原子力顯微鏡的有限元仿真模型

鄧文琪，陳勖，吳瑜，魏勇，覃國蓉，張運生

（深圳信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院軟件學(xué)院，廣東 深圳 518172）

引言

原子力顯微鏡（AFM）是一種功能強大的儀器，用于對納米級表面的形貌、機械、電氣和磁性進行成像。1986年，Binnig等人提出了原子力顯微鏡[1]，它采用尖銳的尖端機械探頭掃描表面。最常用的原子力顯微鏡探針是在自由端具有銳利尖端的微加工懸臂梁，曲率半徑為4-20納米。AFM探針與準確的x-y-z壓電晶體的集成提供了高分辨率的形貌成像[2]，而衍射極限光學(xué)顯微鏡不能測量小于幾百納米的結(jié)構(gòu)。盡管還有其他顯微鏡可以比AFM成像更大的區(qū)域，但因高分辨率的優(yōu)越性使得AFM可用于許多應(yīng)用。在其推出后的二十年中，AFM一直用于納米級成像，表征和操縱表面[3]

AFM的基本原理如圖1，典型的AFM懸臂的SEM圖像如圖2。圖1中的AFM懸臂梁以一定角度放置在支架上，懸臂梁的偏轉(zhuǎn)由光電二極管檢測。掃描儀由三個獨立控制的壓電傳感器組成，它們被組合成一個管子。x和y-piezos提供橫向掃描，而z-piezo延伸和縮回以跟隨表面形貌?？刂破魇褂霉怆姸O管輸出，旨在通過啟動z-壓電元件來保持尖端采樣距離恒定。用于啟動z-壓電的信號還為xy映射提供了樣本的高度信息。

圖1 AFM的原理圖.Fig.1 Schematic of AFM.

圖2 常規(guī)的AFM懸臂梁Fig.2 A regular AFM cantilever.

1 輕敲模式AFM

輕敲模式在吸引力和排斥力狀態(tài)下執(zhí)行。在這種模式下，懸臂尖端或樣品在靠近探針尖端被表面吸引的接觸點處振動，尖端輕輕地接觸表面后升起。與接觸和非接觸模式相比，輕敲模式AFM（TM-AFM）在表面形貌測量方面更具優(yōu)勢。在攻絲模式下，懸臂探針僅與樣本間斷接觸，因此可用于減少樣本在測量過程中的損傷。典型的情況是懸臂被驅(qū)動以其基頻振蕩，但也并非總是如此，例如最近研究表明，用兩個頻率驅(qū)動懸臂可以用來控制雙穩(wěn)態(tài)[4]。輕敲模式已被廣泛用于研究兼容材料，如聚合物、生物材料、半導(dǎo)體[5]以及生物結(jié)構(gòu)的研究，由于過去缺乏適當?shù)募夹g(shù)，表面占據(jù)了活生物體的大部分空間，因此，表面生物學(xué)難以進行調(diào)查?，F(xiàn)在，許多這些挑戰(zhàn)已經(jīng)通過使用輕敲模式AFM克服。例如，對DNA、單個蛋白質(zhì)和活細胞進行成像[6]。

此外，還可以通過利用尖端運動對力和力梯度的敏感性來測量材料屬性，也可以通過振蕩幅度、頻率和相移同時數(shù)據(jù)來提供樣本的詳細描述。

2 原子力顯微鏡的數(shù)值仿真

點質(zhì)量模型[1,4]通常用于描述輕敲模式AFM的行為。在這個模型中，懸臂和尖端由點質(zhì)量彈簧表示，如式1所示。彈簧的一端由外力驅(qū)動，另一端施加尖端樣本相互作用力。根據(jù)二階微分方程更容易理解懸臂和尖端的動力學(xué)。

其中k，Q，w0分別表示懸臂的彈簧常數(shù)、品質(zhì)因數(shù)、諧振頻率和激勵頻率。而m代表質(zhì)量，F(xiàn)0是激勵力的幅度。最后一項Fts（d）是尖端樣本相互作用力的總和，它取決于瞬時尖端樣本間隔d，換句話說，它也可以看作是時間相關(guān)的相互作用力。由于輕敲模式AFM通常以彎曲模式的一階共振頻率或其附近振動來描述該方程的參數(shù)對應(yīng)于一階彎曲模式。當沒有尖端樣品相互作用時，懸臂的運動被認為是“自由振動”,可通過式(1)推導(dǎo)如下：

式(2)代表了強制和阻尼諧振子。為了了解輕敲模式AFM的動態(tài)行為，有必要了解諧波振蕩器的特性。當激勵頻率（w）遠小于諧振頻率（w0）時，諧振子的響應(yīng)主要由彈簧常數(shù)（k）決定。振蕩器的運動與激勵力呈正弦關(guān)系，振幅為F0/k。另一方面，如果激勵頻率遠大于諧振頻率，則m*d2z/dt2大于kz。因此，在這種情況下，響應(yīng)主要受質(zhì)量影響，換句話說，在這種情況下慣性效應(yīng)是重要的。為了求解式(2)，有必要定義諧振子的阻尼。因此，應(yīng)用于諧振子的阻尼與真正的攻絲模式AFM實驗有關(guān)。由于原子力顯微鏡是一個欠阻尼系統(tǒng)，阻尼比ζ=1/2Q，因此小于1。在這種情況下，位移z按式（3）計算，它由瞬態(tài)項和穩(wěn)定項組成。

該穩(wěn)定項與具有相同諧振頻率但具有相位滯后的激勵力類似。當時間（t）遇到N時，瞬態(tài)項的幅度減小值exp（-N）*2Q/w0，其中N是常數(shù)。諧振子在瞬態(tài)頻率ωr被認為是新的諧振頻率。

結(jié)果表明，由COMSOL計算的懸臂共振頻率為82424Hz，而制造商提供的共振頻率為67kHz。兩者之間的差異對于初步研究是可以接受的。

3 原子力顯微鏡有限元模型

3.1 幾何形狀和材料屬性

有限元模型由三部分組成，分別是壓電致動器，懸臂梁和尖端。表1列出了AFM系統(tǒng)的幾何尺寸，表2描述了AFM模型的材料屬性。

表1 原子力顯微鏡懸臂梁尺寸Tab.1 Cantiliver size of AFM

表2 材料屬性Tab.2 Material properties

3.2 網(wǎng)格化

網(wǎng)格質(zhì)量會影響模擬的準確性，細化接觸發(fā)生的網(wǎng)格很重要。針對樣品的尖端表面和接觸表面選擇的最大網(wǎng)格尺寸分別為3納米和1納米。四面體網(wǎng)格用于此模型。

4 仿真結(jié)果

4.1 特征頻率研究

進行本征頻率研究以研究懸臂的共振頻率。

圖3 本征頻率仿真結(jié)果Fig.3 EigenFrequece result

4.2 時間依賴性研究

在仿真中，進行時間相關(guān)研究以模擬輕敲模式AFM。在懸臂的自由端施加正弦荷載，這導(dǎo)致懸臂梁以其共振頻率振蕩，并且端部間歇地接觸樣本。尖端和樣品之間的距離是0.02微米。在這個模型中，只考慮接觸力，而本文沒有研究針尖與樣品之間的范德華力和毛細作用力。圖4顯示了測試樣品（硅）的懸臂位移和接觸力。

圖4 懸臂梁位移曲線Fig.4 Cantiliver displacement curve

從圖4可以看出，只有當位移小于-0.02μm時，尖端才與樣品接觸。因此，在一個單一的周期（1/82424赫茲）內(nèi)，只有少量的時間尖端接觸樣品，最大接觸力約為700nN。

5 結(jié)束語

本文介紹了原子力顯微鏡的背景知識和傳統(tǒng)原子力顯微鏡的數(shù)值仿真模型，提出了使用有限元仿真的方法來模擬輕敲模式原子力顯微鏡的行為。相對于傳統(tǒng)的數(shù)值模擬，此方法考慮到了懸臂梁的幾何屬性及材料特性，更加接近真實的原子力顯微鏡。本文展示了有限元仿真的初步結(jié)果，如AFM懸臂梁的共振頻率、位移曲線及根據(jù)時間變化的接觸力。從仿真結(jié)果分析，將來有必要定義足夠小的時間步長使仿真結(jié)果更加精確，但它會增加計算時間。在以后的研究中，應(yīng)考慮范德華力和毛細管力等原子力顯微鏡涉及到各種作用力。