標(biāo)準(zhǔn)的考察考生圓錐曲線基本概念與性質(zhì)的題目。做題時我們應(yīng)當(dāng)根據(jù)題意,找到合適方法與公式進(jìn)行運(yùn)算。

    根據(jù)橢圓的對稱性,必過P3,P4,又因為P4橫坐標(biāo)為1,所以橢圓必不過P1,過P2,P3,P4三點(diǎn)將P2與P3的坐標(biāo)代入橢圓方程可得a2=4,b2=1

    4.利用向量求曲線方程和解決相關(guān)問題 這部分問題通常放在高考試卷的最后,也就是我們俗稱的壓軸題,它考察了學(xué)生對直線與橢圓的理解能力以及運(yùn)用雙曲線和平面向量等綜合知識去解決實際問題的能力。想解決這部分問題,要求學(xué)生們對數(shù)形結(jié)合,方程轉(zhuǎn)化有比較深入的理解,同時要具備很強(qiáng)的綜合分析和探索能力[4]。

    【2016年三卷20題】已知拋物線C:y2=2x的焦點(diǎn)為F,平行于x軸的兩條直線l1,l2分別交C于A,B兩點(diǎn),交C的準(zhǔn)線于P,Q兩點(diǎn)。

    (I)若F在線段AB上,R是PQ的中點(diǎn),證明AR//FQ;

    (II)若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍,求 AB中點(diǎn)的軌跡方程。

    記過A,B兩點(diǎn)的直線為L,則L的方程為2x-(a+b)y+ab=0。

    由于F在線段AB上,故1+ab=0.

    記AR的斜率為k1,F(xiàn)Q的斜率為k2,則

    所以可證明AR//FQ.

    (Ⅱ)設(shè) l與 x軸的交點(diǎn)為 D(X1,0),

    設(shè)滿足條件的AB的中點(diǎn)為E(x,y).

    當(dāng)AB與x軸不垂直時,由KAB=KDE可得.

    當(dāng)AB與x軸垂直時,E與D重合.所以,所求軌跡方程為y2=x-1

    5.最大(小)值問題 最大(?。┲祮栴}也就是我們常說的最值問題,其出題形式多為求解某變量的最大值或者最小值,或者是取值范圍。我們可以通過代入法來建立關(guān)于求解目標(biāo)的變量函數(shù),通過運(yùn)用基本的不等式或者構(gòu)造函數(shù)的方法來解函數(shù)的最值。

    (I)當(dāng) t=4,AM=AN時,求△AMN的面積;

    (II)當(dāng)2AM=AN時,求k的取值范圍。

    二、結(jié)束語

    隨著近年來高考的不斷改革,解析幾何在高考數(shù)學(xué)中的難度在不斷下降,然而它的分值比重仍然很大,一般會占據(jù)22分左右,所以解析幾何的教學(xué)應(yīng)當(dāng)引起我們足夠的重視。只要牢牢掌握圓錐曲線的基本概念和性質(zhì),配合相應(yīng)的解題思路以及數(shù)形結(jié)合的思想,就能將參數(shù)值問題、存在性問題、最值問題以及綜合應(yīng)用問題完美解決,保證了學(xué)生分?jǐn)?shù)的提升。

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