有限自動機(jī)可識別語言的基數(shù)

遲曉晴，王玉涵，王艷慧

山東科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266590

1 引言

自動機(jī)是計算理論中最簡單的數(shù)學(xué)模型[1]。它不僅是計算機(jī)科學(xué)理論的基礎(chǔ)，而且與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和模型論等領(lǐng)域密切相關(guān)[2-3]。有限自動機(jī)在軟件工程、句法分析、形式語言和程序語言等多個領(lǐng)域得到了有效的應(yīng)用[4-6]。由于自動機(jī)具有固定的內(nèi)在狀態(tài)、記憶能力和識別判斷能力或決策能力，因此它適宜于作為一切信息系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型[7-9]。特別的，在形式語言方面，自動機(jī)提供了一種處理語言的可靠工具[10-11]。自動機(jī)可識別語言[12-14]是形式語言與自動機(jī)理論研究的一個重要領(lǐng)域[15-16]。

從圖論的角度講，自動機(jī)可看作一個有向圖。利用圖的鄰接矩陣可研究圖中的路及圖中任意兩個結(jié)點(diǎn)間的可達(dá)性等問題。對于一個字符集Σ上的有限自動機(jī)M，一個字w∈Σ*（Σ*是Σ上有限字符串的集合）可被M識別當(dāng)且僅當(dāng)在w的作用下，按照狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)，自動機(jī)由初始狀態(tài)到達(dá)終止?fàn)顟B(tài)。這表明，如果把自動機(jī)看作一個有向圖，可利用其鄰接矩陣，研究該自動機(jī)可識別的語言。因此，本文利用有向圖的鄰接矩陣研究有限自動機(jī)可識別語言的基數(shù)問題。

2 有向圖的鄰接矩陣

簡單回顧有向圖及其鄰接矩陣的相關(guān)知識，詳見文獻(xiàn)[18]。

一個圖是一個三元組 V(G),E(G),φ(G)，其中V(G)是一個非空的結(jié)點(diǎn)集合，E(G)是邊集合，φ(G)是從邊集合E到結(jié)點(diǎn)元序偶（有序偶）集合上的函數(shù)。若把圖中的邊e∈E(G )看作總是與兩個結(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)，那么一個圖亦可簡記為G=V,E ，其中V是非空結(jié)點(diǎn)集，E是連接結(jié)點(diǎn)的邊集。若邊e與結(jié)點(diǎn)有序偶 vi,vj相關(guān)聯(lián)，則稱該邊為有向邊。每一條邊都是有向邊的圖稱有向圖。每一條邊都有權(quán)值的有向圖稱賦權(quán)有向圖。

根據(jù)文獻(xiàn)[18]中簡單圖的鄰接矩陣的定義，任意一個有向圖的鄰接矩陣的定義如下：

定義1設(shè)G=(V,E)是一個有向圖，它有n個結(jié)點(diǎn)V={v1,v2,…,vn}。則n階方陣A(G)或(aij)稱為G的鄰接矩陣，其中aij=k，若從vi到vj存在k條邊，k∈N0。

注1在有向圖同構(gòu)的意義下，有向圖與其鄰接矩陣存在一一對應(yīng)的關(guān)系，即有向圖確定時，其鄰接矩陣唯一確定，反之，鄰接矩陣確定時，其對應(yīng)的有向圖唯一確定。

例1設(shè)圖G如圖1所示，其鄰接矩陣為：

圖1 有向圖G

文獻(xiàn)[17]中證明，若A(G )是一個簡單圖G的鄰接矩陣，則A(G)m中的i行、j列元素表示等于G中聯(lián)結(jié)vi與vj的長度為m的路的數(shù)目。下面證明此結(jié)論對任意一個有向圖的鄰接矩陣仍然成立。

引理1[18（]乘法原理）若完成一件事情要經(jīng)過兩個步驟，其中第一步有n1種不同的方法，第二步有n2種不同的方法，對完成這件事情共有n1n2種方法。

定理1設(shè)A是有向圖G的鄰接矩陣，其中V={v1,v2,…,vn}，則Am中的i行、j列元素等于G中從結(jié)點(diǎn)vi到vj的長度為m的路的數(shù)目。

證明 對m用數(shù)學(xué)歸納法。

當(dāng)m=1時，由定義1可知顯然成立。

當(dāng)m≥2時，假定命題對m成立，由

Am+1=Am·A故

3 有限自動機(jī)及其可識別語言

為保證本文知識的完整性，本章回顧有限自動機(jī)及其可識別語言的一些基本概念。

定義2[19]有限自動機(jī)M是一個五元組M=(Q,Σ,δ,q0,F)，其中，Q是一個非空有限集合，稱為狀態(tài)集；Σ是一個非空有限集合，稱為字符集；q0∈Q是M的初始狀態(tài)（或開始狀態(tài)）；F?Q是M終止?fàn)顟B(tài)的集合；δ：Q×Σ→Q是一個映射，稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)。

對于一個有限自動機(jī) M=(Q,Σ,δ,q0,F)，每個q∈Q稱為M 的一個狀態(tài)。若q∈F，則q是M的一個終止?fàn)顟B(tài)（或接收狀態(tài)）。對任意的(q ,a)∈Q×Σ，p∈Q ，δ(q ,a)=p表示M在狀態(tài)q讀入字符a時，其狀態(tài)由q轉(zhuǎn)移到 p，即：

因此，按照結(jié)點(diǎn)表示狀態(tài)，邊表示遵循δ的狀態(tài)轉(zhuǎn)移，有限自動機(jī)M可以用一個賦權(quán)有向圖來表示。與M對應(yīng)的賦權(quán)有向圖M′的結(jié)點(diǎn)集合是Q，邊集合V={(q,a,p):q,p∈Q,a∈Σ,δ(q,a)=p}。

例2給定有限自動機(jī)M=(Q ,Σ,δ,q0,F )，其中Q=(q0,q1,q2,q3)，Σ={a ,b}，F(xiàn)={q3}，δ：Q×Σ→Q定義為：

δ(q0,a)=q1，δ(q0,b)=q3

δ(q1,a)=q3，δ(q1,b)=q2

δ(q2,a)=q2，δ(q2,b)=q2

δ(q3,a)=q2，δ(q3,b)=q2

與M對應(yīng)的賦權(quán)有向圖M′如圖2所示。

圖2 有向圖M′

若Σ是一個非空有限的字符集，則Σ*是Σ上有限個字符構(gòu)成的字符串的集合，即Σ*={a1a2…an:a1,a2,…,an∈Σ,n∈N0}。這里Σ*含有空字符ε。給定一個有限自動機(jī)M=( )Q,Σ,δ,q0,F ，其狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)δ可以誘導(dǎo)定義一個從Q×Σ*到Q的映射，即δ：Q×Σ*→Q，其作用法則對任意的q∈Q，w∈Σ*。

若對任意的w∈Σ*，δ(q0,w )∈F，則稱w可被自動機(jī)M識別（或接受）。

在例2中，若取q=q0，w1=abab，則：

δ(q0,a)=q1，δ(q1,b)=q2

δ(q2,a)=q2，δ(q1,a)=q3

即，在圖2中：

則δ(q0,w1)=q2?F，從而w1不能被自動機(jī)M識別。

若取 q=q0，w2=a2，則：

δ(q0,a)=q1，δ(q1,a)=q3

即，在圖2中：則δ(q0,w2)=q3∈F，從而w2可被自動機(jī)M識別。

注2 若w=a1a2…an∈Σ*被有限自動機(jī)M=(Q,Σ,δ,q0,F)識別，則在與M對應(yīng)的賦權(quán)有向圖M′中存在一條由w作為權(quán)值的從q0到q(q ∈F)的路，即，其中qin=q∈F。反之，因M 與M′一一對應(yīng)，故若在M′中，存在從q0到q(q ∈F)的路，即qjm，其中qjm=q，則b1b2…bm可被有限自動機(jī)M識別。給定一個有限自動機(jī)M=(Q ,Σ,δ,q0,F )，Σ*中所有可被M識別的字符串的集合稱為有限自動機(jī)M可識別的語言，記作L(M )。

例2中L(M )={b ,a2}。

4 有限自動機(jī)可識別語言的基數(shù)

利用有向圖的鄰接矩陣研究有限自動機(jī)可識別語言的基數(shù)。一個集合S含有元素的個數(shù)稱為這個集合的基數(shù)（或勢），記作 ||S。

一個有限自動機(jī)M=( )Q,Σ,δ,q0,F ，對應(yīng)的有向圖記作M′。對任意的q∈F，Pq表示M′中從q0到q的所有路的集合。令

由注2知，PF與L(M )一一對應(yīng)，因此可得：

命題1對于一個有限自動機(jī) M=(Q,Σ,δ,q0,F)，則 | L(M ) |=| PF|。

一個有限自動機(jī)M=(Q ,Σ,δ,q0,F )對應(yīng)的有向圖M′的鄰接矩陣A(M ′)是一個 | Q|×|Q |的方陣，用Q標(biāo)識A(M ′)的行和列。由定理1知，對任意的q∈F，[A (M ′)]m中q0行，q列的元素表示的是M′中從q0到q的長度為m的路的數(shù)目。因此：

定理2對于一個有限自動機(jī)M=(Q,Σ,δ,q0,F)，

例3給定一個有限自動機(jī)M=(Q,Σ,δ,q0,F)，其中Q=(q0,q1,q2,)，Σ={a}，F(xiàn)={q2}，δ：Q×Σ→Q 定義為：

δ(q0,a)=q1

δ(q1,a)=q2

δ(q2,a)=q2

與M對應(yīng)的有向圖M′如圖3所示。

圖3 有向圖M′

例4自動咖啡機(jī)M售出一杯咖啡15元，M只接受5元和10元的紙幣。在確定收到足夠的錢時它處于4種狀態(tài)q0、q1、q2、q3。M 在投入新的紙幣后改變狀態(tài)，且終止?fàn)顟B(tài)只接受最終金額為15元。與M=(Q,Σ,δ,q0,F)對應(yīng)的有向圖如圖4。

圖4 咖啡機(jī)M

其中Q=(q0,q1,q2,q3)，Σ={a ,b}，F(xiàn)={q3}，a和b分別表示輸入的紙幣金額為5元和10元。易知咖啡機(jī)M的鄰接矩陣為：

從而

兩個有限自動機(jī)M1和M2等價當(dāng)且僅當(dāng)L(M1)=L(M2)。因此若M1和M2等價，則L(M1)和L(M2)中含有長度為m(m ∈N )的字的數(shù)目必相等。由定理1可得M1和M2不等價的一個充分條件。

推論1對于兩個有限自動機(jī)M1=(Q1,Σ,δ1,q0,F1)和M2=(Q2,Σ,δ2,q0,F2)，若存在m∈N ，使得，則 M和 M不等價。12

5 結(jié)論

利用有向圖的鄰接矩陣給出了有限自動機(jī)的可識別語言的基數(shù)公式，討論了判定兩個自動機(jī)不等價的充分條件。這些工作將有限自動機(jī)與矩陣聯(lián)系起來，為應(yīng)用矩陣?yán)碚撎幚硪恍┳詣訖C(jī)問題奠定基礎(chǔ)。